初中函数知识点总结

第第1页共23页函数知识点总结(掌握函数的定义、性质和图像)(一)平面直角坐标系(二)正比例函数和一次函数1、正比例函数及性质上升，即随x的增大y也增大；当k<0时，直线y=kx经过二、四象限，从左向右下降，即随x增大y反而减小.(2)必过点：(0,0)、(1,k)图像经过二、四象限x增大而减小2、一次函数及性质一次函数y=kx+b的图象是经过(0,b)和,0)两点的一条直线，我们称它为直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx平移|b|个单位长度得到.(当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移)(2)必过点：(0,b)和,0)象经过第二、四象限象经过第三、四象限⇔直线经过第一、二、三象限过第一、三、四象限第2第2页共23页第3第3页共23页1、k决定着直线的变化趋势①k>0直线从左向右是向上的②k<0直线从左向右是向下的2、b决定着直线与y轴的交点位置①b>0直线与y轴的正半轴相交②b<0直线与y轴的负半轴相交随x增大而减小.图象越接近于x轴.上平移b个单位；下平移b个单位.3、一次函数y=kx+b的图象.1、对于y=kx+b而言，图象共有以下四种情况：第4页共23第4页共23页2、直线y=kx+b(k≠0)与坐标轴的交点.(1)直线y=kx与x轴、y轴的交点都是(0,0);交点坐标为(0,b).(4)将求出的待定系数代回所求的函数关系式中3、直线y=kx+b与y=kx+b₂的位置关系平行于y轴(或重合)的直线记作x=h.特别地，y轴2.k>0时，函数在x<0和x>0上同为减函数；定义域为x≠0;值域为y≠0。3.因为在y=k/x(k≠0)中，x不能为0,y也不能为0,所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，4.在一个反比例函数图象上任取两点P,Q,三，二四象限角平分线),对称中心是坐标原点。7.设在平面内有反比例函数y=k/x和一次函第6第6页共23页8.反比例函数关于正比例函数y=x,y=-x轴对称，并且关于原点中心对称.(第5点的同义不同表述)9.反比例上一点m向x、y轴分别做垂线，交于q、w,则矩形mwqo(o为原点)的面积为|k|10.k值相等的反比例函数重合，k值不相等的反比例函数永不相交。11.|k|越大，反比例函数的图象离坐标轴的距离越远。(五)二次函数1.y=ax^2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数),顶点坐抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点抛物线有一个顶点P,坐标为P(-b/2a,2.开口第第7页共23页二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口。a|越大，则抛物线的开口越小。3.决定对称轴位置的因素一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。对称轴在y对称轴在y轴左；轴右。(左同右异)c的大小决定抛物线y=ax²+bx+c与y轴交点的位置.当x=0时，y=c,∴抛物线y=ax²+bx+c与y轴有且只有一个交点(0,c):①c=0,抛物线经过原点；②c>0,与y轴交于正半轴；③c<0,与y轴交于负半轴.4.直线与抛物线的交点(1)y轴与抛物线y=ax²+bx+c得交点为(0,c).(2)与y轴平行的直线x=h与抛物线y=ax²+bx+c有且只有一个交点(n,ah²+bh+c).(3)抛物线与x轴的交点第第8页共23页二次函数y=ax²+bx+c的图像与x轴的两个交点的横坐标x、x₂,是对应一元二次方程ax²+bx+c=0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔△>0⇔抛物线与x轴相交；②有一个交点(顶点在x轴上)⇔△=0⇔抛物线与③没有交点⇔△<0⇔抛物线与x轴相离.(4)平行于x轴的直线与抛物线的交点同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为x,则横坐标是ax²+bx+c=k的两个实数根.(5)一次函数y=kx+m(k≠0)的图像与二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图像g的交点，由方程组的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时⇔i与g有两个交点；②方程组只有一组解时⇔i与G只有一个交点；③方程组无解时⇔i与G没有交点.(6)抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线第9页共23第9页共23页第四讲函数【例题精讲】1.下列函数中，不是二次函数的是().2.若成反比例，成正比例，则y是x的3.若点(x,y),(x₂,y₂),(x,y₂)都在反比例函数的图象并且x<0<x₂<x₃,则下列各式中正确的是()第10页共23第10页共23页),其中y随x的增大而减小的函数有()6.已知函数y=ax²+bx+c的图象是以点(2,3)为顶点，状相同，开口方向也相同，又经过(-1,0),(0,6)两点，求这个二次函数的解析式.一次函数的图象一定经过第象限.10.二次函数y=2x²+ax+b的图象经过(2,3)点，并且其顶点在直线y=3x-2上，则a=b=.第11第11页共23页三、解答题11.已知一个二次函数的图象经过(0,0),(1,-2),(2,3)三点，求这个函数的解析式.并用配方法求函数图象的顶点坐标.12.已知关于x的二次函数y=(m-2)x²-4mx-3的图象的对称轴是x=2,且顶点在反比例函数的图象上，求此二次函数的解析式.13.已知抛物线y=-(x-m)²+1与x轴相交于A、B(B在A的右边),与y轴的交点为C.当点B原点的右边，点C在原点的下方时，是否存在△BOC为等腰三角形的情形?若存在，求出m的值；若不存在，请说明理第12第12页共23页(2)设此二次函数的图象与x轴的交点是A、B,图象上的点C使△ABC的面积等于1,求点C的坐标.第13第13页共23页【试题精选】1、在下列函数中，y随x的增大而增大的是()2、若m<-1,则下列函数①;②y=-mx+1;③3、已知y=y+y₂,其中成反比例且比例系数是k,k,k₂的关系是()5、关于二次函数y=a²+bx+c的图象有下列命题：①当c=0时，函数的图象经过原点；②当c>0且函数图象开第14页共23第14页共23页象关于y轴对称其中正确命题的个数是()6、抛物线可由抛物线向平移2个单位，再向平移个单位得到.7、函数y=x+4中，自变量x的取值范围是-3<x<-1,则10、函数y=x²-6x+10绕顶点旋转180°后的解析式是增大而(填增大或减小).12、若抛物线y=x²-6x+c的顶点在x轴上，则c的值是第15第15页共23页 ·14、已知M、N两点关于y轴对称，且点M在双曲线上，点N在直线y=x+3上，设点M坐标为(a,b),与y轴的交点和抛物线的顶点，求这个一次函数的解析式.实数求证：不论m取何实数，这个二次函数的图象与x轴必有两个交点.17、二次函数y=2x²+m+n的图象过点(2,3),且顶点在直线y=3x-2上，求此函数的解析式.18、已知一次函数y=3x-2k的图象与反比例函数第16第16页共23页的图象相交，其中一个交点的纵坐标为6,求一次函坐标.过纵坐标相同的两点A、B,分别交y轴于C、D两点，的顶点E的直线的解析式.22、如图5-13,一次函数图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数的图象交于C、D两点.如果A点的坐标为(2,0),点C、D分别求一次函数和反比例函数的解析式.经过点