高一上期中数学试卷(有答案)

高一上期中数学试卷(有答案)高一（上）期中数学试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1.已知集合M={1，2，3，4}，N={-2，2}，下列结论成立的是（）A.N⊆MB.M∪N=MC.M∩N=ND.M∩N={2}2.已知集合U=R，P={x|x^2-4x-5≤0}，Q={x|x≥1}，则P∩（∁UQ）（）A.{x|-1≤x＜5}B.{x|1＜x＜5}C.{x|1≤x＜5}D.{x|-1≤x＜1}3.下列函数中表示同一函数的是（）A.y=2x-1B.y=2(x-1)C.y=2x-2D.y=2(x-2)4.已知f(x)=，则f(3)为（）与y=（）4B.y=•D.y=与y=与y=A.3B.4C.1D.25.函数f(x)=2x+x-2的零点所在的一个区间是（）A.（-2，-1）B.（-1，∞）C.（-∞，1）D.（1，2）6.函数g(x)=2015x+m图象不过第二象限，则m的取值范围是（）A.m≤-1B.m<-1C.m≤-2015D.m<-20157.设a=log0.50.9，b=log1.10.9，c=1.10.9，则a，b，c的大小关系为（）A.a＜b＜cB.b＜a＜cC.b＜c＜aD.a＜c＜b8.（）A.（-∞，2]B.（-∞，+∞）C.[2，+∞）D.[0，2]9.一高为H，满缸水量为V的鱼缸截面如图所示，其底部破了一个小洞，缸中水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数v=f(h)的大致图象可能是图中四个选项中的（）A.B.C.D.10.定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈（-∞，+∞）（x1≠x2），有且f(x1)f(x2)≥0，且对于任意的x∈[0，+∞)，有f(x)f(x+1)≥0，则不等式＜的解集是（）A.（-∞，-2）∪（2，+∞）B.（-∞，-2）∪（1，2）C.（-2，1）∪（2，+∞）D.（-2，1）∪（1，2）11.已知实数a≠0，函数，则f(1-a)=f(1+a)，则a的值为（）A.1B.2C.-1D.-212.设奇函数f(x)在[-1，1]上是增函数，且f(-1)=-1，若对所有的x∈[-1，1]及任意的a∈[-1，1]都满足f(x)≤t^2-2at+1，则t的取值范围是（）A.[-2，2]B.{t|t≤-1或|t|≥1}C.[-∞，∞)D.{t|t≤-2或t≥2或t=0}二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13.函数y=|x-a|的图象关于直线x=2对称，则a=2.根据函数$f(x)\geqslant2$，而且$-x^2-2x+3=-(x+1)^2+4\leqslant4$，从而求得函数的值域。解：因为函数$f(x)\geqslant2$，而且$-x^2-2x+3=-(x^2+2x-3)=-(x+1)^2+4\leqslant4$，所以$2\leqslantf(x)\leqslant4$，故选D。鱼缸的底部破了一个小洞，水深$h$时水的体积为$v$，则函数$v=f(h)$的大致图象可能是图中四个选项中的（）。解：水深$h$越大，水的体积$v$就越大，故函数$v=f(h)$是个增函数，一开始增长越来越快，后来增长越来越慢，图象是先凹后凸的。由图得水深$h$越大，水的体积$v$就越大，故函数$v=f(h)$是个增函数。据四个选项提供的信息，当$h\in[0,H]$，我们可将水“流出”设想成“流入”，这样每当$h$增加一个单位增量$\Deltah$时，根据鱼缸形状可知，函数$v$的变化，开始其增量越来越大，但经过中截面后则增量越来越小，故$v$关于$h$的函数图象是先凹后凸的，曲线上的点的切线斜率先是逐渐变大，后又逐渐变小，故选B。定义在R上的偶函数$f(x)$满足：对任意的$x_1,x_2\in(-\infty,+\infty)$（$x_1\neqx_2$），有$f(x_1)<f(x_2)$，且$f(2)=0$，则不等式$x^2-4x+3<f(x)$的解集是（）。解：根据条件判断函数的单调性，根据函数奇偶性和单调性之间的关系，作出函数$f(x)$的图象，利用数形结合将不等式进行转化即可解不等式即可。因为对任意的$x_1,x_2\in(-\infty,+\infty)$（$x_1\neqx_2$），有$f(x_1)<f(x_2)$，且$f(2)=0$，所以此时函数$f(x)$在$(-\infty,2)$上为增函数，在$(2,+\infty)$上为减函数，因为$f(x)$是偶函数，所以函数在$[0,+\infty)$上为增函数，作出函数$f(x)$的图象如图。则不等式$x^2-4x+3<f(x)$等价于$-x^2+4x-3>f(x)-2$，即$-x^2+4x-3>f(x)-2$，即$x^2-4x+3<f(x)$，即$x<-2$或$1<x<2$，故不等式的解集为$(-\infty,-2)\cup(1,2)$，故选B。因此$f(x)$在R上不是单调函数，不符条件。综合得到$a<2$，故实数$a$的取值范围是$(-\infty,2)$。【点评】本题考查的知识点是函数的性质及应用，其中根据已知分析出函数$f(x)$不是单调函数，是解答的关键。三、解答题（共6小题，满分70分）17．（1）若$x\log_32=1$，试求$4x+4x$的值；（2）计算：$(-2)-(-9.6)-3+(1.5)^2-(\frac{1}{4})^2$。【考点】有理数指数幂的化简求值；根式与分数指数幂的互化及其化简运算。【分析】（1）由已知得$x=\log_23$，由此利用对数换底公式能求出$4x+4x$。（2）利用有理数指数幂性质、运算法则求解。【解答】解：（1）因为$x\log_32=1$，所以$x=\log_23$，因此$4x+4x=4\cdot\log_23+4\cdot\log_23=8\cdot\log_23=3$。（2）$(-2)-(-9.6)-3+(1.5)^2-(\frac{1}{4})^2=-2+9.6-3+2.25-\frac{1}{16}=2.85$。【点评】本题考查对数式、指数式化简求值，是基础题，解题时要认真审题，注意对数换底公式、有理数指数幂性质、运算法则的合理运用。18．已知集合$M=\{x|x^2-3x\leq10\}$，$N=\{x|a+1\leqx\leq2a+1\}$。（1）若$a=2$，求$M\cap(\overline{RN})$；（2）若$M\cupN=M$，求实数$a$的取值范围。【考点】并集及其运算；交、并、补集的混合运算。【分析】（Ⅰ）$a=2$时，$M=\{x|-2\leqx\leq5\}$，$N=\{3\leqx\leq5\}$，由此能求出$M\cap(\overline{RN})$。（Ⅱ）由$M\cupN=M$，得$N\subsetM$，由此能求出实数$a$的取值范围。【解答】（本小题满分8分）解：（Ⅰ）$a=2$时，$M=\{x|-2\leqx\leq5\}$，$N=\{3\leqx\leq5\}$，$\overline{RN}=\{x|x<3\text{或}x>5\}$，所以$M\cap(\overline{RN})=\{x|-2\leqx<3\}$。（Ⅱ）因为$M\cupN=M$，所以$N\subsetM$，①$a+1>2a+1$，解得$a<0$；②$-a\leqa\leq2$，解得$0\leqa\leq2$。所以$0\leqa<2$。【点评】本题考查交集、实集的应用，考查实数的取值范围的求法，是基础题。19．已知函数$f(x)$是定义域在R上的奇函数，当$x>0$时，$f(x)=x^2-2x$。（1）求出函数$f(x)$在R上的解析式；（2）写出函数的单调区间。【考点】函数解析式的求解及常用方法；函数奇偶性的性质。【分析】（1）利用函数奇偶性质，将定义域拓展到整个实数集上，然后利用已知条件求解解析式。（2）求出函数的导函数，分析其符号，得到单调区间。【解答】（本小题满分12分）解：（1）因为$f(x)$是奇函数，所以$f(-x)=-f(x)$，对于$x<0$的情况，$f(x)=-f(-x)$，所以$f(x)$是偶函数。因此$f(x)=\begin{cases}x^2-2x,&x>0\\(-x)^2-2(-x),&x<0\end{cases}=\begin{cases}x^2-2x,&x>0\\x^2+2x,&x<0\end{cases}$。综上所述，$f(x)=|x^2-2x|$。（2）求导得$f'(x)=2|x-1|\cdot\text{sgn}(x-1)$，其中$\text{sgn}(x-1)$表示$x-1$的符号。当$x<1$时，$f'(x)=-2(x-1)$，所以$f(x)$在$(-\infty,1)$上单调递减；当$1<x$时，$f'(x)=2(x-1)$，所以$f(x)$在$(1,\infty)$上单调递增。综上所述，$f(x)$的单调区间为$(-\infty,1)$和$(1,\infty)$。【点评】本题考查函数的奇偶性质、导数的求解及单调性分析，是基础题。定义在$D$上的函数$f(x)$，如果满足对任意$x\inD$，存在常数$M>0$，都有$|f(x)|\leqM$成立，则称$f(x)$是$D$上的有界函数，其中$M$称为函数$f(x)$的上界。已知函数$f(x)=1+x+ax^2$，(1)当$a=-1$时，求函数$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$上的值域，判断函数$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$上是否为有界函数，并说明理由；(2)若函数$f(x)$在$x\in[1,4]$上是以3为上界的有界函数，求实数$a$的取值范围。解：(1)当$a=-1$时，函数表达式为$f(x)=1+x-x^2$，可得$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$上是单调增函数，它的值域为$(-\infty,1)$，从而$|f(x)|$的取值范围是$[0,+\infty)$，因此不存在常数$M>0$，使$|f(x)|\leqM$成立，故$f(x)$不是$(-\infty,+\infty)$上的有界函数。(2)函数$f(x)$在$x\in[1,4]$上是以3为上界的有界函数，即$-3\leqf(x)\leq3$在$[1,4]$上恒成立，代入函数表达式并化简整理，得$-3\leqax^2+x+1\leq3$。为求出$a$的取值范围，我们需要分别求出$ax^2+x+1$在$[1,4]$上的最大值和最小值。令$t=\frac{x-2.5}{1.5}$，则$t\in[-1,1]$，有$ax^2+x+1=a(t+2.5)^2-4a+1$。因为$|f(x)|\leq3$，所以$|ax^2+x+1|\leq3$，即$|a(t+2.5)^2-4a+1|\leq3$。因为$(t+2.5)^2\geq0$，所以$|a(t+2.5)^2-4a+1|=|a|(t+2.5)^2+4|a|-1$。于是我们得到了一个关于$t$的不等式$|a|(t+2.5)^2+4|a|-1\leq3$，将其化简得到$|a|(t+2.5)^2\leq4$。因为$(t+2.5)^2\geq0$，所以$|a|(t+2.5)^2\geq0$，因此$|a|\leq\frac{4}{(t+2.5)^2}$。由于$t\i