2020年中考数学真题分项汇编专题22与圆的有关解答题 (含解析)

专题22与圆的有关解答题一．解答题（共50小题）1．（2020•铜仁市）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，CE⊥AB于点E，D是直径AB延长线上一点，且∠BCE＝∠BCD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AD＝8，BECE=1【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，根据余角的性质得到∠A＝∠ECB，求得∠A＝∠BCD，根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠ACO，等量代换得到∠ACO＝∠BCD，求得∠DCO＝90°，于是得到结论；（2）设BC＝k，AC＝2k，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解析】（1）证明：连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵CE⊥AB，∴∠CEB＝90°，∴∠ECB+∠ABC＝∠ABC+∠CAB＝90°，∴∠A＝∠ECB，∵∠BCE＝∠BCD，∴∠A＝∠BCD，∵OC＝OA，∴∠A＝∠ACO，∴∠ACO＝∠BCD，∴∠ACO+∠BCO＝∠BCO+∠BCD＝90°，∴∠DCO＝90°，∴CD是⊙O的切线；（2）解：∵∠A＝∠BCE，∴tanA=BCAC=tan∠设BC＝k，AC＝2k，∵∠D＝∠D，∠A＝∠BCD，∴△ACD∽△CBD，∴BCAC∵AD＝8，∴CD＝4．2．（2020•温州）如图，C，D为⊙O上两点，且在直径AB两侧，连结CD交AB于点E，G是AC上一点，∠ADC＝∠G．（1）求证：∠1＝∠2．（2）点C关于DG的对称点为F，连结CF．当点F落在直径AB上时，CF＝10，tan∠1=25，求⊙【分析】（1）根据圆周角定理和AB为⊙O的直径，即可证明∠1＝∠2；（2）连接DF，根据垂径定理可得FD＝FC＝10，再根据对称性可得DC＝DF，进而可得DE的长，再根据锐角三角函数即可求出⊙O的半径．【解析】（1）∵∠ADC＝∠G，∴AC=∵AB为⊙O的直径，∴BC=∴∠1＝∠2；（2）如图，连接DF，∵AC=AD，AB是⊙∴AB⊥CD，CE＝DE，∴FD＝FC＝10，∵点C，F关于DG对称，∴DC＝DF＝10，∴DE＝5，∵tan∠1=2∴EB＝DE•tan∠1＝2，∵∠1＝∠2，∴tan∠2=2∴AE=DE∴AB＝AE+EB=29∴⊙O的半径为2943．（2020•衢州）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AB＝10，AC＝6，连结OC，弦AD分别交OC，BC于点E，F，其中点E是AD的中点．（1）求证：∠CAD＝∠CBA．（2）求OE的长．【分析】（1）利用垂径定理以及圆周角定理解决问题即可．（2）证明△AEC∽△BCA，推出CEAC=AC【解析】（1）证明：∵AE＝DE，OC是半径，∴AC=∴∠CAD＝∠CBA．（2）解：∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵AE＝DE，∴OC⊥AD，∴∠AEC＝90°，∴∠AEC＝∠ACB，∴△AEC∽△BCA，∴CEAC∴CE6∴CE＝3.6，∵OC=12∴OE＝OC﹣EC＝5﹣3.6＝1.4．4．（2020•嘉兴）已知：如图，在△OAB中，OA＝OB，⊙O与AB相切于点C．求证：AC＝BC．小明同学的证明过程如下框：证明：连结OC，∵OA＝OB，∴∠A＝∠B，又∵OC＝OC，∴△OAC≌△OBC，∴AC＝BC．小明的证法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请写出你的证明过程．【分析】连结OC，根据切线的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．【解析】证法错误；证明：连结OC，∵⊙O与AB相切于点C，∴OC⊥AB，∵OA＝OB，∴AC＝BC．5．（2020•湖州）如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，连结BD，BC平分∠ABD．（1）求证：∠CAD＝∠ABC；（2）若AD＝6，求CD的长．【分析】（1）由角平分线的性质和圆周角定理可得∠DBC＝∠ABC＝∠CAD；（2）由圆周角定理可得CD=【解析】（1）∵BC平分∠ABD，∴∠DBC＝∠ABC，∵∠CAD＝∠DBC，∴∠CAD＝∠ABC；（2）∵∠CAD＝∠ABC，∴CD=∵AD是⊙O的直径，AD＝6，∴CD的长=12×12×6．（2020•遵义）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，∠CAB的平分线AD交BC于点D，过点D作DE∥BC交AC的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）过点D作DF⊥AB于点F，连接BD．若OF＝1，BF＝2，求BD的长度．【分析】（1）连接OD，由等腰三角形的性质及角平分线的性质得出∠ADO＝∠DAE，从而OD∥AE，由DE∥BC得∠E＝90°，由两直线平行，同旁内角互补得出∠ODE＝90°，由切线的判定定理得出答案；（2）先由直径所对的圆周角是直角得出∠ADB＝90°，再由OF＝1，BF＝2得出OB的值，进而得出AF和BA的值，然后证明△DBF∽△ABD，由相似三角形的性质得比例式，从而求得BD2的值，求算术平方根即可得出BD的值．【解析】（1）连接OD，如图：∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ADO，∵AD平分∠CAB，∴∠DAE＝∠OAD，∴∠ADO＝∠DAE，∴OD∥AE，∵DE∥BC，∴∠E＝90°，∴∠ODE＝180°﹣∠E＝90°，∴DE是⊙O的切线；（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵OF＝1，BF＝2，∴OB＝3，∴AF＝4，BA＝6．∵DF⊥AB，∴∠DFB＝90°，∴∠ADB＝∠DFB，又∵∠DBF＝∠ABD，∴△DBF∽△ABD，∴BDBA∴BD2＝BF•BA＝2×6＝12．∴BD＝23．7．（2019•陕西）如图，⊙O的半径OA＝6，过点A作⊙O的切线AP，且AP＝8，连接PO并延长，与⊙O交于点B、D，过点B作BC∥OA，并与⊙O交于点C，连接AC、CD．（1）求证：DC∥AP；（2）求AC的长．【分析】（1）根据切线的性质得到∠OAP＝90°，根据圆周角定理得到∠BCD＝90°，根据平行线的性质和判定定理即可得到结论；（2）根据勾股定理和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．【解析】（1）证明：∵AP是⊙O的切线，∴∠OAP＝90°，∵BD是⊙O的直径，∴∠BCD＝90°，∵OA∥CB，∴∠AOP＝∠DBC，∴∠BDC＝∠APO，∴DC∥AP；（2）解：∵AO∥BC，OD＝OB，∴延长AO交DC于点E，则AE⊥DC，OE=12BC，CE=在Rt△AOP中，OP=62+82由（1）知，△AOP∽△CBD，∴DBOP即1210∴BC=365，DC∴OE=185，CE在Rt△AEC中，AC=A8．（2020•聊城）如图，在△ABC中，AB＝BC，以△ABC的边AB为直径作⊙O，交AC于点D，过点D作DE⊥BC，垂足为点E．（1）试证明DE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为5，AC＝610，求此时DE的长．【分析】（1）连接OD、BD，求出BD⊥AC，瑞成AD＝DC，根据三角形的中位线得出OD∥BC，推出OD⊥DE，根据切线的判定推出即可；（2）根据题意求得AD，根据勾股定理求得BD，然后证得△CDE∽△ABD，根据相似三角形的性质即可求得DE．【解析】（1）证明：连接OD、BD，∵AB是⊙O直径，∴∠ADB＝90°，∴BD⊥AC，∵AB＝BC，∴D为AC中点，∵OA＝OB，∴OD∥BC，∵DE⊥BC，∴DE⊥OD，∵OD为半径，∴DE是⊙O的切线；（2）由（1）知BD是AC的中线，∴AD＝CD=12AC=∵O的半径为5，∴AB＝6，∴BD=A∵AB＝AC，∴∠A＝∠C，∵∠ADB＝∠CED＝90°，∴△CDE∽△ABD，∴CDAB=DE∴DE＝3．9．（2020•上海）如图，△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长线交边AC于点D．（1）求证：∠BAC＝2∠ABD；（2）当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小；（3）当AD＝2，CD＝3时，求边BC的长．【分析】（1）连接OA．利用垂径定理以及等腰三角形的性质解决问题即可．（2）分三种情形：①若BD＝CB，则∠C＝∠BDC＝∠ABD+∠BAC＝3∠ABD．②若CD＝CB，则∠CBD＝∠CDB＝3∠ABD．③若DB＝DC，则D与A重合，这种情形不存在．分别利用三角形内角和定理构建方程求解即可．（3）如图3中，作AE∥BC交BD的延长线于E．则AEBC=ADDC=23，推出AOOH=AEBH=43，设OB＝OA＝4a，OH＝3a，根据BH2＝【解析】（1）证明：连接OA．A∵AB＝AC，∴AB=∴OA⊥BC，∴∠BAO＝∠CAO，∵OA＝OB，∴∠ABD＝∠BAO，∴∠BAC＝2∠BAD．（2）解：如图2中，延长AO交BC于H．①若BD＝CB，则∠C＝∠BDC＝∠ABD+∠BAC＝3∠ABD，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∴∠DBC＝2∠ABD，∵∠DBC+∠C+∠BDC＝180°，∴8∠ABD＝180°，∴∠C＝3∠ABD＝67.5°．②若CD＝CB，则∠CBD＝∠CDB＝3∠ABD，∴∠C＝4∠ABD，∵∠DBC+∠C+∠CDB＝180°，∴10∠ABD＝180°，∴∠BCD＝4∠ABD＝72°．③若DB＝DC，则D与A重合，这种情形不存在．综上所述，∠C的值为67.5°或72°．（3）如图3中，作AE∥BC交BD的延长线于E．则AEBC∴AOOH=AEBH=43，设OB＝OA∵BH2＝AB2﹣AH2＝OB2﹣OH2，∴25﹣49a2＝16a2﹣9a2，∴a2=25∴BH=5∴BC＝2BH=510．（2020•金华）如图，AB的半径OA＝2，OC⊥AB于点C，∠AOC＝60°．（1）求弦AB的长．（2）求AB的长．【分析】（1）根据题意和垂径定理，可以求得AC的长，然后即可得到AB的长；（2）根据∠AOC＝60°，可以得到∠AOB的度数，然后根据弧长公式计算即可．【解析】（1）∵AB的半径OA＝2，OC⊥AB于点C，∠AOC＝60°，∴AC＝OA•sin60°＝2×3∴AB＝2AC＝23；（2）∵OC⊥AB，∠AOC＝60°，∴∠AOB＝120°，∵OA＝2，∴AB的长是：120π×218011．（2020•齐齐哈尔）如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的两个点，AC=CD=DB，连接AD，过点D作DE⊥AC交（1）求证：DE是⊙O的切线．（2）若直径AB＝6，求AD的长．【分析】（1）连接OD，根据已知条件得到∠BOD=13×180°＝60°，根据等腰三角形的性质得到∠ADO＝∠DAB＝30°，得到∠EDA＝60°，求得OD（2）连接BD，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，解直角三角形即可得到结论．【解析】（1）证明：连接OD，∵AC=∴∠BOD=13×180°∵CD=∴∠EAD＝∠DAB=12∠BOD∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠DAB＝30°，∵DE⊥AC，∴∠E＝90°，∴∠EAD+∠EDA＝90°，∴∠EDA＝60°，∴∠EDO＝∠EDA+∠ADO＝90°，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；（2）解：连接BD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠DAB＝30°，AB＝6，∴BD=12∴AD=62−12．（2020•泸州）如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，AD的延长线与过点B的切线交于点C，E为线段AD上的点，过点E的弦FG⊥AB于点H．（1）求证：∠C＝∠AGD；（2）已知BC＝6．CD＝4，且CE＝2AE，求EF的长．【分析】（1）连接BD，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，根据切线的性质得到∠ABC＝90°，得到∠C＝∠ABD，根据圆周角定理即可得到结论；（2）根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理即可得到结论．【解析】（1）证明：连接BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB+∠DBA＝90°，∵BC是⊙O的切线，∴∠ABC＝90°，∴∠C+∠CAB＝90°，∴∠C＝∠ABD，∵∠AGD＝∠ABD，∴∠AGD＝∠C；（2）解：∵∠BDC＝∠ABC＝90°，∠C＝∠C，∴△ABC∽△BDC，∴BCAC∴6AC∴AC＝9，∴AB=AC2∵CE＝2AE，∴AE＝3，CE＝6，∵FH⊥AB，∴FH∥BC，∴△AHE∽△ABC，∴AHAB∴AH3∴AH=5，EH连接AF，BF，∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB＝90°，∴∠AEH+∠BFH＝∠AFH+∠FAH＝90°，∴∠FAH＝∠BFH，∴△AFH∽△FBH，∴FHAH∴FH5∴FH=10∴EF=1013．（2020•河南）我们学习过利用尺规作图平分一个任意角，而“利用尺规作图三等分一个任意角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的．人们根据实际需要，发明了一种简易操作工具﹣﹣三分角器．图1是它的示意图，其中AB与半圆O的直径BC在同一直线上，且AB的长度与半圆的半径相等；DB与AC垂直于点B，DB足够长．使用方法如图2所示，若要把∠MEN三等分，只需适当放置三分角器，使DB经过∠MEN的顶点E，点A落在边EM上，半圆O与另一边EN恰好相切，切点为F，则EB，EO就把∠MEN三等分了．为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程．已知：如图2，点A，B，O，C在同一直线上，EB⊥AC，垂足为点B，AB＝OB，EN切半圆O于F．求证：EB，EO就把∠MEN三等分．【分析】根据垂直的定义得到∠ABE＝∠OBE＝90°，根据全等三角形的性质得到∠1＝∠2，根据切线的性质得到∠2＝∠3，于是得到结论．【解析】已知：如图2，点A，B，O，C在同一直线上，EB⊥AC，垂足为点B，AB＝OB，EN切半圆O于F．求证：EB，EO就把∠MEN三等分，证明：∵EB⊥AC，∴∠ABE＝∠OBE＝90°，∵AB＝OB，BE＝BE，∴△ABE≌△OBE（SAS），∴∠1＝∠2，∵BE⊥OB，∴BE是⊙E的切线，∵EN切半圆O于F，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠2＝∠3，∴EB，EO就把∠MEN三等分．故答案为：AB＝OB，EN切半圆O于F；EB，EO就把∠MEN三等分．14．（2020•安徽）如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆O上不同于A，B的两点，AD＝BC，AC与BD相交于点F．BE是半圆O所在圆的切线，与AC的延长线相交于点E．（1）求证：△CBA≌△DAB；（2）若BE＝BF，求证：AC平分∠DAB．【分析】（1）根据圆周角定理得到∠ACB＝∠ADB＝90°，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；（2）根据等腰三角形的性质得到∠E＝∠BFE，根据切线的性质得到∠ABE＝90°，根据三角形的内角和以及角平分线的定义即可得到结论．【解析】（1）证明：∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°，在Rt△CBA与Rt△DAB中，BC=ADBA=AB∴Rt△CBA≌Rt△DAB（HL）；（2）解：∵BE＝BF，由（1）知BC⊥EF，∴∠E＝∠BFE，∵BE是半圆O所在圆的切线，∴∠ABE＝90°，∴∠E+∠BAE＝90°，由（1）知∠D＝90°，∴∠DAF+∠AFD＝90°，∵∠AFD＝∠BFE，∴∠AFD＝∠E，∴∠DAF＝90°﹣∠AFD，∠BAF＝90°﹣∠E，∴∠DAF＝∠BAF，∴AC平分∠DAB．15．（2020•河南）小亮在学习中遇到这样一个问题：如图，点D是BC上一动点，线段BC＝8cm，点A是线段BC的中点，过点C作CF∥BD，交DA的延长线于点F．当△DCF为等腰三角形时，求线段BD的长度．小亮分析发现，此问题很难通过常规的推理计算彻底解决，于是尝试结合学习函数的经验研究此问题．请将下面的探究过程补充完整：（1）根据点D在BC上的不同位置，画出相应的图形，测量线段BD，CD，FD的长度，得到下表的几组对应值．BD/cm01.02.03.04.05.06.07.08.0CD/cm8.07.77.26.65.9a3.92.40FD/cm8.07.46.96.56.16.06.26.78.0操作中发现：①“当点D为BC的中点时，BD＝5.0cm”．则上表中a的值是5；②“线段CF的长度无需测量即可得到”．请简要说明理由．（2）将线段BD的长度作为自变量x，CD和FD的长度都是x的函数，分别记为yCD和yFD，并在平面直角坐标系xOy中画出了函数yFD的图象，如图所示．请在同一坐标系中画出函数yCD的图象；（3）继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出：当△DCF为等腰三角形时，线段BD长度的近似值（结果保留一位小数）．【分析】（1）①由BD=CD可求BD＝CD＝a＝5②由“AAS”可证△BAD≌△CAF，可得BD＝CF，即可求解；（2）由题意可画出函数图象；（3）结合图象可求解．【解析】（1）∵点D为BC的中点，∴BD=∴BD＝CD＝a＝5cm，故答案为：5；（2）∵点A是线段BC的中点，∴AB＝AC，∵CF∥BD，∴∠F＝∠BDA，又∵∠BAD＝∠CAF，∴△BAD≌△CAF（AAS），∴BD＝CF，∴线段CF的长度无需测量即可得到；（3）由题意可得：（4）由题意画出函数yCF的图象；由图象可得：BD＝3.8cm或5cm或6.2cm时，△DCF为等腰三角形．16．（2020•德州）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，点D是半圆AB的中点，连接AC，BC，AD，BD．过点D作DH∥AB交CB的延长线于点H．（1）求证：直线DH是⊙O的切线；（2）若AB＝10，BC＝6，求AD，BH的长．【分析】（1）连接OD，根据圆周角定理得到∠AOD=12∠AOB＝90°，根据平行线的性质得到∠ODH（2）连接CD，根据圆周角定理得到∠ADB＝∠ACB＝90°，推出△ABD是等腰直角三角形，得到AB＝10，解直角三角形得到AC=102−62=8，求得∠CAD＝∠DBH，根据平行线的性质得到∠【解析】（1）证明：连接OD，∵AB为⊙O的直径，点D是半圆AB的中点，∴∠AOD=12∠AOB∵DH∥AB，∴∠ODH＝90°，∴OD⊥DH，∴直线DH是⊙O的切线；（2）解：连接CD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝∠ACB＝90°，∵点D是半圆AB的中点，∴AD=∴AD＝DB，∴△ABD是等腰直角三角形，∵AB＝10，∴AD＝10sin∠ABD＝10sin45°＝10×22=∵AB＝10，BC＝6，∴AC=1∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠CAD+∠CBD＝180°，∵∠DBH+∠CBD＝180°，∴∠CAD＝∠DBH，由（1）知∠AOD＝90°，∠OBD＝45°，∴∠ACD＝45°，∵DH∥AB，∴∠BDH＝∠OBD＝45°，∴∠ACD＝∠BDH，∴△ACD∽△BDH，∴ACBD∴85解得：BH=2517．（2020•长沙）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD与过C点的直线互相垂直，垂足为D，AC平分∠DAB．（1）求证：DC为⊙O的切线．（2）若AD＝3，DC=3，求⊙O【分析】（1）如图，连接OC，根据已知条件可以证明∠OCA＝∠DAC，得AD∥OC，由AD⊥DC，得OC⊥DC，进而可得DC为⊙O的切线；（2）过点O作OE⊥AC于点E，根据Rt△ADC中，AD＝3，DC=3，可得DAC＝30°，再根据垂径定理可得AE的长，进而可得⊙O【解析】（1）如图，连接OC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠OAC，∴∠OCA＝∠DAC，∴AD∥OC，∵AD⊥DC，∴OC⊥DC，又OC是⊙O的半径，∴DC为⊙O的切线；（2）过点O作OE⊥AC于点E，在Rt△ADC中，AD＝3，DC=3∴tan∠DAC=DC∴∠DAC＝30°，∴AC＝2DC＝23，∵OE⊥AC，根据垂径定理，得AE＝EC=12AC∵∠EAO＝∠DAC＝30°，∴OA=AE∴⊙O的半径为2．18．（2020•襄阳）如图，AB是⊙O的直径，E，C是⊙O上两点，且EC=BC，连接AE，AC．过点C作CD⊥AE交AE的延长线于点（1）判定直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AB＝4，CD=3【分析】（1）连接OC，根据EC=BC，求得∠CAD＝∠BAC，根据等腰三角形的性质得到∠BAC＝∠ACO，推出AD∥OC，根据平行线的性质得到OC⊥CD，于是得到CD是⊙（2）连接OE，连接BE交OC于F，根据垂径定理得到OC⊥BE，BF＝EF，由圆周角定理得到∠AEB＝90°，根据矩形的性质得到EF＝CD=3，根据勾股定理得到AE=AB2−BE2=42−(23【解析】（1）证明：连接OC，∵EC=∴∠CAD＝∠BAC，∵OA＝OC，∴∠BAC＝∠ACO，∴∠CAD＝∠ACO，∴AD∥OC，∵AD⊥CD，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线；（2）解：连接OE，连接BE交OC于F，∵EC=∴OC⊥BE，BF＝EF，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∴∠FED＝∠D＝∠EFC＝90°，∴四边形DEFC是矩形，∴EF＝CD=3∴BE＝23，∴AE=A∴AE=12∴∠ABE＝30°，∴∠AOE＝60°，∴∠BOE＝120°，∵EC=∴∠COE＝∠BOC＝60°，连接CE，∵OE＝OC，∴△COE是等边三角形，∴∠ECO＝∠BOC＝60°，∴CE∥AB，∴S△ACE＝S△COE，∵∠OCD＝90°，∠OCE＝60°，∴∠DCE＝30°，∴DE=33∴AD＝3，∴图中阴影部分的面积＝S△ACD﹣S扇形COE=12×19．（2020•衡阳）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点A和点D的圆，圆心O在线段AB上，⊙O交AB于点E，交AC于点F．（1）判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AD＝8，AE＝10，求BD的长．【分析】（1）连接OD，根据平行线判定推出OD∥AC，推出OD⊥BC，根据切线的判定推出即可；（2）连接DE，根据圆周角定理得到∠ADE＝90°，根据相似三角形的性质得到AC=325，根据勾股定理得到CD【解析】（1）BC与⊙O相切，理由：连接OD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴∠ODA＝∠CAD，∴OD∥AC，∵∠C＝90°，∴∠ODC＝90°，∴OD⊥BC，∵OD为半径，∴BC是⊙O切线；（2）连接DE，∵AE是⊙O的直径，∴∠ADE＝90°，∵∠C＝90°，∴∠ADE＝∠C，∵∠EAD＝∠DAC，∴△ADE∽△ACD，∴AEAD108∴AC=32∴CD=A∵OD⊥BC，AC⊥BC，∴△OBD∽△ABC，∴ODAC∴532∴BD=12020．（2020•淮安）如图，AB是⊙O的弦，C是⊙O外一点，OC⊥OA，CO交AB于点P，交⊙O于点D，且CP＝CB．（1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若∠A＝30°，OP＝1，求图中阴影部分的面积．【分析】（1）根据等边对等角得∠CPB＝∠CBP，根据垂直的定义得∠OBC＝90°，即OB⊥CB，则CB与⊙O相切；（2）根据三角形的内角和定理得到∠APO＝60°，推出△PBD是等边三角形，得到∠PCB＝∠CBP＝60°，求得BC＝1，根据勾股定理得到OB=O【解析】（1）CB与⊙O相切，理由：连接OB，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，∵CP＝CB，∴∠CPB＝∠CBP，在Rt△AOP中，∵∠A+∠APO＝90°，∴∠OBA+∠CBP＝90°，即：∠OBC＝90°，∴OB⊥CB，又∵OB是半径，∴CB与⊙O相切；（2）∵∠A＝30°，∠AOP＝90°，∴∠APO＝60°，∴∠BPD＝∠APO＝60°，∵PC＝CB，∴△PBD是等边三角形，∴∠PCB＝∠CBP＝60°，∴∠OBP＝∠POB＝30°，∴OP＝PB＝PC＝1，∴BC＝1，∴OB=O∴图中阴影部分的面积＝S△OBC﹣S扇形OBD=12×21．（2020•南京）如图，在△ABC中，AC＝BC，D是AB上一点，⊙O经过点A、C、D，交BC于点E，过点D作DF∥BC，交⊙O于点F．求证：（1）四边形DBCF是平行四边形；（2）AF＝EF．【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出∠BAC＝∠B，根据平行线的性质得出∠ADF＝∠B，求出∠ADF＝∠CFD，根据平行线的判定得出BD∥CF，根据平行四边形的判定得出即可；（2）求出∠AEF＝∠B，根据圆内接四边形的性质得出∠ECF+∠EAF＝180°，根据平行线的性质得出∠ECF+∠B＝180°，求出∠AEF＝∠EAF，根据等腰三角形的判定得出即可．【解析】证明：（1）∵AC＝BC，∴∠BAC＝∠B，∵DF∥BC，∴∠ADF＝∠B，∵∠BAC＝∠CFD，∴∠ADF＝∠CFD，∴BD∥CF，∵DF∥BC，∴四边形DBCF是平行四边形；（2）连接AE，∵∠ADF＝∠B，∠ADF＝∠AEF，∴∠AEF＝∠B，∵四边形AECF是⊙O的内接四边形，∴∠ECF+∠EAF＝180°，∵BD∥CF，∴∠ECF+∠B＝180°，∴∠EAF＝∠B，∴∠AEF＝∠EAF，∴AE＝EF．22．（2020•辽阳）如图，在平行四边形ABCD中，AC是对角线，∠CAB＝90°，以点A为圆心，以AB的长为半径作⊙A，交BC边于点E，交AC于点F，连接DE．（1）求证：DE与⊙A相切；（2）若∠ABC＝60°，AB＝4，求阴影部分的面积．【分析】（1）证明：连接AE，根据平行四边形的性质得到AD＝BC，AD∥BC，求得∠DAE＝∠AEB，根据全等三角形的性质得到∠DEA＝∠CAB，得到DE⊥AE，于是得到结论；（2）根据已知条件得到△ABE是等边三角形，求得AE＝BE，∠EAB＝60°，得到∠CAE＝∠ACB，得到CE＝BE，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．【解析】（1）证明：连接AE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∵AE＝AB，∴∠AEB＝∠ABC，∴∠DAE＝∠ABC，∴△AED≌△BAC（AAS），∴∠DEA＝∠CAB，∵∠CAB＝90°，∴∠DEA＝90°，∴DE⊥AE，∵AE是⊙A的半径，∴DE与⊙A相切；（2）解：∵∠ABC＝60°，AB＝AE＝4，∴△ABE是等边三角形，∴AE＝BE，∠EAB＝60°，∵∠CAB＝90°，∴∠CAE＝90°﹣∠EAB＝90°﹣60°＝30°，∠ACB＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°，∴∠CAE＝∠ACB，∴AE＝CE，∴CE＝BE，∴S△ABC=12AB•AC=1∴S△ACE=12S△ABC=1∵∠CAE＝30°，AE＝4，∴S扇形AEF=30π×A∴S阴影＝S△ACE﹣S扇形AEF＝43−23．（2020•菏泽）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E．（1）求证：DE⊥AC；（2）若⊙O的半径为5，BC＝16，求DE的长．【分析】（1）连接AD、OD．先证明∠ADB＝90°，∠EDO＝90°，从而可证明∠EDA＝∠ODB，由OD＝OB可得到∠EDA＝∠OBD，由等腰三角形的性质可知∠CAD＝∠BAD，故此∠EAD+∠EDA＝90°，由三角形的内角和定理可知∠DEA＝90°，于是可得到DE⊥AC．（2）由等腰三角形的性质求出BD＝CD＝8，由勾股定理求出AD的长，根据三角形的面积得出答案．【解析】（1）证明：连接AD、OD．∵AB是圆O的直径，∴∠ADB＝90°．∴∠ADO+∠ODB＝90°．∵DE是圆O的切线，∴OD⊥DE．∴∠EDA+∠ADO＝90°．∴∠EDA＝∠ODB．∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD．∴∠EDA＝∠OBD．∵AC＝AB，AD⊥BC，∴∠CAD＝∠BAD．∵∠DBA+∠DAB＝90°，∴∠EAD+∠EDA＝90°．∴∠DEA＝90°．∴DE⊥AC．（2）解：∵∠ADB＝90°，AB＝AC，∴BD＝CD，∵⊙O的半径为5，BC＝16，∴AC＝10，CD＝8，∴AD=A∵S△ADC=12AD⋅DC=1∴DE=AD⋅DC24．（2020•天津）在⊙O中，弦CD与直径AB相交于点P，∠ABC＝63°．（Ⅰ）如图①，若∠APC＝100°，求∠BAD和∠CDB的大小；（Ⅱ）如图②，若CD⊥AB，过点D作⊙O的切线，与AB的延长线相交于点E，求∠E的大小．【分析】（1）由三角形的外角性质得出∠C＝37°，由圆周角定理得∠BAD＝∠C＝37°，∠ADC＝∠B＝63°，∠ADB＝90°，即可得出答案；（2）连接OD，求出∠PCB＝27°，由切线的性质得出∠ODE＝90°，由圆周角定理得出∠BOD＝2∠PCB＝54°，即可得出答案．【解析】（1）∵∠APC是△PBC的一个外角，∴∠C＝∠APC﹣∠ABC＝100°﹣63°＝37°，由圆周角定理得：∠BAD＝∠C＝37°，∠ADC＝∠B＝63°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠CDB＝∠ADB﹣∠ADC＝90°﹣63°＝27°；（2）连接OD，如图②所示：∵CD⊥AB，∴∠CPB＝90°，∴∠PCB＝90°﹣∠ABC＝90°﹣63°＝27°，∵DE是⊙O的切线，∴DE⊥OD，∴∠ODE＝90°，∵∠BOD＝2∠PCB＝54°，∴∠E＝90°﹣∠BOD＝90°﹣54°＝36°．25．（2020•凉山州）如图，⊙O的半径为R，其内接锐角三角形ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c．（1）求证：asin∠A=b（2）若∠A＝60°，∠C＝45°，BC＝43，利用（1）的结论求AB的长和sin∠B的值．【分析】（1）证明：作直径BE，连接CE，如图所示：则∠BCE＝90°，∠E＝∠A，根据三角函数的定义得到sinA＝sinE=BCBE=a2R，求得asinA=2R，同理：b（2）由（1）得：ABsinC=BCsinA，得到AB=43×2232=42，2R=4332=【解析】（1）证明：作直径BE，连接CE，如图所示：则∠BCE＝90°，∠E＝∠A，∴sinA＝sinE=BC∴asinA=2同理：bsin∠B=2R，csin∠C∴asin∠A=b（2）解：由（1）得：ABsinC即ABsin45°=4∴AB=43×223过B作BH⊥AC于H，∵∠AHB＝∠BHC＝90°，∴AH＝AB•cos60°＝42×12=22，CH=∴AC＝AH+CH＝2（2+∴sin∠B=AC26．（2020•深圳）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为D．连接BC并延长，交AD的延长线于点E．（1）求证：AE＝AB；（2）若AB＝10，BC＝6，求CD的长．【分析】（1）证明：连接AC、OC，如图，根据切线的性质得到OC⊥CD，则可判断OC∥AD，所以∠OCB＝∠E，然后证明∠B＝∠E，从而得到结论；（2）利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，则利用勾股定理可计算出AC＝8，再根据等腰三角形的性质得到CE＝BC＝6，然后利用面积法求出CD的长．【解析】（1）证明：连接AC、OC，如图，∵CD为切线，∴OC⊥CD，∴CD⊥AD，∴OC∥AD，∴∠OCB＝∠E，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠B，∴∠B＝∠E，∴AE＝AB；（2）解：∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∴AC=1∵AB＝AE＝10，AC⊥BE，∴CE＝BC＝6，∵12CD•AE=12AC∴CD=6×827．（2020•陕西）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝75°，∠ABC＝45°．连接AO并延长，交⊙O于点D，连接BD．过点C作⊙O的切线，与BA的延长线相交于点E．（1）求证：AD∥EC；（2）若AB＝12，求线段EC的长．【分析】（1）连接OC，由切线的性质可得∠OCE＝90°，由圆周角定理可得∠AOC＝90°，可得结论；（2）过点A作AF⊥EC交EC于F，由锐角三角函数可求AD＝83，可证四边形OAFC是正方形，可得CF＝AF＝43，由锐角三角函数可求EF＝12，即可求解．【解析】证明：（1）连接OC，∵CE与⊙O相切于点C，∴∠OCE＝90°，∵∠ABC＝45°，∴∠AOC＝90°，∵∠AOC+∠OCE＝180°，∴∴AD∥EC（2）如图，过点A作AF⊥EC交EC于F，∵∠BAC＝75°，∠ABC＝45°，∴∠ACB＝60°，∴∠D＝∠ACB＝60°，∴sin∠ADB=AB∴AD=12×23=∴OA＝OC＝43，∵AF⊥EC，∠OCE＝90°，∠AOC＝90°，∴四边形OAFC是矩形，又∵OA＝OC，∴四边形OAFC是正方形，∴CF＝AF＝43，∵∠BAD＝90°﹣∠D＝30°，∴∠EAF＝180°﹣90°﹣30°＝60°，∵tan∠EAF=EF∴EF=3AF∴CE＝CF+EF＝12+43．28．（2020•天水）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC、AB于点E、F．（1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若BD＝23，AB＝6，求阴影部分的面积（结果保留π）．【分析】（1）连接OD，求出OD∥AC，求出OD⊥BC，根据切线的判定得出即可；（2）根据勾股定理求出OD＝2，求出OB＝4，得出∠B＝30°，再分别求出△ODB和扇形DOF的面积即可．【解析】（1）证明：连接OD，如图：∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵AD平分∠CAB，∴∠OAD＝∠CAD，∴∠CAD＝∠ODA，∴AC∥OD，∴∠ODB＝∠C＝90°，即BC⊥OD，又∵OD为⊙O的半径，∴直线BC是⊙O的切线；（2）解：设OA＝OD＝r，则OB＝6﹣r，在Rt△ODB中，由勾股定理得：OD2+BD2＝OB2，∴r2+（23）2＝（6﹣r）2，解得：r＝2，∴OB＝4，∴OD=O∴OD=12∴∠B＝30°，∴∠DOB＝180°﹣∠B﹣∠ODB＝60°，∴阴影部分的面积S＝S△ODB﹣S扇形DOF=12×23×229．（2020•内江）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连结BE．（1）求证：BE是⊙O的切线；（2）设OE交⊙O于点F，若DF＝2，BC＝43，求线段EF的长；（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．【分析】（1）连接OC，如图，根据垂径定理由OD⊥BC得到CD＝BD，则OE为BC的垂直平分线，所以EB＝EC，证明△OCE≌△OBE（SSS），得出∠OBE＝∠OCE＝90°，根据切线的判定定理得BE与⊙O相切；（2）设⊙O的半径为x，则OD＝x﹣2，OB＝x，由勾股定理得出（x﹣2）2+（23）2＝x2，解得x＝4，求出OE的长，则可求出EF的长；（3）由扇形的面积公式可得出答案．【解析】（1）证明：连接OC，如图，∵CE为切线，∴OC⊥CE，∴∠OCE＝90°，∵OD⊥BC，∴CD＝BD，即OD垂直平分BC，∴EC＝EB，在△OCE和△OBE中OC=OBOE=OE∴△OCE≌△OBE（SSS），∴∠OBE＝∠OCE＝90°，∴OB⊥BE，∴BE与⊙O相切；（2）解：设⊙O的半径为x，则OD＝OF﹣DF＝x﹣2，OB＝x，在Rt△OBD中，BD=12BC＝2∵OD2+BD2＝OB2，∴（x﹣2）2+（23）2＝x2，解得x＝4，∴OD＝2，OB＝4，∴∠OBD＝30°，∴∠BOD＝60°，∴OE＝2OB＝8，∴EF＝OE﹣OF＝8﹣4＝4．（3）∵∠BOE＝60°，∠OBE＝90°，∴在Rt△OBE中，BE=3OB＝43∴S阴影＝S四边形OBEC﹣S扇形OBC＝2×12×4×＝163−30．（2020•武威）如图，⊙O是△ABC的外接圆，其切线AE与直径BD的延长线相交于点E，且AE＝AB．（1）求∠ACB的度数；（2）若DE＝2，求⊙O的半径．【分析】（1）连接OA，先由切线的性质得∠OAE的度数，再等腰三角形的性质得∠OAB＝∠ABE＝∠E，再由三角形内角和定理求得∠OAB，进而得∠AOB，最后由圆周角定理得∠ACB的度数；（2）设⊙O的半径为r，再根据含30°解的直角三角形的性质列出r的方程求解便可．【解析】（1）连接OA，∵AE是⊙O的切线，∴∠OAE＝90°，∵AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB，∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠OAB，∴∠OAB＝∠ABE＝∠E，∵∠OAB+∠ABE+∠E+∠OAE＝180°，∴∠OAB＝∠ABE＝∠E＝30°，∴∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠ABO＝120°，∴∠ACB=12∠AOB＝60（2）设⊙O的半径为r，则OA＝OD＝r，OE＝r+2，∵∠OAE＝90°，∠E＝30°，∴2OA＝OE，即2r＝r+2，∴r＝2，故⊙O的半径为2．31．（2020•福建）如图，AB与⊙O相切于点B，AO交⊙O于点C，AO的延长线交⊙O于点D，E是BCD上不与B，D重合的点，sinA=1（1）求∠BED的大小；（2）若⊙O的半径为3，点F在AB的延长线上，且BF＝33，求证：DF与⊙O相切．【分析】（1）连接OB，由切线求出∠ABO的度数，再由三角函数求出∠A，由三角形的外角性质求得∠BOD，最后由圆周解与圆心角的关系求得结果；（2）连接OF，OB，证明△BOF≌△DOF，得∠ODF＝∠OBF＝90°，便可得结论．【解析】（1）连接OB，如图1，∵AB与⊙O相切于点B，∴∠ABO＝90°，∵sinA=1∴∠A＝30°，∴∠BOD＝∠ABO+∠A＝120°，∴∠BED=12∠BOD＝60（2）连接OF，OB，如图2，∵AB是切线，∴∠OBF＝90°，∵BF＝33，OB＝3，∴tan∠BOF=BF∴∠BOF＝60°，∵∠BOD＝120°，∴∠BOF＝∠DOF＝60°，在△BOF和△DOF中，OB=OD∠BOF=∠DOF∴△BOF≌△DOF（SAS），∴∠OBF＝∠ODF＝90°，∴DF与⊙O相切．32．（2020•扬州）如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，点E在直径CD的延长线上，且AE＝AC．（1）试判断AE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AC＝6，求阴影部分的面积．【分析】（1）连接OA、AD，可求得∠ACE＝∠AEC＝30°，可证明△AOD为等边三角形，可求得∠EAO＝90°，可证明AE为⊙O的切线；（2）作OF⊥AC于F，结合（1）可得到OA＝23，AE＝6，再根据圆的面积公式和扇形面积公式即可求解．【解析】（1）证明：连接OA、AD，如图，∵CD为⊙O的直径，∴∠DAC＝90°，又∵∠ADC＝∠B＝60°，∴∠ACD＝30°，又∵AE＝AC，OA＝OD，∴△ADO为等边三角形，∴∠E＝30°，∠ADO＝∠DAO＝60°，∴∠PAD＝30°，∴∠EAD+∠DAO＝90°，∴OA⊥E，∴AE为⊙O的切线；（2）解：作OF⊥AC于F，由（1）可知△AEO为直角三角形，且∠E＝30°，∴OA＝23，AE＝6，∴阴影部分的面积为12×6×23−60π×(23故阴影部分的面积为63−2π33．（2020•临沂）已知⊙O1的半径为r1，⊙O2的半径为r2．以O1为圆心，以r1+r2的长为半径画弧，再以线段O1O2的中点P为圆心，以12O1O2的长为半径画弧，两弧交于点A，连接O1A，O2A，O1A交⊙O1于点B，过点B作O2A的平行线BC交O1O2于点C（1）求证：BC是⊙O2的切线；（2）若r1＝2，r2＝1，O1O2＝6，求阴影部分的面积．【分析】（1）由题意得出O1P＝AP＝O2P=12O1O2，则可得出∠O1AO2＝90°，由平行线的性质可得出∠（2）由直角三角形的性质求出∠BO1P＝60°，由勾股定理求出BC长，则可根据S阴影=S【解析】（1）证明：连接AP，∵以线段O1O2的中点P为圆心，以12O1O2∴O1P＝AP＝O2P=1∴∠O1AO2＝90°，∵BC∥O2A，∴∠O1BC＝∠O1AO2＝90°，∴O1B⊥BC，∴BC是⊙O2的切线；（2）解：∵r1＝2，r2＝1，O1O2＝6，∴O1A=1∴∠BO1P＝60°，∴O1C＝2O1B＝4，∴BC=O1C∴S阴影=S△O134．（2020•山西）如图，四边形OABC是平行四边形，以点O为圆心，OC为半径的⊙O与AB相切于点B，与AO相交于点D，AO的延长线交⊙O于点E，连接EB交OC于点F．求∠C和∠E的度数．【分析】连接OB，如图，根据切线的性质得OB⊥AB，再利用平行四边形的性质得AB∥OC，OA∥BC，则∠BOC＝90°，接着计算出∠C＝∠OBC＝45°，然后利用平行线的性质得到∠AOB＝∠OBC＝45°，从而根据圆周角定理得到∠E的度数．【解析】连接OB，如图，∵⊙O与AB相切于点B，∴OB⊥AB，∵四边形ABCO为平行四边形，∴AB∥OC，OA∥BC，∴OB⊥OC，∴∠BOC＝90°，∵OB＝OC，∴△OCB为等腰直角三角形，∴∠C＝∠OBC＝45°，∵AO∥BC，∴∠AOB＝∠OBC＝45°，∴∠E=12∠AOB＝22.535．（2020•广元）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，OA平分∠BAC交BC于点O，以O为圆心，OC长为半径作圆交BC于点D．（1）如图1，求证：AB为⊙O的切线；（2）如图2，AB与⊙O相切于点E，连接CE交OA于点F．①试判断线段OA与CE的关系，并说明理由．②若OF：FC＝1：2，OC＝3，求tanB的值．【分析】（1）过点O作OG⊥AB，垂足为G，利用角平分线的性质定理可得OG＝OC，即可证明；（2）①利用切线长定理，证明OE＝OC，结合OE＝OC，再利用垂直平分线的判定定理可得结论；②根据OF：FC＝1：2，OC＝3求出OF和CF，再证明△OCF∽△OAC，求出AC，再证明△BEO∽△BCA，得到BEBC=OEAC=BOAB，设BO＝x，BE＝y，可得关于x【解析】（1）如图，过点O作OG⊥AB，垂足为G，∵OA平分∠BAC交BC于点O，∴OG＝OC，∴点G在⊙O上，即AB与⊙O相切；（2）①OA垂直平分CE，理由是：连接OE，∵AB与⊙O相切于点E，AC与⊙O相切于点C，∴AE＝AC，∵OE＝OC，∴OA垂直平分CE；②∵OF：FC＝1：2，OC＝3，则FC＝2OF，在△OCF中，OF2+（2OF）2＝32，解得：OF=355，则由①得：OA⊥CE，则∠OCF+∠COF＝90°，又∠OCF+∠ACF＝90°，∴∠COF＝∠ACF，而∠CFO＝∠ACO＝90°，∴△OCF∽△OAC，∴OCOA=OF解得：AC＝6，∵AB与圆O切于点E，∴∠BEO＝90°，AC＝AE＝6，而∠B＝∠B，∴△BEO∽△BCA，∴BEBC=OEAC=BOAB，设BO则y3+x可得：6y=9+3x6x=3y+18解得：x=5y=4，即BO＝5，BE∴tanB=OE36．（2020•湘潭）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为点E．（1）求证：△ABD≌△ACD；（2）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由．【分析】（1）AB为⊙O的直径得AD⊥BC，结合AB＝AC，用HL证明全等三角形；（2）由△ABD≌△ACD得BD＝BC，结合AO＝BO得OD为△ABC的中位线，由DE⊥AC得OD⊥DE，可得直线DE为⊙O切线．【解析】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，∴AD⊥BC，在Rt△ADB和Rt△ADC中AD=ADAB=AC∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）；（2）直线DE与⊙O相切，理由如下：连接OD，如图所示：由△ABD≌△ACD知：BD＝DC，又∵OA＝OB，∴OD为△ABC的中位线，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∵OD为⊙O的半径，∴DE与⊙O相切．37．（2020•武汉）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，AE与过点D的切线互相垂直，垂足为E．（1）求证：AD平分∠BAE；（2）若CD＝DE，求sin∠BAC的值．【分析】（1）连接OD，如图，根据切线的性质得到OD⊥DE，则可判断OD∥AE，从而得到∠1＝∠ODA，然后利用∠2＝∠ODA得到∠1＝∠2；（2）连接BD，如图，利用圆周角定理得到∠ADB＝90°，再证明∠2＝∠3，利用三角函数的定义得到sin∠1=DEAD，sin∠3=DCBC，则AD＝BC，设CD＝x，BC＝AD＝y，证明△CDB∽△CBA，利用相似比得到x：y＝y：（x+y），然后求出x、y【解析】（1）证明：连接OD，如图，∵DE为切线，∴OD⊥DE，∵DE⊥AE，∴OD∥AE，∴∠1＝∠ODA，∵OA＝OD，∴∠2＝∠ODA，∴∠1＝∠2，∴AD平分∠BAE；（2）解：连接BD，如图，∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∵∠2+∠ABD＝90°，∠3+∠ABD＝90°，∴∠2＝∠3，∵sin∠1=DEAD，sin∠3而DE＝DC，∴AD＝BC，设CD＝x，BC＝AD＝y，∵∠DCB＝∠BCA，∠3＝∠2，∴△CDB∽△CBA，∴CD：CB＝CB：CA，即x：y＝y：（x+y），整理得x2+xy+y2＝0，解得x=−1+52y或x∴sin∠3=DC即sin∠BAC的值为5−138．（2020•随州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB上的中线CD为直径作⊙O，与BC交于点M，与AB的另一个交点为E，过M作MN⊥AB，垂足为N．（1）求证：MN是⊙O的切线；（2）若⊙O的直径为5，sinB=35，求【分析】（1）连接OM，求出OM∥BD，求出OM⊥MN，根据切线的判定推出即可；（2）连接DM和CE，求出DM⊥BC，OE⊥BD，解直角三角形求出BC和BE，再求出答案即可．【解析】（1）证明：连接OM，如图1，∵OC＝OD，∴∠OCM＝∠OMC，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，∴CD=12AB＝∴∠DCB＝∠DBC，∴∠OMC＝∠DBC，∴OM∥BD，∵MN⊥BD，∴OM⊥MN，∵OM过O，∴MN是⊙O的切线；（2）解：连接DM，CE，∵CD是⊙O的直径，∴∠CED＝90°，∠DMC＝90°，即DM⊥BC，CE⊥AB，由（1）知：BD＝CD＝5，∴M为BC的中，∵sinB=3∴cosB=4在Rt△BMD中，BM＝BD•cosB＝4，∴BC＝2BM＝8，在Rt△CEB中，BE＝BC•cosB=32∴ED＝BE﹣BD=325−39．（2020•江西）已知∠MPN的两边分别与⊙O相切于点A，B，⊙O的半径为r．（1）如图1，点C在点A，B之间的优弧上，∠MPN＝80°，求∠ACB的度数；（2）如图2，点C在圆上运动，当PC最大时，要使四边形APBC为菱形，∠APB的度数应为多少？请说明理由；（3）若PC交⊙O于点D，求第（2）问中对应的阴影部分的周长（用含r的式子表示）．【分析】（1）连接OA，OB，由切线的性质可求∠PAO＝∠PBO＝90°，由四边形内角和可求解；（2）当∠APB＝60°时，四边形APBC是菱形，连接OA，OB，由切线长定理可得PA＝PB，∠APC＝∠BPC＝30°，由“SAS”可证△APC≌△BPC，可得∠ACP＝∠BCP＝30°，AC＝BC，可证AP＝AC＝PB＝BC，可得四边形APBC是菱形；（3）分别求出AP，PD的长，由弧长公式可求AD，即可求解．【解析】（1）如图1，连接OA，OB，∵PA，PB为⊙O的切线，∴∠PAO＝∠PBO＝90°，∵∠APB+∠PAO+∠PBO+∠AOB＝360°，∴∠APB+∠AOB＝180°，∵∠APB＝80°，∴∠AOB＝100°，∴∠ACB＝50°；（2）如图2，当∠APB＝60°时，四边形APBC是菱形，连接OA，OB，由（1）可知，∠AOB+∠APB＝180°，∵∠APB＝60°，∴∠AOB＝120°，∴∠ACB＝60°＝∠APB，∵点C运动到PC距离最大，∴PC经过圆心，∵PA，PB为⊙O的切线，∴PA＝PB，∠APC＝∠BPC＝30°，又∵PC＝PC，∴△APC≌△BPC（SAS），∴∠ACP＝∠BCP＝30°，AC＝BC，∴∠APC＝∠ACP＝30°，∴AP＝AC，∴AP＝AC＝PB＝BC，∴四边形APBC是菱形；（3）∵⊙O的半径为r，∴OA＝r，OP＝2r，∴AP=3r，PD＝r∵∠AOP＝90°﹣∠APO＝60°，∴AD=∴阴影部分的周长＝PA+PD+AD=3r+r+π3r＝（340．（2020•北京）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，A，B为⊙O外两点，AB＝1．给出如下定义：平移线段AB，得到⊙O的弦A'B'（A'，B′分别为点A，B的对应点），线段AA'长度的最小值称为线段AB到⊙O的“平移距离”．（1）如图，平移线段AB得到⊙O的长度为1的弦P1P2和P3P4，则这两条弦的位置关系是P1P2∥P3P4；在点P1，P2，P3，P4中，连接点A与点P3的线段的长度等于线段AB到⊙O的“平移距离”；（2）若点A，B都在直线y=3x+23上，记线段AB到⊙O的“平移距离”为d1，求d1（3）若点A的坐标为（2，32），记线段AB到⊙O的“平移距离”为d2，直接写出d2【分析】（1）根据平移的性质，以及线段AB到⊙O的“平移距离”的定义判断即可．（2）如图1中，作等边△OEF，点E在x轴上，OE＝EF＝OF＝1，设直线y=3x+23交x轴于M，交y轴于N．则M（﹣2，0），N（0，23），过点E作EH⊥MN于H，解直角三角形求出EH（3）如图2中，作直线OA交⊙O于M，N过点O作PQ⊥OA交，交⊙O于P，Q．以OA，AB为邻边构造平行四边形ABDO，以OD为边构造等边△ODB′，等边△OB′A′，则AB∥A′B′，AA′的长即为线段AB到⊙O的“平移距离”，Q求出AA′使得最小值和最大值即可解决问题．【解析】（1）如图，平移线段AB得到⊙O的长度为1的弦P1P2和P3P4，则这两条弦的位置关系是P1P2∥P3P4；在点P1，P2，P3，P4中，连接点A与点P3的线段的长度等于线段AB到⊙O的“平移距离”．故答案为：P1P2∥P3P4，P3．（2）如图1中，作等边△OEF，点E在x轴上，OE＝EF＝OF＝1，设直线y=3x+23交x轴于M，交y轴于N．则M（﹣2，0），N（0，23过点E作EH⊥MN于H，∵OM＝2，ON＝23，∴tan∠NMO=3∴∠NMO＝60°，∴EH＝EM•sin60°=3观察图象可知，线段AB到⊙O的“平移距离”为d1的最小值为32（3）如图2中，作直线OA交⊙O于M，N过点O作PQ⊥OA交，交⊙O于P，Q．以OA，AB为邻边构造平行四边形ABDO，以OD为边构造等边△ODB′，等边△OB′A′，则AB∥A′B′，AA′的长即为线段AB到⊙O的“平移距离”，当点A′与M重合时，AA′的值最小，最小值＝OA﹣OM=52−当点A′与P或Q重合时，AA′的值最大最大值=1∴32≤d241．（2020•哈尔滨）已知：⊙O是△ABC的外接圆，AD为⊙O的直径，AD⊥BC，垂足为E，连接BO，延长BO交AC于点F．（1）如图1，求证：∠BFC＝3∠CAD；（2）如图2，过点D作DG∥BF交⊙O于点G，点H为DG的中点，连接OH，求证：BE＝OH；（3）如图3，在（2）的条件下，连接CG，若DG＝DE，△AOF的面积为925，求线段CG【分析】（1）由垂径定理可得BE＝EC，由线段垂直平分线的性质可得AB＝AC，由等腰三角形的性质可得∠BAD＝∠ABO＝∠CAD，由外角的性质可得结论；（2）由“AAS”可证△BOE≌△ODH，可得BE＝OH；（3）过点F作FN⊥AD，交AD于N，设DG＝DE＝2x，由全等三角形的性质可得OE＝DH＝x，OD＝3x＝OA＝OB，勾股定理可求BE＝22x，由锐角三角函数可求AN=2NF，ON=24NF，可得AO＝AN+ON=524NF，由三角形面积公式可求NF的长，可求x＝1，可得BE＝22=OH，AE＝4，DG＝DE＝2，勾股定理可求AC＝26，连接AG，过点A作AM⊥CG，交GC的延长线于M，通过证明△ACM∽△ADG【解析】证明：（1）∵AD为⊙O的直径，AD⊥BC，∴BE＝EC，∴AB＝AC，又∵AD⊥BC，∴∠BAD＝∠CAD，∵OA＝OB，∴∠BAD＝∠ABO，∴∠BAD＝∠ABO＝∠CAD，∵∠BFC＝∠BAC+∠ABO，∴∠BFC＝∠BAD+∠EAD+∠ABO＝3∠CAD；（2）如图2，连接AG，∵AD是直径，∴∠AGD＝90°，∵点H是DG中点，∴DH＝HG，又∵AO＝DO，∴OH∥AG，AG＝2OH，∴∠AGD＝∠OHD＝90°，∵DG∥BF，∴∠BOE＝∠ODH，又∵∠OEB＝∠OHD＝90°，BO＝DO，∴△BOE≌△ODH（AAS），∴BE＝OH；（3）如图3，过点F作FN⊥AD，交AD于N，设DG＝DE＝2x，∴DH＝HG＝x，∵△BOE≌△ODH，∴OE＝DH＝x，∴OD＝3x＝OA＝OB，∴BE=OB2−OE2∵∠BAE＝∠CAE，∴tan∠BAE＝tan∠CAE=BE∴22∴AN=2NF∵∠BOE＝∠NOF，∴tan∠BOE＝tan∠NOF=BE∴22∴ON=24∴AO＝AN+ON=52∵△AOF的面积为92∴12×AO×NF=12∴NF=6∴AO=524NF∴x＝1，∴BE＝22=OH，AE＝4，DG＝DE∴AC=AE2+CE如图3，连接AG，过点A作AM⊥CG，交GC的延长线于M，由（2）可知：AG＝2OH＝42，∵四边形ADGC是圆内接四边形，∴∠ACM＝∠ADG，又∵∠AMC＝∠AGD＝90°，∴△ACM∽△ADG，∴ADAC∴62∴CM=263，∴GM=AG∴CG＝GM﹣CM=242．（2020•咸宁）定义：有一组对角互余的四边形叫做对余四边形．理解：（1）若四边形ABCD是对余四边形，则∠A与∠C的度数之和为90°或270°；证明：（2）如图1，MN是⊙O的直径，点A，B，C在⊙O上，AM，CN相交于点D．求证：四边形ABCD是对余四边形；探究：（3）如图2，在对余四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，探究线段AD，CD和BD之间有有怎样的数量关系？写出猜想，并说明理由．【分析】（1）对余四边形的定义即可得出结果；（2）由圆周角定理得出∠BAM+∠BCN＝90°，即∠BAD+∠BCD＝90°，即可得出结论；（3）对余四边形的定义得出∠ADC＝30°，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAF，连接FD，则△BCD≌△BAF，∠FBD＝60°，得出BF＝BD，AF＝CD，∠BDC＝∠BFA，则△BFD是等边三角形，得出BF＝BD＝DF，易证∠BFA+∠ADB＝30°，由∠FBD+∠BFA+∠ADB+∠AFD+∠ADF＝180°，得出∠AFD+∠ADF＝90°，则∠FAD＝90°，由勾股定理即可得出结果．【解析】（1）解：∵四边形ABCD是对余四边形，∴∠A+∠C＝90°或∠A+∠C＝360°﹣90°＝270°，故答案为：90°或270°；（2）证明：∵MN是⊙O的直径，点A，B，C在⊙O上，∴∠BAM+∠BCN＝90°，即∠BAD+∠BCD＝90°，∴四边形ABCD是对余四边形；（3）解：线段AD，CD和BD之间数量关系为：AD2+CD2＝BD2，理由如下：∵对余四边形ABCD中，∠ABC＝60°，∴∠ADC＝30°，∵AB＝BC，∴将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAF，连接FD，如图3所示：∴△BCD≌△BAF，∠FBD＝60°∴BF＝BD，AF＝CD，∠BDC＝∠BFA，∴△BFD是等边三角形，∴BF＝BD＝DF，∵∠ADC＝30°，∴∠ADB+∠BDC＝30°，∴∠BFA+∠ADB＝30°，∵∠FBD+∠BFA+∠ADB+∠AFD+∠ADF＝180°，∴60°+30°+∠AFD+∠ADF＝180°，∴∠AFD+∠ADF＝90°，∴∠FAD＝90°，∴AD2+AF2＝DF2，∴AD2+CD2＝BD2．43．（2020•陕西）问题提出（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，∠ACB的平分线交AB于点D．过点D分别作DE⊥AC，DF⊥BC．垂足分别为E，F，则图1中与线段CE相等的线段是CF、DE、DF．问题探究（2）如图2，AB是半圆O的直径，AB＝8．P是AB上一点，且PB=2PA，连接AP，BP．∠APB的平分线交AB于点C，过点C分别作CE⊥AP，CF⊥BP，垂足分别为E，F，求线段CF问题解决（3）如图3，是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图．已知⊙O的直径AB＝70m，点C在⊙O上，且CA＝CB．P为AB上一点，连接CP并延长，交⊙O于点D．连接AD，BD．过点P分别作PE⊥AD，PF⊥BD，重足分别为E，F．按设计要求，四边形PEDF内部为室内活动区，阴影部分是户外活动区，圆内其余部分为绿化区．设AP的长为x（m），阴影部分的面积为y（m2）．①求y与x之间的函数关系式；②按照“少儿活动中心”的设计要求，发现当AP的长度为30m时，整体布局比较合理．试求当AP＝30m时．室内活动区（四边形PEDF）的面积．【分析】（1）证明四边形CEDF是正方形，即可得出结果；（2）连接OP，由AB是半圆O的直径，PB=2PA，得出∠APB＝90°，∠AOP＝60°，则∠ABP＝30°，同（1）得四边形PECF是正方形，得PF＝CF，在Rt△APB中，PB＝AB•cos∠ABP＝43，在Rt△CFB中，BF=CFtan∠ABC=3CF，推出PB（3）①同（1）得四边形DEPF是正方形，得出PE＝PF，∠APE+∠BPF＝90°，∠PEA＝∠PFB＝90°，将△APE绕点P逆时针旋转90°，得到△A′PF，PA′＝PA，则A′、F、B三点共线，∠APE＝∠A′PF，证∠A′PB＝90°，得出S△PAE+S△PBF＝S△PA′B=12PA′•PB=12x（70﹣x），在Rt△ACB中，AC＝BC＝352，S△ACB=12AC2＝1225，由y＝S△PA′②当AP＝30时，A′P＝30，PB＝40，在Rt△A′PB中，由勾股定理得A′B=A'P2+PB2=50，由S△A′PB=12A′B•PF【解析】（1）∵∠ACB＝90°，DE⊥AC，DF⊥BC，∴四边形CEDF是矩形，∵CD平分∠ACB，DE⊥AC，DF⊥BC，∴DE＝DF，∴四边形CEDF是正方形，∴CE＝CF＝DE＝DF，故答案为：CF、DE、DF；（2）连接OP，如图2所示：∵AB是半圆O的直径，PB=2PA∴∠APB＝90°，∠AOP=13×180°∴∠ABP＝30°，同（1）得：四边形PECF是正方形，∴PF＝CF，在Rt△APB中，PB＝AB•cos∠ABP＝8×cos30°＝8×32=在Rt△CFB中，BF=CFtan∠ABC∵PB＝PF+BF，∴PB＝CF+BF，即：43=CF+3解得：CF＝6﹣23；（3）①∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°，∵CA＝CB，∴∠ADC＝∠BDC，同（1）得：四边形DEPF是正方形，∴PE＝PF，∠APE+∠BPF＝90°，∠PEA＝∠PFB＝90°，∴将△APE绕点P逆时针旋转90°，得到△A′PF，PA′＝PA，如图3所示：则A′、F、B三点共线，∠APE＝∠A′PF，∴∠A′PF+∠BPF＝90°，即∠A′PB＝90°，∴S△PAE+S△PBF＝S△PA′B=12PA′•PB=12x在Rt△ACB中，AC＝BC=22AB=2∴S△ACB=12AC2=12×∴y＝S△PA′B+S△ACB=12x（70﹣x）+1225=−12x②当AP＝30时，A′P＝30，PB＝AB﹣AP＝70﹣30＝40，在Rt△A′PB中，由勾股定理得：A′B=A'∵S△A′PB=12A′B•PF=12PB•∴12×50×PF=1解得：PF＝24，∴S四边形PEDF＝PF2＝242＝576（m2），∴当AP＝30m时．室内活动区（四边形PEDF）的面积为576m2．44．（2020•北京）如图，AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，CD是⊙O的切线，D为切点，OF⊥AD于点E，交CD于点F．（1）求证：∠ADC＝∠AOF；（2）若sinC=13，BD＝8，求【分析】（1）连接OD，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，根据平行线的性质得到∠AOF＝∠B，根据切线的性质得到∠CDO＝90°，等量代换即可得到结论；（2）根据三角形中位线定理得到OE=12BD=12×8＝4，设OD＝x【解析】（1）连接OD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BD，∵OF⊥AD，∴OF∥BD，∴∠AOF＝∠B，∵CD是⊙O的切线，D为切点，∴∠CDO＝90°，∴∠CDA+∠ADO＝∠ADO+∠BDO＝90°，∴∠CDA＝∠BDO，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠B，∴∠AOF＝∠ADC；（2）∵OF∥BD，AO＝OB，∴AE＝DE，∴OE=12BD∵sinC=OD∴设OD＝x，OC＝3x，∴OB＝x，∴CB＝4x，∵OF∥BD，∴△COF∽△CBD，∴OCBC∴3x4x∴OF＝6，∴EF＝OF﹣OE＝6﹣4＝2．45．（2020•凉山州）如图，AB是半圆AOB的直径，C是半圆上的一点，AD平分∠BAC交半圆于点D，过点D作DH⊥AC与AC的延长线交于点H．（1）求证：DH是半圆的切线；（2）若DH＝25，sin∠BAC=5【分析】（1）连接OD，根据等腰三角形的性质得到∠DAO＝∠ADO，根据角平分线的定义得到∠CAD＝∠OAD，等量代换得到∠CAD＝∠ADO，求得AH∥OD，根据平行线的性质得到OD⊥DH，于是得到结论；（2）连接BC交OD于E，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，推出四边形CEDH是矩形，得到CE＝DH＝25，∠DEC＝90°，根据三角函数的定义即可得到结论．【解析】（1）证明：连接OD，∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠OAD，∴∠CAD＝∠ADO，∴AH∥OD，∵DH⊥AC，∴OD⊥DH，∴DH是半圆的切线；（2）解：连接BC交OD于E，∵AB是半圆AOB的直径，∴∠ACB＝90°，∴四边形CEDH是矩形，∴CE＝DH＝25，∠DEC＝90°，∴OD⊥BC，∴BC＝2CE＝45，∵sin∠BAC=BC∴AB＝12，即半圆的直径为12．46．（2020•枣庄）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠BAC＝2∠CBF．（1）求证：BF是⊙O的切线；（2）若⊙O的直径为4，CF＝6，求tan∠CBF．【分析】（1）连接AE，利用直径所对的圆周角是直角，从而判定直角三角形，利用直角三角形两锐角相等得到直角，从而证明∠ABF＝90°，于是得到结论；（2）过C作CH⊥BF于H，根据勾股定理得到BF=AF2−AB2【解析】（1）证明：连接AE，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∴∠1+∠