【大单元教学】初中数学人教版七年级下册5.2 平行线及其判定（单元教学设计）

5.2平行线及其判定（单元教学设计）一、【单元目标】通过情景导入，归纳总结出图形出现的规律，从而得到平行线的概念；从平行线的关系可以发现存在同位角、内错角、同旁内角，我们就可以推导出平行线的判定方法；通过这种循序渐进的教育模式，提高学生的参与度，促进对知识点的理解，并且加强学生对数学学习的兴趣；（1）选择特点鲜明的图片，让学生从中归纳出平行线的概念，再由平行线的情况发现“三线八角”，就可以得到平行线的判定方法；学生通过完成相关的例题，加强对概念的理解和应用，同时对复杂的平行线判定方法有一个直观的感受；（2）通过小组合作探究，让学生参与教学过程，加深对基础概念的理解，提升了学生的数学抽象素养，进一步发展了学生的类比推理素养；（3）通过典型例题的训练，加强学生的做题技巧，训练做题的方法，提升学生的逻辑推理素养；（4）在师生共同思考与合作下，学生通过概括与抽象、类比的方法，体会了归因与转化的数学思想，同时提升了学生的数学抽象素养，并发展了学生的逻辑推理素养；（5）通过观察图片，提高学生的观察事物的能力，同时激发学生的学习兴趣，提升学生的人文素养；二、【单元知识结构框架】平行线及其判定1三、【学情分析】1．认知基础本节内容是本章的重点内容之一，是考试的常考点；这一节内容让我们学会了对平行线的证明，加强对证明方法的理解；“三线八角”证明平行线关系，也是我们学好几何证明的基础；2.认知障碍学生在理解同位角、内错角、同旁内角证明平行线关系时易产生混乱，导致做题的依据不充分，对于复杂的平行线判定问题，往往会出现束手无策的情况，这里需要加强对角的关联性计算，同时要灵活运用“三线八角”证明是否是平行线；四、【教学设计思路/过程】课时安排：约2课时教学重点：平行线的概念；掌握同位角相等、两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；教学难点：平行线判定方法的综合运用；五、【教学问题诊断分析】5.2.1平行线的概念问题1：（情境导入）数学来源于生活，生活中处处有数学，观察下面的图片，你发现了什么？【破解方法】学会观察周边的事物，总结图形中出现的规律，再形成基础概念；通过具体图片，帮助学生掌握两条线之间的位置关系，培养学生的洞察能力和总结能力，促进学生思维的发展。问题2：（平行线的概念）下列说法中正确的有：________．(1)在同一平面内不相交的两条线段必平行；(2)在同一平面内不相交的两条直线必平行；(3)在同一平面内不平行的两条线段必相交；(4)在同一平面内不平行的两条直线必相交；(5)在同一平面内，两条直线的位置关系有三种：平行、相交和垂直．【破解方法】同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：平行和相交．两条线段平行、两条射线平行是指它们所在的直线平行，因此，两条线段不相交不意味着它们所在的直线不相交，也就无法判断它们是否平行．【解析】根据平行线的概念进行判断．线段不相交，延长后不一定不相交，(1)错误；同一平面内，直线只有平行和相交两种位置关系，(2)(4)正确，(5)错误；线段是有长度的，不平行也可以不相交，(3)错误．故答案为(2)(4)．问题3：（过直线外一点画已知直线的平行线）如图所示，在∠AOB内有一点P.(1)过点P画l1∥OA；(2)过点P画l2∥OB；(3)用量角器量一量l1与l2相交的角与∠O的大小有怎样的关系．【破解方法】用两个三角板，根据“同位角相等，两直线平行”来画平行线，然后用量角器量一量l1与l2相交的角，该角与∠O的关系为相等或互补．【解析】(1)(2)如图所示；(3)l1与l2夹角有两个：∠1，∠2；∠1＝∠O，∠2＋∠O＝180°，所以l1和l2的夹角与∠O相等或互补．易错点拨：注意∠2与∠O是互补关系，解答时容易漏掉．问题4：（平行公理）有下列四种说法：(1)过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；(2)同一平面内，过一点能且只能作一条直线与已知直线垂直；(3)直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短；(4)平行于同一条直线的两条直线互相平行．其中正确的个数是()A．1个B．2个C．3个D．4个【破解方法】平行线公理和垂线的性质两者比较相近，两者区别在于：对于平行线公理中，必须是过直线外一点可以作已知直线的平行线，但过直线上一点不能作已知直线的平行线，垂线的性质中，无论点在何处都能作出已知直线的垂线．【解析】根据平行公理、垂线的性质进行判断．(1)过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，正确；(2)同一平面内，过一点能且只能作一条直线与已知直线垂直，正确；(3)直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，正确；(4)平行于同一条直线的两条直线互相平行，正确；正确的有4个．故答案为D.问题5：（平行公理的推论）四条直线a，b，c，d互不重合，如果a∥b，b∥c，c∥d，那直线a，d的位置关系为________．【破解方法】平行公理的推论是证明两条直线相互平行的理论依据．【解析】由于a∥b，b∥c，根据平行公理的推论得到a∥c，而c∥d，所以a∥d.故答案为a∥d.5.2.2平行线的判定问题6：（应用同位角相等，判断两直线平行）如图，∠1＝∠2＝55°，∠3等于多少度？直线AB，CD平行吗？说明理由．【破解方法】准确识别三种角是判断两条直线平行的前提条件，本题中易得到同位角(“F”型)相等，从而可以应用“同位角相等，两直线平行”．【解析】∠3＝55°，AB∥CD.理由如下：∵∠3＝∠2，∠1＝∠2＝55°，∴∠1＝∠3＝55°，∴AB∥CD(同位角相等，两直线平行)．问题7：（应用内错角相等，判断两直线平行）如图，已知BC平分∠ACD，且∠1＝∠2，AB与CD平行吗？为什么？【破解方法】准确识别三种角是判断两条直线平行的前提条件，本题中易得到内错角(“Z”型)相等，从而可以应用“内错角相等，两直线平行”．【解析】AB∥CD.理由如下：∵BC平分∠ACD，∴∠1＝∠BCD.∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠BCD，∴AB∥CD(内错角相等，两直线平行)．问题8：（应用同旁内角互补，判断两直线平行）如图，∠1＝25°，∠B＝65°，AB⊥AC.AD与BC有怎样的位置关系？为什么？【破解方法】准确识别三种角是判断两条直线平行的前提条件，本题中易得到同旁内角(“U”型)相等，从而可以应用“同旁内角互补，两直线平行”．【解析】AD∥BC.理由如下：∵∠1＝25°，∠B＝65°，AB⊥AC，∴∠BAD＝90°＋25°＝115°.∵∠BAD＋∠B＝115°＋65°＝180°，∴AD∥BC.问题9：（平行线判定方法的应用）如图，下列说法错误的是()A．若a∥b，b∥c，则a∥cB．若∠1＝∠2，则a∥cC．若∠3＝∠2，则b∥cD．若∠3＋∠4＝180°，则a∥c【破解方法】解决此类问题的关键是识别截线和被截线，找准同位角、内错角和同旁内角，从而判断出哪两条直线是平行的．【解析】根据平行线的判定方法进行推理论证．A选项中，若a∥b，b∥c，则a∥c，利用了平行公理，正确；B选项中，若∠1＝∠2，则a∥c，利用了“内错角相等，两直线平行”，正确；C选项中，∠3＝∠2，不能判断b∥c，错误；D选项中，若∠3＋∠4＝180°，则a∥c，利用了“同旁内角互补，两直线平行”，正确．故选C.5.1.3平行线判定方法的综合应用问题10：如图，有以下四个条件：①∠B＋∠BCD＝180°；②∠1＝∠2；③∠3＝∠4；④∠B＝∠5，其中能判定AB∥CD的条件有()A．1个B．2个C．3个D．4个【破解方法】要判定两直线是否平行，首先要将题目给出的角转化为这两条直线被第三条直线所截得的同位角、内错角或同旁内角，再看这些角是否满足平行线的判定方法．【解析】根据平行线的判定定理即可求得答案．①∵∠B＋∠BCD＝180°，∴AB∥CD；②∵∠1＝∠2，∴AD∥BC；③∵∠3＝∠4，∴AB∥CD；④∵∠B＝∠5，∴AB∥CD.∴能得到AB∥CD的条件是①③④.故选C.问题11：如图，直线AB、CD、EF被直线GH所截，∠1＝70°，∠2＝110°，∠2＋∠3＝180°.求证：(1)EF∥AB；(2)CD∥AB(补全横线及括号的内容)．证明：(1)∵∠2＋∠3＝180°，∠2＝110°(已知)，∴∠3＝70°()．又∵∠1＝70°(已知)，∴∠1＝∠3()，∴EF∥AB()．(2)∵∠2＋∠3＝180°，∴______∥______()．又∵EF∥AB(已证)，∴______∥______()．【破解方法】判定两条直线平行的方法除了利用平行线的判定定理外，有时需要结合运用“平行于同一条直线的两条直线平行”．【解析】：(1)先将∠2＝110°代入∠2＋∠3＝180°，求出∠3＝70°，根据等量代换得到∠1＝∠3，再由“内错角相等，两直线平行”即可得到EF∥AB；(2)先由“同旁内角互补，两直线平行”得出CD∥EF，再根据“两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行”即可得到CD∥AB.答案分别为：(1)等量代换；等量代换；内错角相等，两直线平行；(2)CD；EF；同旁内角互补，两直线平行；CD；AB；平行于同一条直线的两直线平行．问题12：如图，MF⊥NF于F，MF交AB于点E，NF交CD于点G，∠1＝140°，∠2＝50°，试判断AB和CD的位置关系，并说明理由．【破解方法】在解决与平行线相关问题时，有时需作出适当的辅助线．【解析】通过观察图可以猜想AB与CD互相平行．过点F向左作FQ，使∠MFQ＝∠2＝50°，则可得∠NFQ＝40°，再运用两次平行线的判定定理可得出结果．解：过点F向左作FQ，使∠MFQ＝∠2＝50°，则∠NFQ＝∠MFN－∠MFQ＝90°－50°＝40°，AB∥FQ.又因为∠1＝140°，所以∠1＋∠NFQ＝180°，所以CD∥FQ，所以AB∥CD.六、【教学成果自我检测】1．课前预习设计意图：落实与理解教材要求的基本教学内容.1．下列说法正确的是（

）A．两条直线的位置关系只有相交、平行两种B．同一平面内，两条互相垂直的线段不一定相交C．直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离D．两条直线没有交点，则这两条直线平行【答案】B【分析】根据两条直线的位置关系、点到直线的距离的定义逐一判断即可．【详解】A．在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交、平行两种，故本选项错误；B．同一平面内，两条互相垂直的线段不一定相交，故本选项正确；C．直线外一点到已知直线的垂线段的长度叫点到直线的距离，故本选项错误；D．同一平面内，两条直线没有交点，则这两条直线平行，故本选项错误．故选：B．【点睛】此题考查的是两条直线的位置关系、点到直线的距离的定义，掌握两条直线的位置关系、点到直线的距离的定义是解决此题的关键．2．如图，点在的延长线上，则下列条件中．不能判定的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用平行线的判定方法判断即可得到结果．【详解】解：，，选项A符合题意；，即，，选项B不合题意；，，选项C不合题意；，即，，选项D不合题意，故选：A．【点睛】此题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键．3．如图，过直线外一点作已知直线的平行线，其依据是（

）A．两直线平行，同位角相等 B．内错角相等，两直线平行C．同位角相等，两直线平行 D．两直线平行，内错角相等【答案】C【分析】根据三角板在移动过程中，角度不变，故依据是同位角相等，两直线平行，即可求解．【详解】解：如图，三角板在移动过程中，角度不变，其依据是同位角相等，两直线平行．故选：．【点睛】本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握同位角相等，两直线平行是解题的关键．4．经过直线外一点，有且只有______条直线与已知直线平行．【答案】一##1【分析】利用平行公理进行分析即可．【详解】解：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；故答案为：一．【点睛】本题考查了平行公理，能熟记知识点的内容是解此题的关键．5．如图，∠1=30°，AB⊥AC，要使，需再添加的一个条件是____________．（要求：添加这个条件后，其它条件也必不可少，才能推出结论）【答案】∠B=60°（答案不唯一）【分析】由题意可求出∠BAD=120°，再根据“同旁内角互补，两直线平行”即可知需添加的条件为：∠B=60°．【详解】可添加条件：∠B=60°．∵∠1=30°，AB⊥AC，∴∠BAD=30°+90°=120°．∵∠B=60°，∴∠B+∠BAD=180°，∴．故答案为：∠B=60°．（答案不唯一）【点睛】本题考查垂线的定义，平行线的判定．掌握同旁内角互补，两直线平行是解题关键．6．填写下列推理中的空格：已知：如图，∠BAD＝∠DCB，∠1＝∠3．求证：AD∥BC．证明：∵∠BAD＝∠DCB，∠1＝∠3（

），∴∠BAD－∠1＝∠DCB－∠（

），即∠＝∠．∴AD∥BC（

）．【答案】已知；；等式的性质；；内错角相等，两直线平行【分析】先利用，得出，再利用“内错角相等，两直线平行”证明AD∥BC．【详解】证明：，（已知），（等式的性质），即．AD∥BC（内错角相等，两直线平行）【点睛】本题考查了平行线的判定定理，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．2．课堂检测设计意图：例题变式练.【变式1】直线、、在同一平面内，下面的四个结论：如果ab，ac，那么bc；如果，，那么ac；如果ab，，那么；如果与相交，与相交，那么与相交．正确的结论为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据平行线的判定与性质定理一一判断即可．【详解】解：若，，则，说法正确，若，，则，说法正确，若，，则，说法正确，若与相交，与相交，则与相交也可能是平行，故说法错误，正确的有，故选：A．【点睛】本题考查平行线的判定与性质，解题的关键是掌握垂直于同一直线的两条直线平行，平行于同一直线的两条直线平行．【变式2】如图，点，，分别在的边，，上，连接，，在下列给出的条件中，不能判定的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．依据平行线的判定方法进行判断即可．【详解】解：A．若，则（同旁内角互补，两直线平行）；B．若，则（内错角相等，两直线平行）；C．若，则（同位角相等，两直线平行）；D．，则（同位角相等，两直线平行）；故选：C．【点睛】本题主要考查了平行线的判定，掌握：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行是解决问题的关键．【变式3】如图，在下列给出的条件中，可以判定的有___________．①；②；③；④；⑤．【答案】②③⑤【分析】根据平行线的判定条件进行逐一判断即可．【详解】解；由，不可以证明，故①错误；由，可以证明（内错角相等，两直线平行），故②正确；由，可以证明（内错角相等，两直线平行），故③正确；由，不可以证明，故④错误；由，可以证明（同旁内角互补，两直线平行），故⑤正确；故答案为；②③⑤．【点睛】本题主要考查了平行线的判定，熟知内错角相等，两直线平行，同位角相等，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行是解题的关键．【变式4】阅读下面的解答过程，并填空．如图，，平分，平分，．求证：．证明：∵平分，平分，（已知）∴__________，_________．（角平分线的定义）又∵，（已知）∴∠____________=∠____________．（等量代换）又∵，（已知）∴∠____________∠____________．（等量代换）∴．（____________）【答案】；；；；；；同位角相等，两直线平行【分析】根据角平分线的定义，等量代换，同位角相等两直线平行，联系证明过程，可推理出答案．【详解】证明：∵平分，平分，（已知）∴，．（角平分线的定义）又∵，（已知）∴．（等量代换）又∵，（已知）∴．（等量代换）∴．（同位角相等，两直线平行）．【点睛】本题考查了平行线的判定，角平分线的定义，解决本题的关键是熟悉相关的几何定理，联系证明过程进行推导．3．课后作业设计意图：巩固提升.1．如图，四边形中，下列条件可以判定的是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据平行线的判定定理对各选项进行逐一判断即可．【详解】解：A．∵，∴，符合题意；B．∵，∴，不符合题意；C．不能判定，不符合题意；D．不能判定，不符合题意．故选：A．【点睛】本题考查的是平行线的判定，用到的知识点为：内错角相等，两直线平行．2．如图是两条直线平行的证明过程，证明步骤被打乱，则下列排序正确的是（）如图，已知，，求证：与平行．证明：①：；②：，；③：；④：；⑤：．A．①②③④⑤ B．②③⑤④① C．②④⑤③① D．③②④⑤①【答案】B【分析】先证明，结合，证明，从而可得结论．【详解】根据平行线的判定解答即可．证明：∵（已知），（邻补角的定义），∴（同角的补角相等）．∵（已知），∴（等量代换），∴（同位角相等，两直线平行）．所以排序正确的是②③⑤④①，故选：B．【点睛】本题考查的是补角的性质，平行线的判定，证明是解本题的关键．3．如图，将一副三角板按如图放置，则下列结论：①；②；③如果，则有；④．其中正确的序号是（

）A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．①③④【答案】B【分析】根据，，即可得；根据角之间关系即可得；根据角之间关系可得，无法判断BC与AD平行；由题意得，，得；综上，即可得．【详解】解：∵，，∴，故①正确；∵故②正确；∵，∴，，∴BC与AD不平行，故③错误；∵，即，又∵，∴,故④正确；综上，①②④正确，故选：B．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，余角和同角的余角，平行线的判定，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点并认真计算．4．同学们准备借助一副三角板画平行线．先画一条直线，再按如图所示的样子放置三角板．小颖认为AC∥DF，小静认为BC∥EF．你认为______的判断是正确的，依据是______．【答案】

小静；

同位角相等，两条直线平行．【分析】利用同位角相等，两条直线平行进行判断．【详解】解：小静的判断正确．理由如下：，，，，与不平行，∴小静的判断正确．故答案为：小静；同位角相等，两条直线平行．【点睛】本题考查了作图—复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基