2021年新高考数学考前10天模拟定心卷三（解析版）

高考前10天模拟考试-定心卷(解析版)

数学(三)

本试卷分选择题和非选择题两部分，共16道小题，6道大题，满分150.考试时间120分钟.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.

1.已知集合A={y|y=炉+2x+3},B=<x\y=J,则Ap|B=()

A.[2,3]B.[2,3)C.(2,31D.(2,3)

【答案】B

【分析】

分别化简集合A,集合3,然后取交集即可.

【详解】

A={y|y=炉+2x+3=(x+l)2+2}={y|y..2},B=<x\y=2-——=x<3},

所以4cB=[2,3).

故选：B.

2.复数z+l=(z-l)i,贝|」1=()

A.iB.-iC.1+zD.1-i

【答案】A

【分析】

由已知条件得出z=--,利用复数的除法法则化简可得复数z,利用共输复数的定义可得结果.

1-1

【详解】

•JZ+I=(z—l)i,则z+l=zi-i,z=_j~^=_/0：/"~~r=--=-1>因此，Z=i-

故选：A.

3.把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是,空气的温度是.那么/min后物体的温。(单

位：。C)可由公式。求得，其中A是一个随着物体与空气的接触情况而定的常数.现有

46℃的物体，放在10℃的空气中冷却，Imin以后物体的温度是38℃,则衣的值约为(ln3。1.10,ln7b1.95)

)

A.0.25B.-0.25C.0.89D.-0.89

【答案】A

【详解】

由题意可知：。=%+（4—仇”-"

当4=46°,4=10°,f=l时，e=38°，

28。_7

代入公式得:38°=10°+(46°-1011即e-k

36：~9

7

9-21n3-ln7=2.20-1.95=0.25.

A.

【点睛】

本题主要考查指数对数函数的运算，属于简单题.

4.在平面直角坐标系x如中，角e的顶点为〃，始边为x轴的非负半轴，若点P（-1,2）是角a终边上的一

点,则tan（"一2c）等于（）

3434

A.----B.----C.-D.一

4343

【答案】B

【分析】

由三角函数的定义可求tana的值，再利用诱导公式及二倍角正切公式可求.

【详解】

2tana_2x(-2)_4

解：由题意，得tana=-2,从而tan（左一2a）=-tan2a=1—tan2a—"l-(-2)2--3

故选：B.

5.已知双曲线£-马=l（a>0,0>0）的离心率为K，则该双曲线的渐近线方程为（）

ab-

A.y=±gxB.y=±xC.y-±41xD.y=±2x

【答案】C

【分析】

直接利用6=£,。2=42+62进行齐次转化得到g=,即得结果

aa

【详解】

双曲线中，6=?=石,所以2=杵=/三:=后=1=J^T=0，

故该双曲线的渐近线方程为y=±y/2x.

故选：C.

6.已知（〃eN*）的展开式中有常数项，则”的值可能是（）

\x）

A.5B.6C.7D.8

【答案】B

【分析】

写出二项展开式通项公式，令》的指数为0,此式有正整数解，从而可得〃的范围.

【详解】

由题意展开式通项公式为=。;（/）…（工）=c>2,,-3r

所以关于r的方程2〃-3r=0有正整数解，〃必是3的整数倍.只有B满足.

故选:B.

7.如图所示，在正四棱锥S-中，AB=6,SA=36，它的内切球。与四个侧面分别相切于点发

F,G,，处，则四边形E尸G”外接圆的半径为（）

22

【答案】C

【分析】

作出过正四棱锥顶点和底面对边中点的截面ASMN,M,N是AD,8c中点，ASMN的内切圆是正四棱锥

内切球的大圆，切点£G为球与正四棱锥侧面的切点，求得ASMN的边长，得切点E,G位置求得EG,

而四边形EFG"是正方形，对称线为其外接圆直径，山此可得.

【详解】

如图，作出过正四棱锥顶点和底面对边中点的截面AS“V,不妨设M,N是中点（SM,SN是正

四棱锥的斜高），则ASMN的内切圆是正四棱锥内切球的大圆，切点E,G为球与正四棱锥侧面的切点，

正四棱锥S-A88中，AB=6，SA=3亚,则SM=SN=&后=6，MN=AB=6,ASMN

是等边三角形，则E,G分别为SM,SN的中点，EG=LMN=3,

2

13

由正四棱锥性质知四边形EFGH是正方形，所以外接圆半径为r=-EG=-.

22

故选：C.

【点睛】

方法点睛：在涉及到正棱锥与内切球、外接球的计算中，常常需要作出截面得出相应关系求解.对正四棱

锥来讲，有两个截面，一个是本题中作出的过棱锥的标点，和底面对边中点的截面，它截正四棱锥内切球

所得大圆为截面三角形的内切圆，另外一个是正四棱锥的对角面MC,它截外接球的大圆是截面三角形的

外接圆.

8.定义在R上的函数/（x）满足/'（x）-2/（》）一8>0,且/（0）=-2,则不等式/（%）>2/-4的解

集为（）

A.（0,2）B.（0,+8）C.（0,4）D.（4,+00）

【答案】B

【分析】

构造函数g(x)="，：4,利用导数分析函数g(x)的单调性，将所求不等式变形为g(x)>g(O),即可

解得x的取值范围.

【详解】

构造函数g(x)=g，则小)「("—")+旷J(X)一斗)8〉0,

所以，函数g(x)为R上的增函数，g(o)=丛注=2,

由/(x)>2g2,一4可得g(x)=/4〉2=g(0),所以，X>Q.

e"x

故选：B.

【点睛】

思路点睛：利用导数不等式求解函数不等式，思路如下：

(1)根据导数不等式的结构构造原函数g(x)；

(2)分析原函数的奇偶性，并利用导数分析出函数g(x)的单调性；

(3)将所求不等式变形为g(a)>g(6)或g(M)>g(W)(偶函数)；

(4)利用函数g(x)的单调性可得出关于。、。的不等式进行求解.

二、选择题：本题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.(山

东新高考:全部选对的得5分，有选错的得0分,部分选对的得3分.其他八省新高考：全部选对的

得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.)

9.已知向量石=(3,—4),5=(2,1),则()

A.a-2^=(-l,-6)

B.\a+h\^y/34

C.与向量£平行的单位向量为

2_

D.向量M在向量5上的投影向量为

【答案】ABD

【分析】

根据平面向量的坐标运算求解判断，注意与某个向量平行的单位向量有两个，它们是相反向量.

【详解】

由题意万一25=（—1,一6）,A正确;

a+b=（5,-3）,,+目=,5?+（-3）2=-s/34,B正确;

与£平行的单位向量有两个，它们是相反向量，c错；

£石=6—4=2＞0，向量M在向量5上的投影向量与B同向,

ab226I/-2-

W=R"=不一，而W=J5,所以向量M在向量5上的投影向量为，D正确.

故选：ABD.

10.如果函数/（x）在3,句上是增函数，那么对于任意的玉,勿（芯/占），下列结论中不正确的是

A,-6/㈤>0

玉-x2

C.右％vx?则/（。）＜/（西）＜/（/）＜/（》）D.＜。

【答案】CD

【分析】

根据单调性的定义百一W与—的符号相同，逐个判断即可.

【详解】

因为/（x）在［。,可上是增函数，所以对于任意的玉,工2€伍,例（玉。*2），玉一工2与/（玉）一）（%2）的符号

相同，故A,B正确，D不正确；

C中，若内＜々，则/（。）期（玉）＜/（%）/S），所以C不正确，

故选CD

【点

本题考查对单调性定义的理解，是基础题.

11.在AABC中下列关系成立的有（）

A.sin(A+B)=sinCB.cos(A+B)=cosC

「.A+BC八A+B.C

C.sin-----=cos—D.cos-----=-sin—

2222

【答案】AC

【分析】

由4+3+。=不，可得4+8=万一。04±目=二一2,再利用诱导公式判断即可.

222

【详解】

△ABC中，因为A+B+C="，

An-4+371C

所以A+3=;r—Cn-----=------，

222

所以sin(A+6)=sin(乃一C)=sinC,A正确;

cos(A+B)=cos(-C)=-cosC,B不正确；

D不正确.

故选：AC.

12.设。＞0力＞0,。+匕=1,则(

41八

A./+〃的最小值为g.B.—H7的范围为[9,+8)

ah

3+DS+1)D.若c>l,则["把-2]"+—^的最小值为8

C.的最小值为2J5

\[abIabJc-i

【答案】ABD

【分析】

由a?+从2(〃+b),可判定A正确；由一+7=(—+7)。+〃)=54----F-,可判定B正确；由

2ab\abJab

(4+DS+1)ab+Q+/?+lf—r2

-—7==-=---r=—=V^+-7=,结合基本不等式，可判定C不正确；由

7ab7ab7ab

/2\।।

3/+1

c4。b、A得到""-2-c+—L"(C-1)+—!—+4,进而判定D正确.

—2=1—>4

abbaab]c-\c-1

【详解】

对于A中，由"+8223+/斤=L当且仅当a=b=l■时取等，

222

可得〃+后的最小值为工，所以A正确；

2

41(41)/1x厂4brr

对于B中，由一+—=—+—(。+。)=5+—+—25+2,4=9,

abyabJab

21

当且仅当4=2/7时，即。=一力=一时，等号成立，取得最小值9,所以B正确；

33

(Q+l)(〃+l)4。+4+。+1f—r2

对于C中，由1—7=~-=------7=—=V^+-7=,

slab7ab7ab

r-r21214J

又由0<疝弓，所以V"+诟一>万+1==5+5,所以c不正确；

22

,.।,3。一+13。一+(Q+Z?)~4。b

对于1)中，由--------2=-----------------2=—十—24,

ababba

1?

当且仅当b=2a时，即。=不/二二时，等号成立，

可得-2[C+-^-N4(C-1)+-5-+4N8,

、ab)c—1c—1

3

当且仅当。=一时取等，所以D正确.

2

故选：ABD.

【点睛】

利用基本不等式求最值时，要注意其满足的三个条件：“•正、二定、三相等”：

(1)“一正”：就是各项必须为正数；

(2)“二定”：就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构

成积的因式的和转化成定值；

(3)“三相等”：利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所

求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

三、填空题：本题共4小题,每小题5分，共20分.

13.如图，在直三棱柱ABC-AB。中，若m=1,而=5,比I=d,则“=.（用〃,B,c表

示）

【答案】-a+b—c

【分析】

____UUU

根据题意画出图形，结合图形，利用空间向量的线性运算即可用4,仇C表示出A&

【详解】

在直三棱柱ABC—48cl中，若百=2丽=反反尸E，

则率=平+/+国

^qC-CA+CB

=-CA+CB-CQ

=—ci+h—c

故答案为：-G+B-E

【点睛】

本题考查空间向量的线性运算，属于基础题.

14.设随机变量f服从二项分布《6,；）,则P信42）等于

【答案】1

【分析】

将P©,2)转化为求Pe=0)+PK=D+P©=2),即可得到答案：

【详解】

P(£2)=Pe=0)+PC=l)+P(g=2)

\2j\2)\2)[2)\2j[2)64646432

故答案为：—.

32

15.已知等差数列｛&｝,且&+@5=10,a236=21,则&=.

【答案】/=〃+1或4=-〃+9.

【分析】

设等差数列｛凡｝的公差为4,根据题意列出方程组，求得d的值，即可求解.

【详解】

设等差数列｛q｝的公差为d,

因为。3+。5=2%=1°，可得。4=5,

又由a2a6=(%-2d)(%+2d)=(5-2d)(5+2d)=21,

解得“2=1，所以d=l或d=—l,

所以数列｛见｝的通项公式为4=〃+1或凡=一〃+9.

故答案为：氏=〃+1或=-〃+9.

16.在平面直角坐标系x勿中，己知直角AABC中，直角顶点1在直线x-y+6=0上，顶点B,。在圆

V+y2=iO上，则点4横坐标的取值范围是.

【答案】[-4,-2]

【分析】

山题意画出图形，写出以原点为圆心，以2有为半径的圆的方程，与直线方程联立求得工值，则答案可求.

【详解】

如图所示，当点A往直线两边运动时，44C不断变小,

当点A为直线上的定点时，直线A5,AC与圆相切时，N3AC最大,

当ABOC为正方形，则04=2逐，

则以。为圆心，以2石为半径的圆的方程为-+y2=20.

y=x+6

联立〈，，得X2+6X+8=0.

x2+y2=20

解得x=T或x=-2.

点A横坐标的取值范围是[T，-2].

故答案为：[-4,-2].

【点睛】

本题考查直线与圆位置关系的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求

解能力，求解时注意坐标法的应用.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.从①都是锐角，且sina=^~,cosJ3=,、②a、f3都是钝角，且tana=——,cosB--士心工；

510434

53

③a是锐角，〃是钝角，且tan2a=方，tan£=一万这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加

以解答.

已知，求夕+£的值.

如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

冗

【答案】选择①：a+/3=~TT；选择②：夕=」771；选择③：a+/3=3—.

444

【分析】

选择①根据已知条件求出COSa、sin/7的值，再计算cos(a+〃)的值即可求解；选择②由已知条件先求出

Sin夕的值，即可求tan夕得值，计算tan(a+4)的值，结合a+£的范围即可求解；选择③先利用正切的

二倍角公式计算出tana的值，计算tan(a+4)的值，结合£的范围即可求解.

【详解】

gc°s£=亚;

若选择①a,夕都是锐角，ILsina

510

由名，都是锐角，且sina=更，cos/3=3

510

c°s(a+0—八…叱竽x噜.去噜考,

TT

因为见方都是锐角，所以Ova+4〈兀，所以=+月=一;

4

若选择②a,尸都是钝角，且tana=—Leos尸=—士叵

434

因为〃是钝角，cos/7=-3昼

34

3取

可得sin，=Jl-cos?0

34

3扃

sinf33

所以tanP=34

COS057345

34

因为a是钝角，tanct——,

4

13

tana+tan，

所以tan(a+/?)=

1-tana•tanf3

因为一va＜]，—＜B＜TC,所以/＜。+/?＜2%，

22

所以a+/?="；

4

53

若选择③：。是锐角，夕是钝角，且tan2a=—，tan〃二一一,

122

2tancc5

由tan2a=---------=—整理可得：5tan2。+24tanc—5=0，

l-tan2a12

即(5tan二一1)(tana+5)=0解得tana=g或tana=—5(舍)

1_3

tana+tan/?

所以tan(a+p)=

1-tana-tan°

_.、,cTCTCcr-r-II冗c31

因为0＜二＜一，—＜，＜"，所以一＜。+[＜—,

2222

所以。+£=型

4

【点睛】

思路点睛：对于给值求角型的题目，要注意先由已知条件判断角的范围，再确定计算哪一种三角函数值,

jr34

如已知条件给的是弦，角的范闱是［0,乃］或［〃,2乃］,要计算余弦值，角的范围是要计算正弦值,

以保证该三角函数在区间内单调，若已知正切应计算角的正切值，再求角.

18.已知数列｛q｝的各项均为正，其前〃项和为S“，且满足：2S,=%+%(〃eN)

(1)求数列｛q｝的通项公式；

(2)设〃=%+£,若对任意的〃eN*，都有求实数c的取值范围.

an

【答案】(1)a“=〃(〃eN*)；⑵［6,12］.

【分析】

(1)当〃=1时，可求得力：当“22时，利用%=S“-S,i可证得数列｛4｝为等差数列，由等差数列通

项公式可求得4；

(2)由可得(”—3)(3〃-C)N0,分别在〃<2、〃=3和〃24三种情况下，利用恒成立的思想求

3〃

得结果，综合可得结果.

【详解】

(1)当〃=1时，2S]=2al=a；+4,又>0,4=1；

当〃22时，2s._]=+an_x,2an-2(S“—S“_|)=a~+an,

整理可得：(a.+a,i)(a“_a,i_l)=O,又a“+4->0,a“—a,1-1=0,

即。“一a,i=l，，数列｛风｝是以1为首项，1为公差的等差数列，，%=〃；

经检验：当〃=10寸，满足/=〃；

综上所述：a“=〃(〃eN*)；

(2)由(1)得：b”=〃T—,由42％得：n-\—23H—,

nn3

...〃+£_3一£=3/-(。+9)〃+3。=("3)(3〃-c)20

〃33〃3n

①当时，〃一3v0,3〃>0,.\3«—c<0,即cN3〃恒成立，c>6；

②当〃=3时，(〃二3)(3〃二c)=0,.•.52%恒成立，...。€/?；

3n

③当〃24时，n—3>0,3/1>0»/.3n—c>0,即恒成立.，/.c<12；

综上所述：实数，的取值范围为[6,12].

【点睛】

易错点睛:在利用勺与S,关系求解数列通项公式时，需注意验证首项是否满足〃N2时所求解的通项公式，

S],几=1

若不满足，则通项公式为分段数列的形式，即《,=1

[Sn-Sn_„n>2

19.某省高考曾经使用过一段标准分制度，标准分是把学生考试的基础分参与全省排出相对名称，通过公

式换算成标准分.高考后公布考生的标准分，而不公布基础分.考生根据自己的标准分多少就可以大致估出

自己在全省考生的名次.其标准分才是服从正态分布"(500,IO。?)的随机变量.假设某学生的数学成绩不

低于600的概率为R.

（1）求R的值；

（2）某校高三的高考英语和数学两科都超过600分的有5人，仅单科超过600分的共有8人，在这些同学

中随机抽取3人，设三人中英语和数学双科都超过600分的有&人，求&的分布列和数学期望.

（参考数据：若h"（U,。与，有产（口-。（朕口+。）=0.6826,P（u-2o〈启u+2。）=0.9544,

P（u-3o<收u+3o）=0.9974.）

【答案】（1）0.1587；（2）分布列见解析,后传）=>

【分析】

（1）根据随机变量X服从正态分布“（500,lOOJ,得到〃=500,<7=100,再由网=户（尤>600）=1-

（1W500）+—^（400<T^600）］求解.

2

（2）根据英语和数学双科都超过600分的有5人，仅单科超过600分的有8人，得到€的所有取值有0,1,

2,3,然后分别求得相应概率，列出分布列，再求期望.

【详解】

（1）由于随机变量¥服从正态分布“（500,100D,

.•.〃=500,o—100,

P（X>600）=1-月（启600）,

由正态分布的对称性，可知/（xWSOO）=—,

2

则P（400〈启600）=0.6826,

则R»=P（尤>600）=1-P（朕600）

=1-［2（启500）+：（400CXW600）］

2

=1-（-+-X0.6826）

22

=1-（0.5+0.3413）

=0.1587.

（2）英语和数学双科都超过600分的有5人，仅单科超过600分的有8人,

&的所有取值有0,1,2,3,

P(g=0)Ci”

0（&=2）=。犯840

C；5

〃（&=3）

二&的分布列为:

€0123

2870405

P

143143143143

厂”、，、28।70。40r515

/（自）=Ox------Fix------l-2x------b3x----=—

14314314314313

【点睛】

方法点睛：求解离散型随机变量才的分布列的步骤：①理解才的意义，写出才可能取的全部值：②求才取

每个值的概率；③写出/的分布列.求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率.

20.已知M、N是正四棱柱ABCD-ABCQI的棱与G、GA的中点，异面直线MN与A4所成角的大

小为arccos典

10

(1)求证：M、N、B、。在同一平面上;

(2)求二面角C—MN—G的大小.

【答案】(1)证明见解析；(2)arctan472.

【分析】

(1)根据MN〃可知四点共线，即可求证：

(2)先证明NCOG是二面角C-MN-G的平面角，解三角形求解即可.

【详解】

(1)连接MN、05、,取MN的中点。，连接CO,CQ,如图,

2G

M是棱的中点.N是棱的GA的中点，

则MN〃。乃「DBHD、B\

所以MN//DB，

所以M、N、B、。确定一个平面，

即A/、N、B、。在同一平面上

（2）由（1）可知NA4A（或其补角）是异面直线MN与A4所成的角

设底面A5CD的边长为。，正四棱柱高/?

2222

ABt=\/a+h，AR=yja+h，BR=41a，

22222=巫，解得/z=2a

..D„a+h+2a-a-h

cosZAB.D.=-------1~—-------------

2“2+〃2.血&10

取MN的中点。，因为CM=CV,C[M=C1N,

则CO，MN,CQ上MN,/COC1是二面角C-MN-G的平面角

yf2n「八-tanZ.COC.==—1=—=4>/2

C,O=—a，R〃COG中，OC,&

4——a

4

二面角C—MN—C1的大小为arctan4\/D

【点睛】

关键点点睛：根据二面角的定义，作出或证明二面角，利用直角三角形求解即可，属于中档题.

21.已知左、右焦点分别为耳、居的椭圆a0+与=1（。＞匕＞0）过点（夜,6）,以与尺为直径的圆过

ab

C的下顶点A.

（1）求椭圆C的方程；

（2）若过点P（O,1）的直线1与椭圆C相交于照N两点，且直线AM、AN的斜率分别为占、k2,证明："

为定值.

22

【答案】（1）—%+^v-=1；（2）证明见解析.

84

【分析】

（1）由以£玛为直径的圆过下顶点A得人=。，结合椭圆参数关系及点在椭圆上求6,写出椭圆方程即

可.

（2）由题意，可设直线/为丁=h+1,加（石,%）,%（々,%），联立椭圆方程，由韦达定理得不+々，%工2，

又占=2-^2=--，得K•晨表达式并求值，即可证明结论.

玉x2

【详解】

（1）•.•以4名为直径的圆过点40,4）,

:,b=c，,又a=\Jb2+c2-y/2b,

二椭圆C:又c过点,

23

/•2从+=1，解得b-1,a—2.yp2.,

22

...椭圆c的方程为土+匕=1.

84

（2）由题意，直线/的斜率一定存在，

,设直线1的方程为y=履+1,M（石,％,N（/,必），

"22

工+21=1

由《84一，消去y得（1+2左2）f+4版一6=。，J=64^2+24＞0.

y=kx-\-\

4k-6

于是玉+%2=又A（0,-2）,

l+2k21-1+2公

X+2,必+2（凹+2）（%+2）_（依+3）（5+3）_公中2+3%&+々）+9

,〜一,则片•G———

玉X?XyX2x}x2XjX2

229(l+2k2)3,

=k2+2k2——------L=--为定值•

62

【点睛】

关键点点睛：第二问，首先确定宜线/的斜率一定存在，再设直线方程并联立椭圆方程，应用韦达定理、

斜率两点式，求得匕•&表达式，最后求证是否为定值.

22.已知函数/(x)=lnx+g,aeR,且曲线y=/(x)在x=l处的切线平行于直线2x+y=0.

x

(1)求a的值;

(2)求函数f(x)的单调区间;

(3)已知函数g(x)=/(%)一X-』图象上不同的两点4(%,y),6(马,％)，试比较&5"与g1立产]

X