【大单元教学】初中数学人教版七年级下册5.3 平行线的性质（单元教学设计）

5.3平行线的性质（单元教学设计）一、【单元目标】 通过实际操作，引导学生动手画出两条平行线，再画出一条直线截取这两条平行线，然后拿出量角器测量一下所形成的八个角，对比一下度数关系，就可以得到结论；通过学生的自己动手操作，培养学生的思考能力，拓展基础知识的应用，加深学生对基础知识概念的理解，激发学生的学习兴趣；（1）通过具体的实验操作，让学生发现同位角、内错角、同旁内角的度数关系，从而上升到结论，得到平行线的性质，这样可以锻炼学生对概念的理解，从不断的试验过程中理解平行线的性质，从而熟练运用平行线的性质；（2）通过小组合作探究，让学生参与教学过程，加深对基础概念的理解，提升了学生的数学抽象素养，进一步发展了学生的类比推理素养；（3）通过典型例题的训练，加强学生的做题技巧，训练做题的方法，提升学生的逻辑推理素养；（4）在师生共同思考与合作下，学生通过概括与抽象、类比的方法，体会了归因与转化的数学思想，同时提升了学生的数学抽象素养，并发展了学生的逻辑推理素养；（5）通过不断地试验，提高学生的观察事物的能力，同时激发学生的学习兴趣，提升学生的人文素养；【单元知识结构框架】平行线的性质两直线平行，同位角相等命题、证明、定理三、【学情分析】1．认知基础平行线的性质是运用平行线关系的基础，也是后面几何证明过程必须掌握的知识点；因此通过试验的方式培养学生的动手能力，加强对概念的理解，可以帮助学生在之后的性质应用上更加灵活；2.认知障碍平行线的性质可以通过试验的方式加强对概念的理解，但相对来说还是比较抽象，因此学生在运用性质的时候，直接运用的比较熟练，一旦需要多次运用平行线的性质，或者需要其他条件再用平行线的性质此类题型，学生会把握不住方向，从而导致证明过程无法继续；四、【教学设计思路/过程】课时安排：约2课时教学重点：理解平行线的性质并会进行相关的证明，掌握平行线的性质与判定之间的区别联系；教学难点：平行线的性质与判定的综合运用；运用平行线的性质进行推理证明；了解真命题和假命题的概念，能判断一个命题的真假性，并会对命题举反例；五、【教学问题诊断分析】5.1.1平行线的性质验证问题1：同学们，前面我们已经学过了平行线的判定，那两条平行线被第三条直线所截，所形成的同位角、内错角和同旁内角又有什么样的关系呢？【破解方法】通过画出两条平行线，再画出一条截线，我们可以通过拿量角器测量各个角的度数，从而得到同位角、内错角和同旁内角的关系；问题2：如图，AB∥CD，BE∥DF，∠B＝65°，求∠D的度数．【破解方法】已知平行线求角度，应根据平行线的性质得出同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．再结合已知条件进行转化．【解析】∵AB∥CD，∴∠BED＝∠B＝65°.∵BE∥FD，∴∠BED＋∠D＝180°，∴∠D＝180°－∠BED＝180°－65°＝115°.问题3：（平行线与角平分线的综合应用）如图，DB∥FG∥EC，∠ACE＝36°，AP平分∠BAC，∠PAG＝12°，求∠ABD的度数．【破解方法】(1)利用平行线的性质可以得出角之间的相等或互补关系，利用角平分线的定义，可以得出角之间的倍分关系；(2)求角的度数，可把一个角转化为一个与它相等的角或转化为已知角的和差．【解析】∵FG∥EC，∴∠CAG＝∠ACE＝36°.∴∠PAC＝∠CAG＋∠PAG＝36°＋12°＝48°.∵AP平分∠BAC，∴∠BAP＝∠PAC＝48°.∵DB∥FG，∴∠ABD＝∠BAG＝∠BAP＋∠PAG＝48°＋12°＝60°.问题4：（平行线性质的探究应用）如图，已知∠ABC.请你再画一个∠DEF，使DE∥AB，EF∥BC，且DE交BC边与点P.探究：∠ABC与∠DEF有怎样的数量关系？并说明理由．【破解方法】画出满足条件的图形时，必须注意分情况讨论，即把所有满足条件的图形都要作出来．【解析】∠ABC与∠DEF的数量关系是相等或互补．理由如下：如图①，因为DE∥AB，所以∠ABC＝∠DPC.又因为EF∥BC，所以∠DEF＝∠DPC，所以∠ABC＝∠DEF.如图②，因为DE∥AB，所以∠ABC＋∠DPB＝180°.又因为EF∥BC，所以∠DEF＝∠DPB，所以∠ABC＋∠DEF＝180°.故∠ABC与∠DEF的数量关系是相等或互补．5.1.2平行线的性质与判定及其综合应用问题5：（先用判定，再用性质）如图，C，D是直线AB上两点，∠1＋∠2＝180°，DE平分∠CDF，EF∥AB.(1)CE与DF平行吗？为什么？(2)若∠DCE＝130°，求∠DEF的度数．【破解方法】根据题目中的数量找出各量之间的关系是解这类问题的关键．从角的关系得到直线平行用平行线的判定，从平行线得到角相等或互补的关系用平行线的性质，二者不要混淆．【解析】(1)CE∥DF.理由如下：∵∠1＋∠2＝180°，∠1＋∠DCE＝180°，∴∠2＝∠DCE，∴CE∥DF；(2)∵CE∥DF，∠DCE＝130°，∴∠CDF＝180°－∠DCE＝180°－130°＝50°.∵DE平分∠CDF，∴∠CDE＝eq\f(1,2)∠CDF＝25°.∵EF∥AB，∴∠DEF＝∠CDE＝25°.问题6：（先用性质，再用判定）如图，已知DF∥AC，∠C＝∠D，CE与BD有怎样的位置关系？说明理由．【破解方法】解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．【解析】CE∥BD.理由如下：∵DF∥AC，∴∠D＝∠ABD.∵∠C＝∠D，∴∠ABD＝∠C，∴CE∥BD.问题7：（平行线性质与判定中的探究型问题）如图，AB∥CD，E，F分别是AB，CD之间的两点，且∠BAF＝2∠EAF，∠CDF＝2∠EDF.(1)判定∠BAE，∠CDE与∠AED之间的数量关系，并说明理由；(2)∠AFD与∠AED之间有怎样的数量关系？【破解方法】无论平行线中的何种问题，都可转化到基本模型中去解决，把复杂的问题分解到简单模型中，问题便迎刃而解．【解析】(1)∠AED＝∠BAE＋∠CDE.理由如下：如图，过点E作EG∥AB.∵AB∥CD，∴AB∥EG∥CD，∴∠AEG＝∠BAE，∠DEG＝∠CDE.∵∠AED＝∠AEG＋∠DEG，∴∠AED＝∠BAE＋∠CDE；(2)同(1)可得∠AFD＝∠BAF＋∠CDF.∵∠BAF＝2∠EAF，∠CDF＝2∠EDF，∴∠BAE＋∠CDE＝eq\f(3,2)∠BAF＋eq\f(3,2)∠CDF＝eq\f(3,2)(∠BAF＋∠CDF)＝eq\f(3,2)∠AFD，∴∠AED＝eq\f(3,2)∠AFD.5.1.3命题、定理、证明问题8：（命题的判断）下列语句中，不是命题的是()A．两点之间线段最短B．对顶角相等C．不是对顶角不相等D．过直线AB外一点P作直线AB的垂线【破解方法】①命题必须是一个完整的句子，而且必须做出肯定或否定的判断．疑问句、感叹句、作图过程的叙述都不是命题；②命题常见的关键词有“是”“不是”“相等”“不相等”“如果……那么……”．【解析】根据命题的定义，看其中哪些选项是判断句，其中只有D选项不是判断句．故选D.问题9：（把命题写成“如果……那么……”的形式）把下列命题写成“如果……那么……”的形式．(1)内错角相等，两直线平行；(2)等角的余角相等．【破解方法】把命题写成“如果……那么……”的形式时，应添加适当的词语，使语句通顺．【解析】(1)两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行；(2)如果两个角是相等的角，那么它们的余角相等．问题10：（命题的条件和结论）写出命题“平行于同一条直线的两条直线平行”的条件和结论．【破解方法】每一个命题都一定能用“如果……那么……”的形式来叙述．在“如果”后面的部分是“条件”，在“那么”后面的部分是“结论”．【解析】把命题写成“如果……那么……”的形式：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．所以命题的条件是“两条直线都与第三条直线平行”，结论是“这两条直线也互相平行”．问题11：（命题的证明）求证：两条直线平行，一组内错角的平分线互相平行．【破解方法】证明与图形有关的命题时，正确分清命题的条件和结论是证明的关键．应先结合题意画出图形，再根据图形写出已知与求证，然后进行证明．【解析】如图，已知AB∥CD，直线AB，CD被直线MN所截，交点分别为P，Q，PG平分∠BPQ，QH平分∠CQP，求证：PG∥HQ.证明：∵AB∥CD(已知)，∴∠BPQ＝∠CQP(两直线平行，内错角相等)．又∵PG平分∠BPQ，QH平分∠CQP(已知)，∴∠GPQ＝eq\f(1,2)∠BPQ，∠HQP＝eq\f(1,2)∠CQP(角平分线的定义)，∴∠GPQ＝∠HQP(等量代换)，∴PG∥HQ(内错角相等，两直线平行)．问题12：（举反例）举反例说明下列命题是假命题．(1)若两个角不是对顶角，则这两个角不相等；(2)若ab＝0，则a＋b＝0.【破解方法】举反例时，所举的例子应当满足题目的条件，但不满足题目的结论．举反例时常见的几种错误：①所举例子满足题目的条件，也满足题目的结论；②所举例子不满足题目的条件，但满足题目的结论；③所举例子不满足题目的条件，也不满足题目的结论．【解析】(1)两条直线平行形成的内错角，这两个角不是对顶角，但是它们相等；(2)当a＝5，b＝0时，ab＝0，但a＋b≠0.六、【教学成果自我检测】1．课前预习设计意图：落实与理解教材要求的基本教学内容.1．如图，点，，，在同一条直线上，，，则的度数是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据证得，求出，利用邻补角定义求出．【详解】解：∵，∴，∴，∴，故选：C．【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟记性质是解题的关键．2．如图，已知，，，那么等于（）A． B． C． D．【答案】B【分析】过点C作，根据，得出，根据平行线的性质求出，，即可得出答案．【详解】解：过点C作，如图所示：∵，∴，∴，，∴，故B正确．故选：B．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握两直线平行内错角相等；两直线平行同旁内角互补．3．如图，直线平行直线，，平分，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据可知，进而求出，再根据平分可，再根据平行线的性质知．【详解】解：，（两直线平行，同旁内角互补），．平分，．，（两直线平行，内错角相等）．故选B．【点睛】本题考查平行线的性质，和角平分线的定义．熟练掌握相关知识点是解题的关键．4．如图，，和互余，则的度数为___________．【答案】##度【分析】利用平行线的性质证明，再利用余角的含义求解，从而可得答案．【详解】解：∵，∴，∵和互余，∴，∴，∴故答案为：【点睛】本题考查的是平行线的性质，互为余角的含义，证明是解本题的关键．5．将一个含有45°角的直角三角板如图所示放置，其中一个45°角的顶点落在直线a上，含90°角的顶点落在直线b上.若a//b，∠2=∠15°，则∠3的度数为___________°【答案】75【分析】由余角的定义进行计算，即可求出答案．【详解】解：根据题意，∵，，∴；故答案为：75【点睛】本题考查了余角的定义，解题的关键是掌握余角的定义进行计算．6．如图，已知，，，试说明：．完善下面的解答过程，并填写理由或数学式：解：∵（已知）∴______（______）∴（______）∵（已知）∴______（等量代换）∴（______）∴（______）即∵（已知）∴（______）即∴（______）．【答案】；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；等量代换；同旁内角互补，两直线平行．【分析】按照所给的证明思路，利用平行线的判定与性质定理，完善证明过程即可．【详解】解：∵（已知）∴（内错角相等，两直线平行）∴（两直线平行，内错角相等）∵（已知）∴（等量代换）∴（同位角相等，两直线平行）∴（两直线平行，同旁内角互补）即∵（已知）∴（等量代换）即∴（同旁内角互补，两直线平行）．故答案为：；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；等量代换；同旁内角互补，两直线平行．【点睛】此题主要考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解答此题的关键．2．课堂检测设计意图：例题变式练.【变式1】如图，，设，，正确的选项是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】D【分析】如图，利用平行线的判定和性质进行求解即可．【详解】解：如图：的顶点分别为，延长交直线与点，当，则，∴，∵，∴，∴，即：，解得：，∴；A、无法求出∠2的度数，选项错误，不符合题意；B、无法求出∠3的度数，选项错误，不符合题意；C、，，选项错误，不符合题意；D、，选项正确，符合题意；故选D．【点睛】本题考查平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．【变式2】一条两边沿互相平行的围巾按图所示折叠，已知∠DAB-∠ABC=8°，且DFCG，则∠DAB+2∠ABC=（）度．A．130 B．131 C．132 D．133【答案】B【分析】将围巾展开，利用折叠的性质和平行线的性质推导即可．【详解】解：如图，将围巾展开，则∠ADM=∠ADF，∠KCB=∠BCN，设∠ABC=x，则∠DAB=x+8°，∵CDAB，∴∠ADM=∠DAB=∠ADF=x+8°，∵DFCG，∴∠FDC=∠KCG=2x，∵∠FDC+∠FDM=180°，即2x+2（x+8°）=180°，解得x=41°，∴∠DAB+2∠ABC=（x+8°）+2x=131°．故选：B．【点睛】本题考查折叠的性质与平行线的性质，根据∠FDC+∠FDM=180°列方程是解题的关键．【变式3】如图，直线，，，则__度，__度．【答案】

78

360【分析】过的顶点作已知直线的平行线，充分运用平行线的性质，不难发现：，【详解】解：如图，过的顶点作，，，，，又，；又，．【点睛】本题考查了平行线的性质，注意此类题中常见的辅助线：构造已知直线的平行线．根据平行线的性质发现并证明：；．【变式4】如图，已知．(1)求证：；(2)若平分，于点A，，求的度数．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据同位角相等，两直线平行可判定，得到，等量代换得出，即可根据同旁内角互补，两直线平行得解；（2）由，得出，再根据平行线的性质即可求出，再根据角平分线的定义即可得解．【详解】（1）证明：∵，∴，∴，∵，∴，∴；（2）解：∵于E，∴，由（1）知，∴，∴，∵，∴，∵平分，，∴，∴．【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的基础．3．课后作业设计意图：巩固提升.1．如图，若，，平分，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由AD//BC，∠B=25°，根据平行线的性质，可得∠ADB=25°，又由DB平分∠ADE，可求得∠ADE的度数，继而求得答案．【详解】解：∵AD//BC，∠B=25°，∴∠ADB=∠B=25°．∵DB平分∠ADE，∴∠ADE=2∠ADB=50°，∵AD//BC，∴∠DEC=∠ADE=50°．故选D．【点睛】本题考查了平行线的性质以及角平分线的定义．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．2．如图，将线段向上平移到的位置，若，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出1的对顶角AOD，在利用两直线平行同旁内角互补，即可求出EDC的度数．【详解】解：如图，∵1=134°，∴AOD=134°，∵CDAB，∴EDC+AOD=180°，∴ECD=180°−134°=46°．故选：A．【点睛】本题考查了对顶角的性质，平行线的性质，熟练掌握两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补是解题关键．3．如图，，AC平分，CA平分，点E在AD的延长线上，连接EC．，下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数为（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】根据平行线的判定定理与性质定理进行逐一判断即可．【详解】解：∵AB∥CD，∴∠1=∠2，∠B+∠BCD=180°，∵AC平分∠BAD，CA平分∠BCD，∴∠2=∠3，∠1=∠4，∴∠1=∠2=∠3=∠4，∴∠B=∠CDA，∴∠CDA+∠BCD=180°，∴BC∥AD；故①②正确；∵BC∥AD，∴∠BCD+∠CDA=180°，∵∠CDA=∠ECD+∠CED，∠ECD=∠CED，∴2∠ECD=2∠CED=∠CDA，∵CA平分∠BCD，∴∠1=∠4，∴∠ECA=∠ECD+∠1=（∠BCD+∠CDA）=×180°=90°，∴AC⊥EC，故③正确；∵∠B=∠CDA，2∠CED=∠CDA，∴∵∠B=2∠CED，故④错误，故选：C．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定定理与性质定理．4．已知直线，将一块含30°角的直角三角板（）按如图所示方式放置，并且顶点A，C分别落在直线a，b上，若，则∠2的度数是__________．【答案】40°【分析】过点B作BD∥a，根据平行线的判定及平行线的性质得到∠1=∠ABD，∠2=∠CBD，从而求出度数即可．【详解】解：如图，过点B作BD∥a，∴∠1=∠ABD，∵∠1=20°，∴∠ABD=20°，∵∠ABC=60°，∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=40°，∵a∥b，∴BD∥b，∴∠2=∠DBC=40°．故答案为：40°．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握判定与性质定理，正确作出辅助线是解题的关键．5．如图，在长方形ABCD中，点E、F分别在AD、BC边上，沿直线EF折叠后，C、D两点分别落在平面内的和处，若∠1＝70°，则∠2＝______．【答案】【分析】根据矩形的性质可得AD∥BC，再利用平行线的性质可得∠BFC′=70°，从而利用平角定义求出∠CFC′=110°，然后根据折叠的性质可求出∠CFE的度数，最后利用平行线的性质，即可解答．【详解】解：∵由题意可知：AD∥BC，∴∠1=∠BFC′=70°，∴∠CFC′=180°-∠BFC′=110°，由折叠得：∠CFE=∠C′FE=∠CFC′=55°，∵