2021年云南省大理市团结中学高三数学理联考试卷含解析

2021年云南省大理市团结中学高三数学理联考试卷含

解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选

项中，只有是一个符合题目要求的

=_b

1.若丁="与"-在上都是减函数，对函数y=以3+加的单调性描述正

确的是（）

人.在（町田）上是增函数B.在（°，桢°）上是增函数

C.在（•肛桢0）上是减函数D.在卜00）上是增函数，在（68°）上是减函数

参考答案：

lanC9n^

2.在A4BC中，6,AABC的面积为2,则siiiC+2sin8siaC的最小值为

()

35

A.2B.42D.3

参考答案:

由AAB「的面积为2,

2sinCsinB2cb2cbbe

在AABC中，由正弦定理得,丁血3sin.'c2bcNc-2b>J

16b：8b2»4|.8b‘♦4I13

St2b284hJ«2业.了82~22,

当且仅当b2,c4时，等号是成立的，故选C.

3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，

共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：“一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层

中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯多少？”现有类似问题：一座5

层塔共挂了242盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的3倍，则塔的底层共有

灯()

A.162盏B.114盏C.112

盏D.81盏

参考答案：

A

4.下列函数既是奇函数，又在区间［-1,1］上单调递减的是()

2-x

A.f(x)=sinxB.f(x)=ln2+x

xx

工(e-e-)

C.f(x)=-|x+1D.f(x)=2

参考答案：

B

【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明.

【专题】函数的性质及应用；导数的综合应用.

【分析】根据正弦函数的单调性，函数导数符号和函数单调性的关系，奇函数的定义，减

函数的定义即可判断每个选项的正误，从而得到正确选项.

【解答】解：A.f(x)=sinx在［-1,1］上单调递增；

B.f(x)=11T2+7,解在"得该函数的定义域为［-2,2］；

一4

又f'(x)=(2-x)(2+x).

.'.f(x)在区间［-1,1］上是减函数；

12+x_12-x

Irrz-----In——

又f(-x)=2-x2+x=_f(x).

Af(x)是奇函数;

，该选项正确；

C.f(x)=-|x+l|,奇函数f(x)在原点有定义时f(0)=0；

而这里f(0)=-1；

该函数不是奇函数；

x-x

nf(x)4(e-e)-J(e」)=f⑴

D.z,eze；

...该函数在［-1,1］上不是减函数.

故选B

【点评】考查正弦函数的单调性，函数导数符号和函数单调性的关系，以及奇函数的定

义，奇函数f(x)在原点有定义时f(0)=0,减函数的定义.

5.如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为75。，30°,此时气球的

高是60m,则河流的宽度BC等于()

A24O(^-l>wB晒&一姓c,120(^-l)mDKXxT+l)m

参考答案:

C

60ABSC

【详解】47=120,sh7r,»3(r91145*,

所以

…Z"Wn45*60X£

BC-------------=12O(^-D

snKT

故选C.

6.已知函数丫=*『(x)的图象如图所示(其中f'(x)是函数f(x)的导函数)，y=f(x)的图

象大致是下图中的()

c

略

7.某单位的春节联欢活动，组织了一次幸运抽奖活动，袋中装有5个除颜色外大

小、质地均相同的小球，其中2个红球，3个白球，抽奖者从中一次摸出2个小

球，抽到2个红球得一等奖，1个红球得二等奖，甲、乙两人各抽奖一次，则甲得

一等奖且乙得二等奖的概率为

3733

A50B50c100D10

参考答案：

A

8.已知i是虚数单位，若复数‘一在复平面内对应的点在第四象限，则实数。的值

可以是()

A.-2B.1C.2D.3

参考答案：

A

9,定义在R上的函数y=/(x)满足了(4-X)=/(力，若X|<X2且

XJ+X2>4,则()

A.f(X|)<f(x2)B.f(X))>f(X2)C.f(x))=f(x2)D.f(X])与f(x2)

的大小不确定

参考答案：

B

略

10.设4={x|x—a=()},B={x|ax-l=0},且ACB=3,则实数a的值为()

A.1B.-1

C.1或一1D.1,一1或()

参考答案：

D

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分，共28分

11,已知则ain'0-向,008^^006‘0=.

参考答案：

3

5

12.已知正方体ZMD，的棱长为4,点P是以的中点，点。是A80G内的动

点，若则点°到平面的距离的范围是.

参考答案：

[3,4]

13.设S“是等差数列{a}的前n项和，己知az=3,^=11,则Sk.

参考答案：

49

【考点】等差数列的前n项和；等差数列的性质.

【分析】由等差数列的性质求得ai+a”再用前n项和公式求得.

【解答】解：•・飞2+a6=ai+a?

7(ai+a?)

.•，二一2一.

故答案是49

【点评】本题考查等差数列的性质和等差数列前n项和公式.

14.若函数/8)的图象如图所示，/'(力是函数的导函数，且J=是奇函

数，则下列结论中

®/(1-x)+/(x+l)=0②八xXx-l)20

③/0cXx-D20正确的序号是.

参考答案：

①③

n

15.关于函数f(x)=4sin(2x+3)(xWR),有下列命题:

①丫二。)是以2兀为最小正周期的周期函数；②y=f(x)可改写为y=4cos(2x-

开兀大

Z);③y=f(x)的图象关于(・石,0)对称；④y=f(x)的图象关于直线x=-W对称淇中正

确的序号为—.

参考答案：

(本小题满分13分)已知sin2a=,aE.⑴求cosa的值.

(2)求满足sin(a—A:)—sin(a+x)+2cosa=一的锐角x.

解：⑴因为兀VaV兀，所以兀V2a<3兀，所以cos2a=—=—.

又因为cos2a=2cos%—1,所以coso=—.

(2)因为sin(a-x)—sin(a+x)+2cosa=—

所以2cosa-(l-sinx)=—,所以sinx=.因为x为锐角，所以x=.

略

16.已知函数[若”闫1,2]*€[-1.1]

使」SO2g(x”,则实数掰的取值范围是.

参考答案：

17.对于任意实数a(aWO)和6,不等式m+6|+14-匕121aMix-11+|X-2|)恒成

立，则实数x的取值范围

参考答案：

15'

一,一

22]

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤

.he''

18.设函数“"hl.一曲线J=/(•"在点(1,/(1)处的切线为

j="r1)，2.⑴求科电(H)证明：/(K)>L

参考答案：

解：(1)函数£6)的定义域为(0,+8),

y'(X)=ae1lnx+—-•4a，"+—erl

xxx由题意得f(1)=2,f'(l)=e,解得a=l,b=2；

2tf72

〃x)=/lnx+----xlnx>w-r--

(II)由(I)知x,从而f(x)>1等价于e,设函数

虱©=ax则=i+i“x,所以当时,d8<。,当时,

或x)>°,故式只在("J

单调递减，在单调递增，从而宠8在(0>2)的最

/、1,

f(一)=一一，则MR=­(】r),所以当定(01)时，

小值为er.设函数

"（©>0,当xwl1•*）时，*（另<0,故*W在（0」）单调递增，在（12）单调递减，

从而*w在（0"）的最大值为*®一；.综上：当<>0时，式功，即

/«>1

略

19.某市近郊有一块大约500mx500m的接近正方形的荒地，地方政府准备在此建一个综合

性休闲广场，首先要建设如图所示的一个矩形场地，其中总面积为3000平方米，其中阴

影部分为通道，通道宽度为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地（其

中两个小场地形状相同），塑胶运动场地占地面积为S平方米.

（1）分别用x表示y和S的函数关系式，并给出定义域；

（2）怎样设计能使S取得最大值，并求出最大值.

参考答案:

_3000

解答：解：(1)由己知xy=3000,二kx,其定义域是(6,500).

S=(x-4)a+(x-6)a=(2x-10)a,

aW-3=^1-3

V2a+6=y,/.2x,

S=(2X-10)-(1500-3)=3030-(l^M+6x)

XX其定义域是（6,500）.

150Q015000

S=3030-(+6X)<3030-2j6x.=3030-2X300=2430

(2)xVx

15000

当且仅当x即x=5OG(6,500)时，上述不等式等号成立，

此时,x=5O,y=60,Smax=243O.

答：设计x=50m,y=60m时，运动场地面积最大，最大值为2430平方米.

略

20.(08年宁夏、海南卷理)(本小题满分12分)

设函数‘⑶"""萨’"与，曲线＞=小)在点⑵/⑵)处的切线方程为

y=3.

(I)求/(X)的解析式：

(H)证明：函数的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心；

(III)证明：曲线y=/(x)上任一点的切线与直线广1和直线＞=x所围三角形的面

积为定值，并求出此定值.

参考答案：

/*(x)-a-------r-

【解析】(I)'5+与’，

2a+---=1.a=—,

2+b4

1卜=1，:8

a―2＜占=-一

于是.(2+切解得也=-1，或.3

.s/(x)=

因a.bwZ,故X-1.

1

(H)证明：已知函数乂=刀，"x都是奇函数.

g（x）=x+一

所以函数X也是奇函数，其图像是以原点为中心的中心对称图形.而

/（X）=X-1+—+1,\八八

X-1.可知，函数g（>）的图像按向量4=（川）平移，即得到函数

/（X）的图像，故函数/（K）的图像是以点QD为中心的中心对称图形.

为+*I

（III）证明：在曲线上任取一点I

一J/八2

由JO（七・1）知，过此点的切线方程为

令1y=*得尸=2%-1,切线与直线y=X交点为（2%-1,2/7）.

直线x=1与直线尸=x的交点为（1,1）.

\居-1卜电-17卜；后卜"-1

从而所围三角形的面积为二尺一1I々％一11

所以，所围三角形的面积为定值2.

21.设关于x的不等式log?（|x|+|x-4|）>a

（1）当a=3时，解这个不等式;

（2）若不等式解集为R,求a的取值范围.

参考答案：

考点：对数函数的单调性与特殊点.

专题：计算题.

分析：(1)把a=3代入不等式可得，log?(|x+|x-4|)>3,结合对数函数的单调性可

得|x|+|x-4|>8,解绝对值不等式即可.

(2)