纳维-斯托克斯方程

wordword/word纳维－斯托克斯方程纳维－斯托克斯方程〔Navier-Stokesequations〕，以\o"克劳德-路易·纳维"克劳德-路易·纳维(Claude-LouisNavier)和\o"乔治·加布里埃尔·斯托克斯"乔治·加布里埃尔·斯托克斯命名，是一组描述像\o"液体"液体和\o"空气"空气这样的\o"流体"流体物质的方程。这些方程建立了流体的粒子\o"动量"动量的改变率(\o"加速度"加速度)和作用在液体内部的压力的变化和耗散粘滞力(类似于\o"摩擦力"摩擦力)以与引力之间的关系。这些粘滞力产生于分子的相互作用，能告诉我们液体有多粘。这样，纳维-斯托克斯方程描述作用于液体任意给定区域的力的动态平衡。他们是最有用的一组方程之一，因为它们描述了大量对学术和经济有用的现象的物理过程。它们可以用于模拟\o"天气"天气，\o"洋流"洋流，管道中的水流，\o"星系"星系中恒星的运动，\o"翼型"翼型周围的气流。它们也可以用于飞行器和车辆的设计，血液循环的研究，电站的设计，污染效应的分析，等等。纳维-斯托克斯方程依赖\o"微分方程"微分方程来描述流体的运动。这些方程，和\o"代数方程"代数方程不同，不寻求建立所研究的变量〔譬如\o"速度"速度和\o"压力"压力〕的关系，而是建立这些量的变化率或\o"通量"通量之间的关系。用数学术语来讲，这些变化率对应于变量的\o"导数"导数。这样，最简单情况的0粘滞度的\o"理想流体〔页面不存在〕"理想流体的纳维-斯托克斯方程明确加速度〔速度的导数，或者说变化率〕是和内部压力的导数成正比的。这表示对于给定的物理问题的纳维-斯托克斯方程的解必须用\o"微积分"微积分的帮助才能取得。实用上，只有最简单的情况才能用这种方法解答，而它们确实切答案是的。这些情况通常涉与稳定态〔流场不随时间变化〕的非\o"湍流"湍流，其中流体的\o"粘滞系数"粘滞系数很大或者其速度很小〔小的\o"雷诺数"雷诺数〕。对于更复杂的情形，例如\o"厄尔尼诺"厄尔尼诺这样的全球性气象系统或\o"机翼"机翼的\o"升力"升力，纳维-斯托克斯方程的解必须借助计算机。这本身是一个科学领域，称为\o"计算流体力学"计算流体力学。虽然\o"湍流"湍流是日常经验中就可以遇到的，但这类问题极难求解。一个$1,000,000的大奖由\o"克雷数学学院"克雷数学学院于2000年5月设立，奖给对于能够帮助理解这一现象的数学理论作出实质性进展的任何人。目录1根本假设1.1随体导数1.2守恒定律1.2.1连续性方程1.2.2动量守恒2方程组2.1一般形式2.1.1方程组的形式2.1.2闭合问题3特殊形式3.1牛顿流体3.2宾汉〔Bingham〕流体3.3幂律流体3.4不可压缩流体4参看5参考文献6外部根本假设在解释纳维-斯托克斯方程的细节之前，我们必须首先对流体的性质作几个假设。第一个假设是流体是连续的。这强调它不包含形成内部的空隙，例如，溶解的气体的气泡，而且它不包含雾状粒子的聚合。另一个必要的假设是所有涉与到的场，全部是\o"可微"可微的，例如\o"压强"压强，\o"速度"速度，\o"密度"密度，\o"温度"温度，等等。该方程从\o"质量"质量，\o"动量"动量，和\o"能量"能量的\o"守恒〔页面不存在〕"守恒的根本原理导出。对此，有时必须考虑一个有限的任意体积，称为\o"控制体积"控制体积，在其上这些原理很容易应用。该有限体积记为，而其外表记为。该控制体积可以在空间中固定，也可能随着流体运动。这会导致一些特殊的结果，我们将在下节看到。随体导数运动流体的属性的变化，譬如\o"大气"大气中的风速的变化，可以有两种不同的方法来测量。可以用气象站或者气象气球上的\o"风速仪〔页面不存在〕"风速仪来测量。显然，第一种情况下风速仪测量的速度是所有运动的粒子经过一个固定点的速度，而第二种情况下，仪器在测量它随着流体运动时速度的变化。同样的论证对于密度、温度、等等的测量也是成立的。因此，当作微分时必须区分两种情况。第一种情况称为空间导数或者欧拉导数。第二种情况称为实质或拉格朗日导数。例子请参看\o"随体导数〔页面不存在〕"随体导数条目。随体导数定义为算子〔operator〕：其中是流体的速度。方程右边的第一项为哪一项普通的欧拉导数〔也就是在静止参照系中的导数〕而第二项表示由于流体的运动带来的变化。这个效应称为\o"移流〔页面不存在〕"移流〔advection〕。L的守恒定律在一个\o"控制体积"控制体积上的积分形式是：因为Ω是共动的，它随着时间而改变，所以我们不能将时间导数和积分简单的交换。因为这个表达式对于所有成立，它可以简化为：对于不是密度的量〔因而它不必在空间中积分〕，给出了正确的共动时间导数。守恒定律主条目：\o"守恒定律"守恒定律NS方程可以从守恒定律通过上述变换导出，并且需要用\o"状态方程"状态定律来\o"闭包"闭合。在控制体积上，使用上述变换，如下的量视为守恒：\o"质量"质量\o"能量"能量\o"动量"动量\o"角动量"角动量连续性方程质量的守恒写作：其中是流体的密度。在不可压缩流体的情况不是时间或空间的函数。方程简化为：动量守恒动量守恒写作：注意是一个\o"X量"X量，代表\o"X量积"X量积。我们可以进一步简化，利用连续性方程，这成为：我们可以认出这就是通常的F=ma。方程组一般形式方程组的形式纳维-斯托克斯方程的一般形式是：关于动量守恒。\o"X量"X量代表施加在一个流体粒子上的外表力〔\o"应力X量"应力X量〕。除非流体是由象旋涡这样的旋转自由度组成，是一个对称X量。一般来讲，我们有如下形式：其中是法向约束，而是切向约束。\o"迹"迹在流体处于平衡态时为0。这等价于流体粒子上的法向力的积分为0。我们再加上连续性方程：对于处于平衡的液体，的迹是3p。其中p是压强最后，我们得到：其中是的非对角线局部。闭合问题这些方程是不完整的。要对它们进展完备化，必须对的形式作一些假设。例如在\o"理想流体〔页面不存在〕"理想流体的情况分量为0。用于完备方程组的方程是\o"状态方程"状态方程。再如，\o"压强"压强可以主要是\o"密度"密度和\o"温度"温度的函数。要求解的变量是速度的各个分量，流体密度，静压力，和\o"温度"温度。流场假定为\o"可微"可微并\o"连续函数"连续，使得这些平衡得以用偏微分方程表达。这些方程可以转化为\o"涡度"涡度和\o"流函数〔页面不存在〕"流函数这些次变量的威尔金森方程组。解依赖于流体的性质〔例如\o"粘滞度"粘滞度、\o"比热"比热、和\o"热导率"热导率〕，并且依赖于所研究的区域的边界条件。的分量是流体的一个\o"无穷小"无穷小元上面的约束。它们代表垂直和剪切约束。是\o"对称"对称的，除非存在非零的\o"自旋密度〔页面不存在〕"自旋密度。所谓\o"非牛顿流体"非牛顿流体是就是其中该X量没有特殊性质使得方程的特殊解出现的流体特殊形式这些是问题的特定的常见简化，有时解是的。牛顿流体主条目：\o"牛顿流体"牛顿流体在牛顿流体中，如下假设成立:其中是液体的\o"黏度"粘滞度。其中为简化书写，对脚标使用了\o"爱因斯坦求和约定"爱因斯坦求和约定。不采用简化书写的完整形式非常繁琐，分别为：动量守恒：质量守恒：因为密度是一个未知数，我们需要另一个方程。能量守恒：其中：假设一个\o"理想气体"理想气体：上面是一个６个方程６个未知数的系统。〔u，v，w，T，e以与〕。宾汉〔Bingham〕流体主条目：\o"宾汉流体"宾汉流体在宾汉流体中，我们有稍微不同的假设：那些流体在开始流动之前能够承受一定的剪切。\o"牙膏"牙膏是一个例子。幂律流体主条目：\o"幂律流体"幂律流体这是一种理想化的\o"流体"流体，其\o"剪剪应力"剪切应力，，由下式给出不可压缩流体主条目：\o"不可压缩流体"不可压缩流体其纳维－斯托克斯方程(Navier-Stokeequation)为\o"动量守恒"动量守恒和\o"质量守恒"质量守恒。其中，对不可压缩牛顿流体来说，只有对流项(convectiveterms)为非线性形式。对流加速度(convectiveacceleration)来自于流体流动随空间之变化所产生的速度改变，例如：当流体通过一个渐缩喷嘴(convergentnozzle)时，流体产生加速之情况。由于此项的存在，对于暂态运动中的流体来说，其流场速度变化不再单是时间的函数，亦与空间有关。另外一个重要的观察重点，在于黏滞力(viscosity)在流场中的以流体速度作拉普拉斯运算来表现。这暗示了在牛顿流体中，黏滞力为动量扩散(diffusionofmomentum)，与热扩散方程非常类似。;是\o"散度"散度，是\o"克罗内克记号"克罗内克记号。假如在整个流体上均匀，动量方程简化为〔假如这个方程称为\o"欧拉方程(流体动力学)"欧拉方程；那里的重点是\o"可压缩流〔页面不存在〕"可压缩流和\o"冲击波"冲击波〕。如果现在再有为常数，我们得到如下系统：连续性方程〔假设不可压缩性〕：N-S方程的简化版本。采用《不可压缩流》，RonaldPanton所著第二版注意纳维－斯托克斯方程仅可近似描述液体流，而且在非常小的尺度或极端条件下，由离散的分子和其他物质〔例如悬浮粒子和溶解的气体〕的混合体组成的真实流体，会产生和纳维－斯托克斯方程所描述的连续并且齐性的液体不同的结果。依赖于问题的纳森数，统计力学可能是一个更适宜的方法。但是，纳维－斯托克斯方程对于很大X围的实际问题是有效的，只要记住他们的缺陷是天生的就可以了。参看\o"雷诺数"雷诺数\o"马赫数"马赫数\o"雷诺平均纳维－斯托克斯方程"雷诺平均纳维－斯托克斯方程参考文献IngeL.RhymingDynamiquedesfluides,1991PPUR.PolyaninA.D.,KutepovA.M.,VyazminA.V.,KazeninD.A.,Hydrodynamics,MassandHeatTransferinChemicalEngineering,Taylor&Francis,London,2002.ISBN0-415-27237-8.外部克雷数学研究院纳维-斯托克斯方程大奖该问题的正式命题纳维-斯托克斯方程的一个推导纳维-斯托克斯方程的推导NASA关于纳维-斯托克斯方程的网页纳维-斯托克斯方程〔一些准确解〕，位于EqWorld:数学方程的世界\o"Template:连续介质力学"查

·\o"Templatetalk:连续介质力学"论

·编\o"连续介质力学"连续介质力学根本定律\o"质量守恒定律"质量守恒、\o"动量守恒定律"动量守恒、\o"能量守恒定律"能量守恒、\o"克劳修斯定理"熵不等式\o"固体力学"固体力学\o"固体"固体、\o"胡克定律"胡克定律、\o"杨氏模量"杨氏模量、\o"弹性(物理学)"弹性、\o"体积模量"体积模量、\o"泊松比"泊松比、\o"形变"形变、\o"剪切模量"剪切模量、\o"应力"应力、\o"塑性〔页面不存在〕"塑性、\o"有限应变理论〔页面不存在〕"有限应变理论、\o"无限小应变理论〔页面不存在〕"无限小应变理论、\o"粘弹性"