小学奥数知识点梳理-全大字

一、计算73、估算114、比拟大小115、定义新运算126、特殊数列求和1213、7的秘密：131、奇偶性问题142、位值原那么144、整除性质155、带余除法=166.唯一分解定理1615.质数193、周长301.植树问题342.方阵问题343.列车过桥问题354.年龄问题355.鸡兔同笼356.牛吃草问题367.平均数问题368.盈亏问题369.和差问题3610.和倍问题3611.差倍问题3612.逆推问题3713.代换问题371.相遇问题382.追及问题383.流水行船384.屡次相遇385.环形跑道396.行程问题中正反比例关系的应用399.行程问题时常运用“时光倒流”和“假定看成”的思考方法。406.工程问题458.分百问题461.等量关系462.二元一次方程组的求解：就是消元的过程463.不定方程的分析求解474.不等方程的分析求解475.未知数47十一、数阵问题512.数列分组，含数独513.幻方522.哈密尔顿圈与哈密尔顿链533.多笔画定理531.等价条件的转换542.假设法543.列表法544.对阵图545.逆推法54对于知识点的概括很可能出现以偏概全挂一漏万的现必考题目要先观察，看准了再动手!和、差、积的个位都只和每个数的个位有关许可以硬算〕(1)运算顺序：(2)分数、小数混合运算技巧(1)分子全部一样，最简单形式为1,不是1提取公因数(2)分母均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数(3)分母上的几个因数间的差是一个定值；m,n是10的约数就可以；选取m,n的比不同就可以阶乘：考试考到阶乘通常是除法和逆运算乘法，乘法往上5!,想6,5!×6=6!除法考虑自己，想5,5!÷5=如何找?用拆分，也就是乘不变的方法，目的是找公因数*迎春杯特点：①运算定律的综合运用：交换率、结合率7)换元a.1或2步上10阶楼梯，有多上种上法；①通分②跟“中介”比，比方和1比③利用倒数性质④浓度法⑤做差：差与0比⑥做商：商与1比做商还是做差，看题目条件构造调整：以2的次方为标记点，划几个，董教师5年级下班9讲>向左划括号<向右划括号含多个新符号，视这些新符号优先级一样③a,=n(n+1)=n²+n. ⑤abcabc=abc×1001=abcx7×11×13找规律，可以先用小数算算找规律；凑9,99,999……结果：积的后两位=尾×尾；积从百位起前面的数=头×〔头+1〕结果：积的后两位=尾×尾；积从百位起前面的数=头×头+尾偶×偶=偶 形如：abc=100a+10b+c2末尾是0、2、4、6、8;也说明能被2整除的数，其个位数字只能是偶数；3各数位上数字的和是3的倍数5末尾是0或59各数位上数字的和是9的倍数奇数位上数字的和与偶数位上数字的和，两者之差是11的4和25末两位数是4〔或25〕的倍数8和125末三位数是8〔或125〕的倍数末三位数与前几位数的差是7〔或11或13〕的倍数，偶数位与奇数位的差从后往前，两位一段，各段之和是99的倍数，此数是99的倍数4、整除性质④如果c|b,b|a,那么c|a.5、带余除法=0≤r<b,使得a=b×q+r任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即pka〕①同余定义：假设两个整数a,b被自然数m除有一样的余数，那么称a,b对于模m同余，用式子表示为a=b(modm)②假设两个数a,b除以同一个数c得到的余数一样，那么a,b的差一定③两数的和除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数和。④两数的差除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数差。⑤两数的积除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数积。余数一样：减同余补数一样：加同补10.弃九法〔1〕自然数N和它的数字和除以9同余；〔2〕在其他进制里同理：如7进制里，数N和它的各个数字和除以6同余证明：位值法11.完全平方数性质②约数：约数个数为奇数个的是完全平方数。约数个数为3的是质数的平方。③质因数分解：把数字分解，使他满足积是平方数。⑤32²=1024是第一个四位数99²=9801四位数里最大的四位数33²=四位数里第1个奇数⑦完全平方数除以4的性质最重要，偶数除以4余0,奇数除以4余1,除以4〔1〕末一位，相当于求除10=2×5末二位，相当于求除100=4×25末三位，相当于求除1000=8×125〔3〕找余数1:费马小定理：例：求2021.2948的最大公约数中国古代求解一次同余式组〔见同余〕的方法。是数论中一个重要定理。又称中国剩余定理。公元前后的?子算经?中有“物不知数”问题：“今有物不知其数，三三数之余二,五五数之余三，七七数之余二，问物几何?”答为“23”。也就是求同余式组x=2m整除a-b〕的正整数解。明朝程大位用歌谣给出了该题的解法：“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆月正半，除百零五便得知。”即解2,…,k。那么同余式组x=b1(modm1),…,x=bk(modmk)的解为2,…,k。直至18世纪C.F.高斯才给出这一定理。子定理对近代数学如环论，赋值论都有重要影响。解法中的三个关键数70,21,15,有何妙用，有何性质呢?首先70是3除余1而5与7都除得尽的数，所以70a是3除余a,而5与7都除得尽的数，21是5除余1,而3与7都除得尽的数，所以21b是5除余b,而3与7除得尽的数。同理，15c是7除余c,3与5除得尽的数，总加起来70a+21b+15c是3除余a,5除余b,7除余c的数，也就是可能答案之一，但可能不是最小的，这数加减105(105=3*5*7)仍有这样性质，可以屡次减去105而得到最小的正数解。附：如70,其实是要找余2的，但只要找到了余1的再乘2即余二了。子问题的解法，以现代的说法，是找出三个关键数70,21,15。解法的意思就是用70乘3除所得的余数，21乘5除所得的余数，15乘7除所得的余数，然后总加起来，除以105的余数就是答案。即题目的答案为70×2+21×3+15×2公式：70a+21b+15c-105n〔中国剩余定理CRT〕设m1,m2,.,mk是两两互素的正整数，即gcd(mi,mj)=1,i≠j,i,j=1,2,.,k那么同余方程组：模[m1,m2,..,mk]有唯一解，即在[m1,m2,..,mk]的意义下，存在唯一的x,中国剩余定理”算理及其应用：为什么这样解呢?因为70是5和7的公倍数，且除以3余1。21是3和7的公倍数，且除以5余1。15是3和5的公倍数，且除以7余1。〔任何一个一次同余式组，只要根据这个规律求出那几个关键数字，那么这个一次同余式组就不难解出了。〕把70、21、15这三个数分别乘以它们的余数，再把三个积加起来是233,符合题意，但不是最小，而105又是3、5、7的最小公倍数，去掉105的倍数，剩下的差就是最小的一个答案。用歌诀解题容易记忆，但有它的局限性，只能限于用3、5、7三个数去除，用其它的数去除就不行了。后来我国数学家又研究了这个问题，运用了像上面分析的方法那样进展解答。例1:一个数被3除余1,被4除余2,被5除余4,这个数最小是几?题中3、4、5三个数两两互质。那么〔4,5〕=20;〔3,5〕〔3,4,5〕=60。为了使20被3除余1,用20×2=40;使15被4除余1,用15×3=45;使12被5除余1,用12×3=36。然后，40×1+45×2+36×4=274,因为，274>60,所以，274-60×4=34,就是所求的数。例2:一个数被3除余2,被7除余4,被8除余5,这个数最小是几?题中3、7、8三个数两两互质。那么〔7,8〕=56;〔3,8〕=24;〔3,7〕=21;〔3,7,8〕=168。为了使56被3除余1,用56×2=112;使24被7除余1,用24×5=120。使21被8除余1,用21×5=105;然后，112×2+120×4+105×5=1229,因为，1229>168,所以，1229-168×7=53,就是所求的数。例3:一个数除以5余4,除以8余3,除以11余2,求满足条件的最小的自然数。题中5、8、11三个数两两互质。那么〔8,11〕=88;〔5,11〕=55;〔5,8〕=40;〔5,8,11〕=440。为了使88被5除余1,用88×2=176;使55被8除余1,用55×7=385;使40被11除余1,用40×8=320。然后，176×4+385×3+320×2=2499,因为，2499>440,所以，2499-440×5=299,例4:有一个年级的同学，每9人一排多5人，每7人一排多1人，每5人一排多2人，问这个年级至少有多少人?〔幸福123教师问的题目〕题中9、7、5三个数两两互质。那么〔7,5〕=35;〔9,5〕=45;〔9,7〕=63;〔9,7,5〕=315。为了使35被9除余1,用35×8=280;使45被7除余1,用45×5=225;使63被5除余1,用63×2=126。然后，280×5+225×1+126×2=1877,因为，1877>315,所以，1877-315×5=302,就是所例5:有一个年级的同学，每9人一排多6人，每7人一排多2人，每5人一排多3人，问这个年级至少有多少人?题中9、7、5三个数两两互为了使35被9除余1,用35×8=280;使45被7除余1,用45×5=225;使63被5除余1,用63×2=126。然后，280×6+225×2+126×3=2508,因为，2508>315,所以，2508-315×7=303,就是所求的数。〔例5与例4的除数一样，那么各个余数要乘的“数”也分别一样，所不同的就是最后两步。〕关于“中国剩余定理”类型题目的另外解法“中国剩余定理”解的题目其实就是“余数问题”,这种题目，也可以用倍数和余数的方法解决。不懂论坛上有没人发过。小学奥赛考试时学习过，也用过，现在把方法写出来，如果懂的也别笑我，呵呵。例一，一个数被5除余2,被6除少2,被7除少3,这个数最小是多少?解法：题目可以看成，被5除余2,被6除余4,被7除余4。看到那个“被6除余4,被7除余4”了么，有同余数的话，只要求出6和7的最小公倍数，再加上4,就是满足后面条件的数了，6X7+4=46。下面一步试下46能不能满足第一个条件“一个数被5除余2”。不行的话，只要再46加上6和7的最小公倍数42,一直加到能满足“一个数被5除余2”。这步的原因是，42是6和7的最小公倍数，再怎么加都会满足“被6除余4,被7除余4”的条件。46+42=8846+42+42=13046+42+42+42=172这是一种形式的，它的前提是条件中出现同余数的情况，如果遇到没有的，下面讲例二，一个班学生分组做游戏，如果每组三人就多两人，每组五人就多三人，每组七人就多四人，问这个班有多少学生?解法：题目可以看成，除3余2,除5余3,除7余4。没有同余的情况，用的方法是“逐步约束法”,就是从“除7余4的数”中找出符合“除5余3的数”,就是再7上一直加4,直到所得的数除5余3。得出数为18,下面只要在18上一直加7和5得最小公倍数35,直到满足“除3余2”4+7=1111+7=1818+35=53这种方法也可以解“中国剩余定理”解的题目。比“中国剩余定理”更好理解，我觉的速度上会比那个繁琐的公式化的解题更快。大家可以试下.所以：一共有5个187367547727907考虑平均化和极端化两数和一定，差小积大；两数积一定，差小和小几何出题特点及趋势：淡化几何几大模型的直接考察勾股定理频繁现身几何题中方程〔组〕作用非比寻常①三角形等底等高的三角形③公共局部的传递性①A;Abb知5-2=3,那么圆点比方点多3。例如弦图中长短边长的关系。①化整为零②先补后去③正反结合④有时要求的无法求，可以用反面的方法，求外围然后减去⑤求面积，直接求(10)长方形abdC②弦图：看到斜着放的正方形，就应该想到弦图变成5个小正方形作一个面积为5的正方形那么三角形的面积S=)p(p-a)(p-b)(p-c)〔13〕如果六边形对边相等，相隔一个顶点相连成的三角形的面积是六边形面积的一半〔14〕当求一局部比另一局部的面积大多少时，除了直接求出每2、立体图形：长方体、正方体(1)在平面几何中应用：曲线形〔两园相切：园心相连过切点；两园相交〕折叠：〔1〕利用对称，用尽量少得未知数表述图中的线段〔2〕勾股定理解方程；(2)立体几何中的应用：对角线AD²=(AC²+BC²)+BD²8.曲线形图形〔圆、扇形的周长与面积；平移、割补、旋转〕公式总结：9、一些特殊的图形：〔1〕弓形：弓形通常只求面积，半圆是特殊的弓形；弓形面积=扇形面积一三角形面积〔除了半圆〕6“谷子”+*不会那么明显、直接地出盈亏、鸡兔同笼、倍比关系，会有变形和复杂的关*画图时，对于卖掉、去掉、运走、增加一样多等从左边画；*高年级了，实在不好考虑，用方程做，一般求啥设啥为未知数〔直接设〕,还1.植树问题①开放型与封闭型②间隔与株数的关系2.方阵问题外层边长数-2=层边长数〔即不管哪一层，每往里一层，每边差2,每相邻两层的总数差8〕 〔即可以用螺旋法求每一层的总数，其他形状的队列也一样〕①车长+桥长=速度×时间②车长+车长z=速度和×相遇时间③车长+车长z=速度差×追及时间车长=速度和×相遇时间车长=速度差×追及时间种〔盈+亏〕÷两次分配差〔1〕涉及三个量：被分配的总数、承受分配的人或物、分配原那变逆推<--→归纳√线段图、方程、比列法都是常用工具，有时候可以转化成面积；√三人以上相遇或追及：杀人，转换成两两相遇√如果路程、时间和速度只告诉一个，或一个都没有告诉用设数法√如果题目中未提示什么相遇，相遇包括迎面相遇和追及相遇；端点的相遇，即是迎面相遇又是追及相遇〔4〕变道：判断相遇的大概位置，第一次的，和要求的那次的相遇的大概位置1.相遇问题路程和=速度和×相遇时间2.追及问题路程差=速度差×追及时间3.流水行船顺水速度=船速+水速逆水速度=船速-水速船速=〔顺水速度+逆水速度〕÷2,顺水速度和逆水速度和是两倍的船速；水速=〔顺水速度-逆水速度〕÷2,顺水速度和逆水速度差是两倍的水速；相遇：速度和=V甲+V乙船速，变速后分段考虑追及：速度差=V甲-V乙船速，变速后分段考虑说明：两船相遇、追及问题可以忽略水速，问一船的问题必须考虑水速；掉东西，掉多久，追多久；4.屡次相遇线型路程：甲乙共行全程数=相遇次数×2-1其中甲共行路程=甲在单个全程所行路程×共行全程数5.环形跑道①钟面介绍：钟面60格，1格6°,时针速度：1小时5格÷60格/分；分针速度：1小时1格÷1分=1格/②追及问题：0:00到12:00,时针、分针重合了11次〔算头不算尾〕:段③相遇：找格数和〔即路程和〕、速度和；④坏钟问题：坏钟好钟 ?格5×60格间隔=?1〔甲和车〕=?2〔乙和车〕=?3〔车自己〕V车Xt方法1:题目中的两句话告诉了猎狗和兔子的速度比；c步/“秒”d步/“秒”相遇或追及距离：将步转换成米，就可以求出相遇或追击时间，√先看是不是直接排列组合、再看是否分步、再看是否分类、再考虑对立事件、√要注意是分类的，还是分步的；分类之后一定是分步，单纯的分步可以理解√有时候一种方向试试不好做，可以反过来想一想；4.乘法原理：分步〔1〕方程x+y+z=10有多少组正整数解?C=36.〔2〕方程x+y+z=10有多少组非负整数解?Ci=66〔3〕方程x+y+z=10有多少组x,y,z都不小于2的整数解?C6=15排除法①总数量=A+B+C-(AB+AC+BC)+ABC②常用：总数量=A+B-AB③A交B,A∩B含2、5不含其它，是有限小数；含2、5含其它，无限混循环小数，不含2、5,含其它，无限纯循环小数；为什么可以这么化?设A=0.53.以不变量为“1”4.利润问题5.浓度问题根本概念：溶质、溶液、溶剂溶液=溶质+溶剂浓度=〔溶质÷溶液〕×100%有些题外表不是浓度问题，但用浓度问题的方法来解，会非常简单。识别不出来也没关系，用方程的方法(1)根据定义列方程〔2〕倒三角原理、也叫十字穿插法：两种溶液混合前后的浓度关系〔3〕通比：解决因单方面变化而引起变化的问题，抓住不变6.工程问题要深刻明白单位1的概念：把整个工程看成单位1〔多个工程时通常最小的当成单位1〕工作效率：衡量工作快慢的量〔工作总量÷工作时间〕工作效率的和：多人合作〔工作效率相加〕特别注意：工作量和工作效率都可直接相加，但工作时间不能方程〔组〕可大大缩短分析时间①合作问题②水池进出水问题7.按比例分配，8.分百问题分数的性质：分子分母同时扩大或缩小一样的非0倍数，值不变方程法：直接假设+间接假设〔近年常考〕份数法：设总份数为各分母的最小公倍数分百问题常考份数法+单位1法+方程法9.在比的问题中：是，比，占后面的是一个意思如何判断份数和数值，比拟：甲比乙代表份数；甲-乙甲比,代表份数；甲-1.等量关系①相关联量的表示法②解方程技巧：恒等变形2.二元一次方程组的求解：就是消元的过程〔1〕代入消元法、加减消元法、乘除消元法〔2〕当方程数小数未知数试试找找规律如果题目中没有限制条件，就可以先拿符合的特殊找规律：可以按结果找，也可以按过程中找，但通常会考过程中的规律，迎春①余数的应用√首先找题目中有无周期√有周期，做√周期的循环不是固定的√一般日期问题都是周期问题，年月日、星期几问题√眼睛要尖，要建立对应关系√找规律的方法之一：列表，怎么知道要列表?,如果一道题里有好几个规律①等差数列√求和公式、求工程的公式，即不住用植树问题套，其实植树问题就是等√逆着算的问题借来还去：使2用于公比是2或1/2;一定主要借最小的，别忘③裴波那契数列：④兔子序列：11235813⑥二级等差数列：②最优化问题找突破口，什么是突破口?就是那些一看到，就马上知道填什么的地方，一般找的方法：末尾法〔末位分析〕,首位法〔高位分析〕,进位，借位，位数，估算，结合数论知识点，尝试〔考虑极端情况，如果不能，选择次优，一定要仔数：一定要充分利用，通常也是突破口进位：有可能是1、2、3..,要看加数的个数，进位不会超过〔加数的个数--1〕位数：实际就是估算的思想，遇到未知的数字多，只知道位数的情况；位数代表一种取值的围，例#.铁三角：一个2位数减一个1位数，得没有数，那么一定是10-9三位数+2位数有进位，三位数一定是9百多；(5)大小数独，连续>>>、<<<常是突破口fbaedc①二进制位值原那么②二进制数与十进制数的互相转化③二进制的运算3.数越大，进制越小，可以和10进制比，判断进制先判断和10进制比，谁大谁小，然后看尾数差，然后找差的约数例：问在几进制中125×125=16324在10进制中：125×125=15625所以进制小于10100个099个22.哈密尔顿圈与哈密尔顿链不多于的奇点变成偶点，怎么变?在两个奇点间加线或去线；2.假设法小学数学中的对策问题，主要是研究在两人的游戏过程中如何使自己取胜的策略问题。其主要思想就是尽量增强自己，消弱对方。本讲主要研究的是：抢报数、取火柴、分水、称重三个问题。对于不同的游戏，有不同的必胜方法，当然，学习重点不是最后的必胜策略是什么，而是我们找到必胜策略的方法是什考虑方法往往是在对手采取的各种可能的方案中都占据有利的局面，这种局面叫胜局，那么一种游戏规那么下，是否存在胜局?怎样找胜局和如何把握胜局就成了研究对策问题的关键，我们把用数学的观点和方法来研究的策略叫做对对策问题的2个最根本要素：(1)局中人，在一场竞赛或斗争中的参与者(2)策略：是指某一局中人的一个“自始至终通盘筹划”的可行反感，①抢报30③报数：有余数，即余数≠0,先报赢无余数，即余数=0,后报赢竞赛问题，涉及体育比赛常识，会计算淘汰赛、单循环赛、双循环赛的比赛场(1)关于单循环赛，就是每两个人之间都要比赛；(2)单循环赛的场次的计算：例如10个人比赛或10队比赛，共赛的场次：(3)单循环赛的得分的计算：a.如果赢2分，平1分，输0分，那么每场得分数是定的，一定是2分，b.如果赢3分，平1分，输0分，那么比赛总分是在一个围，一般足球比赛是这样的；;比方5人比赛，总分围20~~30;每出现一场平局，总分就c.如果赢2分，输0分，那么每场得分数是定的，一定是2分，以上〔2〕为例，45场应共有分：45×2=90〔分〕;没有平局的比赛，比方乒乓球比赛(4)牢记：胜场数=负场数