有理数的乘方及混合运算（教案）

有理数的乘方及混合运算从前，有个“聪明的乞丐”他要到了一块面包。他想，天天要饭太辛苦，如果我第一天吃这块面包的一半，第二天再吃剩余面包的一半，……依次每天都吃前一天剩余面包的一半，照这样下去，我就永远不用那么辛苦去要饭啦，哈哈哈……请想想看，如果把整块面包看成整体“1”，那第三天将吃到面包的，那第五天呢？2.拉面馆的师傅用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复多次，就能把这根很粗的面条，拉成许多很细的面条。请想想看，捏合次后，可以拉出8根面条；捏合次后，就可以拉出32根面条。知识名称 ：有理数的乘方及混合运算【知识梳理1】1.乘方的概念：一般地，n个相同的因数a相乘，即：，记作，读作a的n次方。求n个相同因数的积的运算，叫做乘方。2.乘方的结果叫做幂（power）；在中，a叫做底数（basenumber），n叫做指数（exponent）。3、乘方运算的方法：把乘方的结果即幂的大小计算出来。如：，。4、0的任何正整数次幂都是0。5、非零实数的零次方为1，即=1（a≠0）。【例题精讲】例1对于与－，下列说法正确的是（）A．它们的意义相同B．它们的结果相等C．它们的意义不同，结果相等D．它们的意义不同，结果不【答案】D【本题主要是考察有理数的乘方的意义，注意明确乘方底数的不同】例2.(1)；(2)；(3)。解：(1)原式=(－2)(－2)(－2)=－8，(2)原式=(－2)(－2)(－2)(－2)=16，(3)原式=(－2)(－2)(－2)(－2)(－2)=－32。例3计算：分析：在有关乘方的计算中，最易出现错误的是“符号问题”，解决问题的关键是准确理解幂的概念，头脑时刻保持清醒，不要随意的增减和变换符号，更不要“跳步”，严格按照运算法则进行。解：例4．计算:(1)；(2)－72；(3)；(4).【答案】(1)(－7)2=(－7)×(－7)=49；(2)－72=－7×7=－49；(3)(－)4=(－)×(－)×(－)×(－)=；(4)－(－5)3=－(－5)×(－5)×(－5)=－(－125)=125.【本题主要考察有理数的乘方，要注意计算式先确定结果的符号，在确定结果的数字】【巩固练习】1、(―2)6读作什么?其中底数是什么?指数是什么?(―2)6是正数还是负数?-2的六次方，底数是-2，指数是6，(―2)6是正数。；；；。3、计算：1米长的小棒，第1次截去一半，第2次截去剩下的一半，如此截下去，第8次后剩下的小棒有多长？【答案】（）8×1=（米）【有理数的乘方的规律探究题，要能够将实际问题转化为数学问题】【知识梳理2】加减乘除及乘方的运算顺序：先算括号里面的，再算括号外面的；先算乘方，后算乘除，再算加减。（1）（－36）×［+（）］；解：原式=（－36）×［+（）］=（－36）×（）+（－36）×（）+（－36）×（）=8+15+6=29.（2）（－2）×（）×（）×.解：原式=（－2）×（）×（）×=－（2×××）=－5.计算：(－6)×［+(－)］解：原式例3：算：（1）－()2×(－42)÷(－)2；（2）(－3)3×(－1)÷(－42)×(－1)25.【答案】（1）－()2×(－42)÷(－)2=64；（2）(－3)3×(－1)÷(－42)×(－1)25=2.【本题主要考察有理数的混合运算，要注意运算法则】【巩固练习】(1)－7÷3－14÷3；(2)(－5－2)÷3.【解答】(1)－7÷3－14÷3=－7×－14×=(－7－14)×=－21×=－7；(2)(－5－2)÷3=(－5－2)×=－×－×=－－=－.计算：（1）（－）÷；（2）（－3.5）÷×（）【答案】（1）（）÷=（）×=（2）（－3.5）÷×（）=××(）=（）=3.【知识梳理3】科学记数法概念：把一个数写做的形式，其中，n是整数，这种记数法叫做科学记数法。【例题精讲】今年我市参加中考的人数大约有41300人，将41300用科学记数法表示为（）（★★）(2分钟)A．413×102B．41.3×103C．4.13×104D．0.413×103考点：科学记数法—表示较大的数．分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解：解：41300=4.13×104，故选：C．点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．例2.0.0036×108整数部分有_____位,-87.971整数部分有_____位,光的速度是300000000米/秒是________位整数.（★★★）（2分钟）解：6,2,9科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【巩固练习】1.太阳的半径约为696000千米,用科学记数法表示为_____千米.解：6.96×1052.世界工程量最大的水利工程━━三峡工程,今年6月二期工程完工,开始蓄水,其混凝土浇筑量为5481700立方米,创造了混凝土浇筑的世界纪录,请用科学记数法表示5481700立方米=________立方米.解：5.4817×10633、人类的遗传基因就是DNA,人类的DNA是很长的键,最短的22号染色体也长达30000000个核苷酸,30000000用科学记数法表示是()（★★★）（1分钟）A.3×108B.3×107C.3×106D.0.3×103解：B4、2017年我市深入实施环境污染整治，某经济开发区域经的40家化工企业中已关停、整改32家，每年排放的污水减少了167000吨。将167000用科学计数法表示为（）A、167×103B、16.7×104C、1.67×105D、0.167×106【答案】C【本题考察科学记数法，注意科学计数法的一般形式为，其中的数】一、填空题1、0×÷=_________.2、2009×=________.3、(－1)×(+1)×(－1)÷(－1)×(－1)÷(－1)=__________.4、2010÷(1－)××=__________.5、(－2)×(－2)×(－2)×(－2)÷(－4)=________.6、×27＋27×＋=__________.答案：1、0;2、2008;3、－1;4.1;5、4;6、13;二、选择题1、下列各组数中，结果一定相等的为（）A．与B.与C.与D.与【答案】C【本题考查了有理数的乘方，难点在于区分有括号与没有括号的区别，例如：-a2与（-a）2，是易错题】 2．a为有理数，下列说法正确的是（）A．为正数B.+的值不小于C.为负数D.为正数【答案】D【本题考查了平方的非负性，注意零的存在】在一列数：，，，，…中，第n个数（n为正整数）是.【答案】【本题考查了规律型：数字的变化类：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况】二、计算（1）（2）（-11）×+（+5）×+（-137）÷5+（+113）÷5解：（1）原式＝＝＝－110.（2）（-11）×+（+5）×+（-137）÷5+（+113）÷5=（-11）×+（+5）×+（-137）×+（+113）×=×[（-11）+（+5）+（-137）+（+113）]=×[-6+（-24）]=×（-30）=-6．下列各数哪些是用科学记数法表示的.(1)63000=63×103;(2)753000=7.53×103;(3)1300000000=1.3×109(4)25746300=257463×102;(5)696000=6.96×105解：(1)、(2)、(4)不是,(3)、(5)是【课堂巩固】一、填空题1、几个不等于0的有理数相乘，它们的积的符号如何确定_______.2、四个各不相等的整数，它们的积abcd=25，那么a+b+c+d=_____________.3、相反数是它本身的数是___________，倒数是它本身的数是_____________.4、若a,b互为倒数，则ab的相反数是______________.5、12×(－2)÷(－5)=_______.6、用“＜”或“＞”或“=”填空:(1)(－)÷(－)÷(－)0；(2)(－)÷÷(－)___________0；(3)0÷(－5)÷(－7)___________0.二、选择题1、已知ab<|ab|,则有（）A.ab<0 B.a<b<0C.a>0,b<0 D.a<0<b2、下面结论正确的个数有()①若一个负数比它的倒数大,这个负数的范围在－1与0之间②若两数和为正,这两数商为负,则这两个数异号,且负数的绝对值较小③0除以任何数都得0④任何整数都大于它的倒数3、两个数的商为正数，那么这两个数的（）4、若m＜0，则等于（）5、下列各对数中,互为倒数的是（）A.－和3B.－1和1C.0和0D.－1和－三、计算题18、(1)×(－)×(－)(2)(－)×(－)×0×(3)×(－1.2)×(－);(4)(－)×(－)×(－)19、(1)(－5)÷(－15)÷(－3)；(2)－1+5÷(－)×(－6)；(3)(－)×(+)÷×(－)=.四、解答题1、求下列各数的倒数并用“<”把它们连接起来.：－,2,|－3|,0.5,－1.6.2、已知│3-y│+│x+y│=0，求的值3、某班举行知识竞赛，评分标准是：答对1道题加10分，答错1道题扣10分，每个队的基本分为100分，有一个代表队答对了12道题，答错了5道题，请问这个队最后得多少分？4、求除以8和9都是余1的所有三位数的和.5、我们在计算时经常碰到一题多解的情况，如计算（－）÷（－+－）解法一：原式=(－)÷(－)=－×3=－.解法二：原式的倒数为（－+－）÷（－）=（－+－）×（－30）=×（－30）－×（－30）+×（－30）+×30=－20+3－5+12=－10.所以原式=－.阅读上述材料，并选择合适的方法计算：计算：【参考答案】一、填空题1、.当负数个数为偶数时，积为正数，当负数个数为奇数时，积为负数2、03、01和－14、－1;5、4.8;6、＜＞=二、选择题1、A2、D3、C4、C5、B三、计算题、(1)原式=［－(×)］×(－)=(－)×(－)=+(×)=(2)原式=0(3)原式=+(×1.2×)=(4)原式=－(××)=－、(1)(－5)÷(－15)÷(－3)=－；(2)－1+5÷(－)×(－6)=179；(3)(－)×(+)÷×(－)=.20、四、解答题1、－的倒数为－.∵2=,∴2的倒数为.∵|－3|=3=,∴|－3|的倒数为.∵0.5=,∴0.5的倒数为2.∵－1.6=－1=－,∴－1.6的倒数为－.∴－<－<<<2.2、解：│3-y│+│x+y│=0，且│3-y│≥，│x+y│≥0，所以3-y=0，x+y=0，所以y=3，x=-3，所以=0．3、【解析】答对12道题得120分，答错了５道题得－50分，每个队的基本分为１００分，这个队最后得100+12×10+5×（－10）=170（分）.【答案】100+12×10+5×（