数学建模降落伞的选购问题123

数学与信息科学学院数学建模实训论文实训题目：降落伞的选购模型学生、学号、专业班级指导教师:2014年12月降落伞的选购模型摘要近几年自然灾害频繁发生，因此得进行大规模的抢险救灾活动，例如汶川大地震。所以降落伞的选购是一个最大问题。选择合理的降落伞并使投资费用最少是值得我们考虑的问题。本题目就是关于降落伞的选购方案的最优化问题，目的是在满足空投要求的条件下，使费用最少，从而达到节约支出的目的。为了方便研究我们先进行受受力分析：把降落伞和物资看做一个整体，忽略了伞和绳子的质量，降落伞在降落过程中除受到竖直向下的重力作用外还受到竖直向上的空气阻力的作用，而由题可知空气阻力又与阻力系数(k)、加速度(a)、伞的受力面积(s)有关。运动速度(v)和受力面积(s)是已知的，所以要想确定每种伞的最大承载量，就必须先要确定空气的阻力系数(k)。为了方便对物资进行受力分析，我们把降落伞和物资看作一个整体。可知物体A只受到竖直向上的空气阻力和竖直向下的重力作用。又由题可知空气阻力与降落速度v和伞的受力面积S的乘积成正比。则物体A在竖直方向上受到的合外力为：F^=mg-kSv合通过对降落伞在空中的受力情况的分析建立起了高度与时间的方程，然后以高度与时间的方程作为拟合曲线与题中给出的时间与高度的数据进行拟合，得出阻力系数k的值k=2.9377。我们建立了速度与质量的方程，并证明其为严格增函数(证明过程见建模与求解)。由于题中已限制降落伞的最大落地速度为20m/s，所以当速度为20m/s时，伞的承载量最大。建立高度与时间，速度与时间的方程组，代入最大速度20m/s，高度500m,伞的半径（题中已给出可能选购的每种伞的半径）。伞面费用C1、绳索费用C2、固定费用C3。伞面费用由伞的半径r决定；绳索费用C2由绳索的长度及单价决定，由图一可知绳索的长度又由降落伞的半径决定即L=。r，则绳索费用为C=4*<2r*16；固定费用为定值q=200，总费用C=C1+C2+C3最后运用LINGO软件进行线性规划求解得一共需要四个n2=0，n2.5=0，A3=1，n33.5=1，n4=2最少总费用为3682.34元。关键字：最大承载量、线性规划、Matlab、数据拟合一■问题的重述向灾区空投救灾物资共2000公斤，需选购一批降落伞。已知空投高度为500米，要求降落伞落地时的速度不能超过20米/秒。降落伞面是半径为厂的半球面，用16根每根长为L的绳索连接的载重m位于球心正下方球面处。每个降落伞的价格由三部分组成。伞面费用q由伞的半径r决定，见表1-1；绳索费用q由绳索总长度及单价4元/米决定；固定费用q为200元。降落伞在降落过程中受到的空气阻力，可以认为与降落速度和伞面积的乘积成正比。为了确定阻力系数，用半径为r=3米、载重m=300公斤的降落伞从500米高度做降落试验，测得各时刻珀勺高度「见表1-2。试确定降落伞的选购方案，即共需多少个，每个伞的半径多大（在表1-1中选择），在满足空投要求的条件下，使得费用最低。表1-1降落伞的伞面费用半径（米）2.02.53.03.54.0伞面费用C1（元）75140220350500表1-2降落试验测得的数据时刻六秒）036912151821242730高度x（米）500470425372317264215160108551二、模型的假设1、空投物资的总数2000kg可以任意分割；2、假设空投物资的瞬时伞已打开；3、降落伞和绳的质量可以忽略不计；4、降落伞的落地速度不会超过20m/s；5、空气的阻力系数与除空气外的其它因素无关;6、假设降落伞只受到竖直方向上的空气阻力作用；7、每个降落伞载的物重都不会超过降落过程中的最大载重。三、符号说明f 空气阻力k 阻力系数M(厂)半径为r的降落伞的最大载重sr 半径为r的降落伞的伞面面积H3 t时刻降落伞的下降高度v(t) t时刻降落伞的下降速度nr 购买半径为r的降落伞数目C1 伞面费C2 绳索费C3 固定费用L 降落伞每根绳索的长度。 降落伞的加速度g 重力加速度,g=9.8m/s2、问题的分析由题意可知每个伞的价格由三部分组成：伞面费用C1、绳索费用c2、固定费用c3。伞面费用由伞的半径r决定；绳索费用C2由绳索的长度及单价决定，由图一可知绳索的长度又由降落伞的半径决定即L7丫，则绳索费用为C广4*收r*16；固定费用为定值q=200。因为题中已给出每种伞面的半径，所以每种伞的价格为定值。要想确定选购方案，即共需半径(在题中给出的半径中选择)为多大的伞的数量，在满足空投物资要求的条件下使总费用最少。因此，我们需要确定每种伞的最大承载量。然后进行线性规划，确定总费用最少和每种伞的个数。要确定最大载重量，我们需对降落伞进行受力分析(如图4.2)。降落伞在降落过程中除受到竖直向下的重力作用外还受到竖直向上的空气阻力的作用，而由题可知空气阻力又与阻力系数(k)、运动速度(a)、伞的受力面积(S)有关。运动速度(v)和受力面积(s)是已知的，所以要想确定每种伞的最大承载量，就必须先要确定空气的阻力系数(k)。图4.1图4.2对图4.2的分析可知降落伞的运动状态是做加速度趋近于0的加速运动。因此，我们可以建立一个位移与时间的函数关系式，在根据题中所给的数据拟合出阻力系数k的值。然后再建立一个速度与时间的函数关系式，两个关系式联立求解出最大载重量(其中高度和速度由题目已经给出)。最后用LINGO软件进行线性规划算出问题要的结果。(1)首先确定的系数k

为了方便对物资进行受力分析，我们把降落伞和物资看作一个整体如图二。由假设5可知物体A只受到竖直向上的空气阻力和竖直向下的重力作用。又由题可知空气阻力与降落速度v和伞的受力面积S的乘积成正比。则物体A在竖直方向上受到的合外力=mg=mg-kSv由运动学方程得mg一kSv

m由物体位移H和时间（t）的二次微分等于加速度建立方程得d2Hmg一kSvdt2用MATLAB解微分方程得（程序见附录1）TOC\o"1-5"\h\zJCDHBimdViudav [. |X|liLegditBehucJkskt爪 Htlp aI1-VWqvtaIYUJLAI?thie¥i*凡Ikm工orTQO.dStcrtiad. 算»B=dsolve『加*口2H"DH53"/H(0)=0?DH(0)=0'/tP) -r色打T2和盯力力-(例如？- (S~2*k-2JImgt m2g+^^-———kS k2S2mgt m2g~kS~k2S2题目已经给t-h数据为

时刻t（s）036912151821242730高度h（m）500470425372317264215160108551对给定的数据以h（t）为拟合函数进行拟合，r=3m,m=300kg,g=9.8,s=2兀r2得出k=2.9377。（程序见附录2）IComBinKlVxudavEiLeEdit Utsktopfind。汗HelpMqvta ¥atckthi= *口,=4^MmorrQ4.d币虑Startsad."kMT占他 L52吐2J- 2- 性k2J»sdal：^[036gl2151g2182150]：ydala=[50D47042537231T2&1215160LOB551].xQ=[]J,K=13q.Gurvtfit(Sncrfiinl,kO,sdata,yd3ta)L口「alidnimuj!口口信“1|]■日.LjqcLLCvefi-fcs-tapped.hecullsethe£ma.lcliHng.Eintherunofsquaresre1ivet□it:5inrtialvalueislessthanthedefaultvalueuftheEiiniTtiEit口Itiz&i匚：—・StqpciiiigcriSfia.dgtBilG|O7J1-=:（2）求解最大承载量用速度对时间的微分等于加速度，且v0=0建立方程组得:dv_mg一kSvvdtmvV0二0用MATLAB解得（程序见附录3）—kStgmgmem店kS由前面的H(t)和v(t)函数建立方程组得v(t)=mg一mge才

ksksH(t)=%+4e?一生ksk2s2 k2s2S=2几r2H=500—hk=2.9377,g=9.8,r=[22.533.54]因为降落伞在下落过程中其质量是不变的，所以我们把v(t)关系式中t看做一个定值，则关于m的方程为^kStgmgmem店kS从上式我们可以知道v(m)是关于m的单调递增函数证明过程如下由数学知识可知：函数的一阶导数大于零，则原函数是单调递增的。一阶导数小于零，则原函数是单调递减的。gmgmemkSkS对v(m)求一阶导数得—kSt —kSt一gemgtemg

V（mX 一丁+战由上式分析可知无法确定其是否大于零，在对其求二阶导数为v'、（m）=则一阶导数为单调递减函数，当m趋近于无穷大时对一阶导数求极限可知—kSt —kStlim（一"-ge^+且）=1+g=0m…kS m SkkSkS由此可得v'(m)>0则原函数是单调递增函数，即速度V和m是成正比关系的。又如果存在平衡状态则必须满足mg=kvs，那么v=鳖而又通过对ksv(t)=等-等e寸分析，只有在tf+8时，才有丫(t)f等，这与实际矛盾，故降落ksks ks伞是一直做加速度减小的加速运动，不存在平衡状态。因此，求最大载重量取伞在下降到地面的瞬间达到最大速度v(t)=20m/s，此时H(t)=500m，由方程组调用MATLAB分别解得半径为r的降落伞在满足空投条件下的最大载重量M(r)如下表(程序见附录5)

CdhbanilVimLiv [.||b|['X|lileEditBehucQe5ktopfind中mHtlp♦NqvtaIYUJLAI?¥o.tchthie¥i*凡Umm&orTQ4.d『ttin」Stcrtiad.X：--XO-riL': ?；M：白二Aoptions=ajrtinset(?Displayj?itei'),N显示输出信息乂=fsoly&f'ftrrrfi-Qi,yDjoptions)Wornof First-order 7rust-reciotiIterationFunc-caurrt f(k) step optinslityisddusQ 3 25D313 43.3 11 6 25DL5D 1 72.6 12 9 2*375 2.5 141 2.51：, 九％ ：格 ■■.：,-q 15 2211ID 15.6E5 75Z 15.65 1：5 1Q131E 3巩0醛5 1,25&H)3 39.13 2L 161E9.9 。兀6563 L犯巾)3 9L77 24 5T2上匕 9'57阴 L51/03 9L7Aa 27 L21483E-07 3.78^198 D.QD528 9L79 30 3.19748^15 0,00269666 1.23^06 9L7改变r的大小用matlab计算最后整理得表5-1不同半径降落伞的最大载重量r（m）22.533.54最大承载M（r）（kg）151.0942236.0847339.9620462.7260604.3768（3）线性规划求解数量和费用由分析可知每种伞的单价C=C1+C2+C3由题可知C1为表1-1降落伞的伞面费用r（m）22.533.54J（元）75140220350500C2为C2=16x,2rX4C3为固定值即C3=200由以上数据求得每种伞的单价见下表表5-2购买不同半径的降落伞的各需总费用r(m)22.533.54C2（元）181.12226.56271.3316.80362.24C456.12566.5691.3866.801062.24我们设每种伞分别取n2,n25n3,n35n4个厕其目标函数为minC=456.12n2+566.56n25+691.36n3+866.80n35+1062.24n4’151.0942n2+236.0847n25+339.9620n3+462.7260n35+604.3768n4>2000st《 n,n,n,n,ngZ・ 2 25 3 3,5 4r=2,2.5,3,3.5,4对其进行优化求解C的最小值，就是所需的最小费用。用LINGO求解得（程序见附件6）n2=0n2,5=0n3=1n3,5=1n4=2最少总费用为3682.34元。六、模型的评价与推广优点：本模型的求解过程大量的运用了电脑软件，使得计算更加精确。缺点:1、本模型未考虑降落伞打开的时间，将其假设成在下降时伞就已经打开。2、由于在实际生活中降落伞还受到风向的影响，本模型假设的是理想的状态下（无风）推广：1、当降落伞的半径仍为2m,2.5m,3m,3.5m,4m五种时,其它条件不变，现在救灾物资很多，超过3000kg要求确定选购方案，则只需将其相应数据改为其它数据，如5000kg,9000kg等，就可求出相应的选购方案及总费用.2、由于本模型假设的是在物资抛落的瞬时伞已打开，而在实际情况中物资抛落后应有一段自由落体运动。在模型的改进时应考虑到这一点，以便让模型更切合实际。七、参考文献1、郭高鹏.降落伞的选购问题.docin./p-249481372.html2015-1-62、萧树铁主编.数学实验[M].,:高等教育，1999713、许波.MATLAB工程数学应用[M].:清华大学4、全国大学生数学建模竞赛组委会，全国大学生数学建模竞赛优秀论文汇编，：中国物价，20025、谢金星，薛毅，优化建模与LINDO/LINGO软件，：清华大学，2005附录1H=dsolve('m*D2H+k*S*DH=m*g','H(0)=0,DH(0)=0','t')得：g/kA2/SA2*mA2*exp(-k*S/m*t)+g/k/S*m*t-1/kA2/SA2*mA2*g附录2拟合k建立一^个名为myfunl的m文件functionF=myfun1(x,xdata)s=2*pi*3A2;m=300;g=9.8;F=500-mA2*g/(x(1)A2*sA2)*exp(-x(1)*s*xdata/m)-m*g*xdata/(x(1)*s)+mA2*g/(x(1)A2*sA2);在matlabcommandwindow中输入下列命令：xdata=[036912151821242730];ydata=[500 470 425 372 317 264 215 160 108 551];x0=[1];x=lsqcurvefit(myfun1,x0,xdata,ydata)附录3求解Vv=dsolve('m*Dv+k*S*v-m*g=0','v(0)=0','t')得：v(t)=丝-丝e，kSkS附录4symsmtgSk；f=g*m/(k*S)-g*m/(k*S)*exp(-k*S*t/m);diff(f,’m’2)求得-g/mA3*tA2*k*s*exp(-k*s/m*t)附录5求最大承载量在matlab中建立一个名为myfun的m文件，如下：functionF=myfun(x)r=2.5; %依次输入不同半径g=9.8;k=2.9458;s=2*pi*rA2;F=[x(1)A2*g/(kA2*sA2)*exp(-k*s*x(2)/x(1))+x(1)*g*x(2)/(k*s)-x(1)