相平面法例题解析相平面法例题超详细步骤解析

相平面法例题解析一、线性系统的相平面法例题(一般用于选择填空)：二阶线性系统|x+二阶线性系统|x+23x+e2x二o|相轨迹奇点类型、稳定性与根的分布关系例已知线性系统的运动方程e+ae+be=0，分别给出系统在相平面中具有(a)稳定焦点和(b)鞍点时，参数a和b的取值范围。解：由方程求出两根为解：由方程求出两根为si,2一a土a2一4b2(a)稳定焦点0<匚<1，系统具有一对负实部共轭复根，a>0、a2<4b且b>0；(b)鞍点，系统具有符号相反的两个实极点b<0。例已知某二阶线性系统的运动方程为e+2e+4e=0，则系统的奇点类型和当输入r(t)=5-1(t)时的系统稳态误差分别为―B 。A.稳定的节点，g；B・稳定的焦点，0；C.稳定的焦点，g；D.稳定的节点，0。例：设线性系统开始处于静止状态(即输出初始值为0),试利用相平面法对系统稳定性及稳态误差进行分析。其中，r(t)•e(t)Ks(Ts+1)-r(t)=R・1(t),R为常数:r(t)=R-1,R为常数:c(t)解：因分析系统稳定性故从闭环系统传递函数出发，由闭环系统传递函数C(s)= K ，则C(s)[Ts2+S+K]=KR(s)。于是描述该系统的运动方程为：R(s)Ts2+s+KTc+c+Kc=Kr绘制e-e相平面相轨迹【注】把相变量变成误差，分析最终奇点位置表示稳态误差情况。当然c-c也行。但是若没要求，一般建议e-e相平面。因为e=r一c，即c=r一e，所以，Te+e+Ke=Tr+r (1)

1）r（t）=R・l（t）,R为常数：r=r=0，于是得出关于误差e的运动方程:Te+e+Ke=0,注：如果线性系统运动方程为典型的二阶系统运动方程，可以不用解析法求相轨迹，而直接根据此时特征方程根的分布情况，分析奇（异）点类型并绘制该区域的相轨迹。根据1-4kT的正负分为a)0<1，a)0<1，s1,2土严；b）加1-1±J1-4kTs=1,2 2T。注：负的根。奇（异）点：令e=0且e=0，代入运动方程Te+e+Ke=0，则e=0，故奇点为（0,0）。—————————————————以下为说明————————————————【注：奇（异）点求法是令e=0且e=0，代入运动方程。但是，要注意：只有当线性系统运动方程为典型的二阶系统运动方程时，可直接根据此时特征方程根的分布情况，分析奇（异）点类型并绘制该区域的相轨迹，即此时必须求奇点。关于这一点请看下面【特别对比；若线性系统运动方程非典型，此时可用解析法求相轨迹，而不需求奇点。这一结论也适用于非线性系统相平面分析。【特别对比】实际上，对于上面的运动方程Te+e+Ke=0我们直接根据此时特征方程根的分布情况，分析奇（异）点类型并绘制该区域的相轨迹，这样很简单。但是，如果你想- --e一KeTOC\o"1-5"\h\zdee 丁用解析法求相轨迹也可以。根据斜率方程〒=-，则分离变量并积分得dee eJe（-e一Ke）de=TJeede

R 0本来可以求出e-e之间的相轨迹满足的方程，但是这里K，T不知为何值，因此即使得到e-e之间的相轨迹方程，也还是不会画图。【特别对比】—————————————以上为说明————————————————————初始值：e(0)=r(0)-c(0)=R•1(t)-0=R初始值：e(0)=r(0)-c(0)=0-0=0因此，在e-e平面作相轨迹。如图可见，系统稳定（当0<1时奇（异）点（0,0）为稳定的焦点，当C>1时奇（异）点为稳定的节点）；当r（t）为阶跃信号时稳态误差为0。r=0。代入r=0。代入（1）式,2)r(t)=R•t,R为常数：当t>0，r=R，Te+e+Ke=R（注意：不是前面的典型二阶系统形式了）R R所以，设x=e一k（e=x+k）。贝uTx+x+Kx=0（注，可按照上面的画图了）。奇点仍为（0,0）。根据1-4kT的正负分为

2T2Ta)0<匚<1,s=T土j24^；b)匚>1。s 迁。注：负的根。2T2TTOC\o"1-5"\h\z1,2 2T 1,2 5R R Rx(0)=e(0)-—=r(0)-c(0)-—=—— R初始值： K KK，即(-—,R)。如图。x(0)=e(0)=r(0)-c(0)=R KR同理可见系统稳定。但是，要分析系统的稳态误差，需要e=x+绘制e-e平面的KR相轨迹（只要坐标平移把X-x的奇点移到（—,0）即可）。即在e-e平面系统的奇点为KR R（,0）。由图可见，系统在斜坡输入信号作用下，稳态误差为〒。•K K总结：相平面法分析时关键先求二阶线性系统运动方程及初始值;线性系统相轨迹和奇点类别取决于系统特征根在复平面上的分布情况：线性系统奇点的位置和相轨迹初始值位置则取决于输入信号的形式。二、非线性系统的相平面法例题（一般填空或计算）：要求：1•正确求出非线性系统在每个线性区的相轨迹方程，也就是e-e（或c-c）之间的关系方程：会画相轨迹（模型中是给具体数的）。※※关键要确定开关线方程。探※※如果发生自持振荡，会计算振幅和周期。【注:非线性系统的相平面法一般应：1） 按照信号流向与传输关系。线性部分产生导数关系，非线性部分形成不同分区。连在一起就形成了不同线性分区对应的运动方程，即含有c或者e的运动方程。2） 探※※根据不同线性分区对应的运动方程的条件方程确定开关线方程。开关线方程确定很关键。3） 探※※根据不同线性分区对应的运动方程，利用解析法（分离变量积分法或者消去t法）不同线性分区对应的相轨迹方程，即c-c和e-e之间关系；4） ※根据不同分区的初始值绘制出相轨迹，并求出稳态误差和超调、以及自持振荡的周期和振幅等。特别指出：如果非线性系统的某个线性分区对应的运动方程同典型的二阶系统运动方程，也可以不用解析法，而根据此时特征方程根的分布情况，直接分析奇（异）点类型并绘制该区域的相轨迹。例2：具有死区特性的非线性系统分析。设系统开始处于静止状态。

问题1.问题1.用相平面法分析系统在输入r(t)=(t)时的运动情况。问题2.如果发生自持振荡，求自持振荡的周期和振幅。解：问题1：1)设系统结构图，死区特性的表达式：'x=0,Ie1<2<x=e-2,e>2x=e+2,e<-2线性部分：孚)=丄，则运动方程为：c=xX(s)s2绘制e-e平面相轨迹图。因为e=r-c，c=r-e，c=r-e，c=r-e。代入贝TOC\o"1-5"\h\ze=-x+r (1)- 「e=0, -|e1<2--1当t>0，r=0，r=0。代入，则各区的运动方程<e=2-e,e>2 IIe=-e-2,e<-2 III由于非线性特性有3个分区，相平面e-e分为3个线性区。【注】当相平面选好后，输入代入后，最后代入非线性特性；否则先代非线性特性后代输入，则需要同时写多个非线性的运动方程。系统开关线：e=±2。由题意知初始条件e(0)=r(0)-c(0)=4，e(0)=r(0)-c(0)=0在II区，则从初始值出发绘制相轨迹：注：用解析法中的斜率法求：上课时按照此方法求相轨迹方程：【I区：e+【I区：e+e-2=0 (不是标准线性系统运动方程的形式,么办-一用解析法求根轨迹)。八 dee2—e根据斜率方程== ，则分离变量并积分得deee不能直接根据根的分布绘制根轨迹。怎Je(2-e)de=Jeede则e-e之间的相轨迹方程为 (e-2)2+e2=4结论：II区相轨迹是以圆心(2,0)(也是该区的奇点，不用求)为中心的圆，与右开关线e=2交于A(2,-2)I区：e=0，e=常数=-2，水平线，与左开关线e=-2交于B(-2，-2)III区：e+e+.2=0(不是标准线性系统运动方程的形式---用解析法求根轨迹))dee-e-2根据斜率方程=-= ，则分离变量并积分得deeeJe-(2+e)de=Jeede(注意新的初始值B(-2，-2))-2 -2则e-e之间的相轨迹方程为 ••(e+2)2+e2=4

结论：III区相轨迹是以圆心（-2,0）（也是该区的奇点，不用求）为中心的圆。以此例推，出现了一个封闭椭圆，在非线性系统中称为极限环。整图可见，奇点（0，0）可看成中心点。问题2：若相平面中出现了稳定的极限环一一对应着非线性的自持振荡问题：自持振荡的周期怎么算呢幅值怎么算呢如图：这是个椭圆，周期：T=4(t+1)CAADde，II区：t=J2de=J2de，CA4e4 4-(e-2)2这是因为：e2+(e-2)2=4fe=—Q4—(e—2)2,注意，e在图中为负的。区：t=JQ—de=J0—de二1 .ad2e2 22）振幅一一代表此时的位移，也就是此时与横轴的交点位置大小一一即C点的横坐标。这是因为，对于整个非线性系统的奇点是（0,0）。对于该点，最大的位移就是振幅，因此是C点的横坐标4。例3：具有继电器特性的非线性系统分析2006-B（15分）非线性控制系统如图。问题1：设r=0,绘制起点在c=2,c=0的c-c相轨迹图。（10分）00解：问题1（10分）：解：问题1（10分）：1）非线性环节数学表达式：x=2）线性部分：器=2所以描述线性部分的运动方程为:0,<2,、_2,1el<1e>1 ；e<-1c=0|e|<1c=x贝卜c=2e>1c=—2e<—1问题2：计算相轨迹旋转一周所需时间。（5分）・r入e■1vx1c101s2绘制c-c平面相轨迹。e=r—c，令r=0,e=—c.c二0,Icl<1I则各区的运动方程\c=-2,c>1 II注意：条件方程也要改成c-c的。••c二2,c<-1IIIV••开关线方程：c=土1由已知条件，起点c=2，c=0，(2,0)从II区开始，下面绘制相轨迹：00【注】用解析法中消去参变量时间t的方法求相轨迹方程：上课时按照此方法求的，以下同。当然如果用斜率法求相轨迹方程也可以。不过，这个例子c为常数，消去参变量时间t的方法更适合。••II区：c=-2,积分得c=-2t+c=-2t；再积分得c=-t2+ct+c=-t2+2；000上两式联立消去中间变量，则c=-0.25c2+0.25c2+c=-0.25c2+2(即00c2=-4(c-2)),可见相轨迹为开口向左的抛物线，.且在右开关线c=1处的交点为c=1,由1=-0.25c2+2，得c=-2，故交点为(1,-2)。•0101I区：c=0，积分得c=c=-2;再积分得c=ct+c=-2t+101-0101•可见，相轨迹为平行横轴的直线(因为纵坐标不变-2,而横坐标虽时间变化);•••••且在左开关线处的交点为c=-1,c=-2-—(-1,-2)0202III区：c=2积分得c=2t+c=2t-2；再积分得c=12+ct+c=12-2t-1；02•0202两式联立消去中间变量，则c=0.25c2-0.25c2+c=0.25c2-2，(即0202°c2=4(c+2))可见相轨迹为开口向右的抛物.线。且在开关线处的交点(-1,2)。以此类推，求得如图的极限环：图中可见整个非线性系统的奇点(0,0)可看成中心点。注意:每个区的初始值是不同的。每个区的初始值的求法就是根据上一个区的区域根轨迹方程可以求出进入下一区的初始值，以此一个个区经过后，会变成一个连续的曲线轨迹——非线性系统的相轨迹。c=1cc=1m； id A11I ・ I问题2：运动一周所需时间为T=4(f11dc+f0-dc)=4(f1 1 dc+f0丄dc)=6(因为II区c=-0.25c2+2,c1c 2-J4(2-c) 1-2则=c，注意，c在图中为负的。注意：并不是所有开关线都是垂直于横轴的，开关线关键要看各个线性区域的边界条件。例4:20XX年非线性控制系统如下图所示。图中r（t）=2・l（t）。1、 以c-c为相变量，写出相轨迹分区运动方程（8分）；2、 若M二，画出起始于c（0）=0、c（0）=0的相轨迹（4分）；3、 利用相轨迹计算稳态误差及超调量（3分）。2）线性部分： c=e-b （1）注意线性部分关键是产生c的运动方程，但是更关键的是，此运动方程必须能与非线性特性的输出产生关系。3）绘制以c-c平面的相轨迹。因此，e=r-c代入式（1）中，则贝0c=r-c-b即运动方程为c-c+b+r=0因为r（t）亍2・l（t），贝I」 c+b-c+2=0（2）式（2）中代入