圆形桥墩外域水动水压力的简化公式

圆形桥墩外域水动水压力的简化公式

0动水压力计算方法随着经济的快速发展，深水桥梁的建设越来越多。我国是地震多发国,震灾严重,地震作用下深水桥梁的墩-水耦合作用不容忽视。国内外抗震设计规范对动水压力的计算还不完善,对比发现各国规范对于墩-水耦合作用的计算有较大的差异;我国《公路工程抗震设计规范》(JTJ044—89)和《铁路工程抗震设计规范》(GB50111—2006)都给出了当水深超过5m时,动水压力的近似计算公式,但仅限于圆形、矩形、圆端形实心墩外域水动水压力的简化计算。《公路桥梁抗震设计细则》(JTG/TB02-01—2008)1.0.2条指出“本细则主要适用于单跨跨径不超过150m的混凝土梁桥……”。而目前建设、在建或拟建的深水桥梁,大多是单跨跨径超过150m的长大桥梁,因此需要对深水桥梁的动水压力计算方法进行深入研究。动水压力计算主要有解析法、数值分析法、半解析半数值分析法3类。解析法需要对结构和流体进行大量简化,计算量小,适合理论上的探讨;数值分析法如有限元法,流体单元数量大且流场计算不易收敛,计算效率较低;半解析半数值分析法将动水压力以解析解或半解析解表示,结构大幅简化后通过传统有限元软件或自编程求解。基于辐射波浪理论,赖伟等推导了圆形桥墩外域水的动水压力半解析半数值解;刘振宇推导了圆形和矩形空心墩内域水动水压力的半解析半数值解;杨万理、李乔对地震作用下桥墩非竖直棱面动水应力进行了分析。采用基于Morison方程的半解析半数值解法,李悦、张海龙等对连续刚构深水桥梁的地震反应进行了分析。研究表明:Morison方程中惯性力系数和阻尼力系数的精度依赖于试验数据或经验值,对较大直径的墩柱将高估动水压力的作用。基于辐射波浪理论的半解析半数值解法,力学概念清晰,推理严谨,精度较高,但是动水压力表达式极为冗长,包含积分、双重求和以及特殊函数等,需要采用专门的数学软件求解,制约了该方法在工程上的应用。本研究将对圆形桥墩动水压力表达式进行数学分析,建立墩-水耦合数值计算模型,对自由表面波、附加阻尼及弹性振动附加质量进行简化,对刚体运动附加质量进行拟合,提出满足常用深水桥梁应用的动水压力简化表达式;分别采用简化前、简化后的动水压力表达式对实际深水桥墩在不同地震波下的地震响应进行对比分析,以验证简化表达式的精度和计算效率。1第j节点间的附加质量和附加阻尼设水体初始静止,圆形桥墩的运动产生一个向四周辐射的波。设辐射波是小波幅的线性波,并且波浪与墩柱的作用也是线性的。设圆形墩柱刚体运动位移和墩身相对于墩底的弹性振动挠度分别为U(1)p(t)=U(1)p0eiωt,U(2)p(Z,t)=U(2)p0(Z)eiωt。设波动场中辐射波速度势为ΦR(r,θ,Z,t)=ϕR(r,θ,Z)eiωt,将其代入拉普拉斯方程,可得到速度势的基本方程。在满足适当边界条件情况下,可求出速度势以及用附加质量和附加阻尼表达的动水压力表达式:Ρout(1)jj=ω2U(1)p0eiωtQout(1)jj=-¨U(1)pΜout(1)jj-˙U(1)pCout(1)jj‚(1)Ρout(2)ij=ω2U(2)p0(Ζi)eiωtQout(2)ij=-¨U(2)pΜout(2)ij-˙U(2)pCout(2)ij‚(2)式中,Qout(1)jj=2ρaπ{sinh(k0Η)Η1(k0a)∫Γjcosh(k0Ζ)dΖk20[Η+σ-1sinh2(k0Η)]Η′1(k0a)+∞∑n=1sin(knΗ)Κ1(kna)∫Γjcos(knΖ)dΖk2n[Η-σ-1sin2(knΗ)]Κ′1(kna)}‚(3)Qout(2)ij=2ρaπ{Η1(k0r)cosh(k0Ζi)∫Γjcosh(k0Ζ)dΖΗ′1(k0a)k0[Η+σ-1sinh2(k0Η)]+∞∑n=1Κ1(kna)cos(knΖi)∫Γjcos(knΖ)dΖΚ′1(kna)kn[Η-σ-1sin2(knΗ)]}‚(4)并且Mout(1)jj=Re[Qout(1)jj],Cout(1)jj=-ωIm[Qout(1)jj],Mout(2)ij=Re[Qout(2)ij],Cout(2)ij=-ωIm[Qout(2)ij]。变量XΙndex3Ιndex1Ιndex2中:下标Index1取(1)或(2),分别表示刚体运动、弹性振动;下标Index2取jj或ji表示第j节点的运动产生的对j节点的影响,或第i节点的运动产生的对j节点的影响;上标Index3取out或者in,分别表示外域水或内域水的影响;X取P、M、C分别表示动水压力、附加质量和附加阻尼,取Q是包含附加质量和附加阻尼的过渡表达。如Mout(1)jj表示外域水作用下,桥墩第j节点的刚体运动引起的j节点的附加质量。a是桥墩半径,H为桥墩入水深度,ρ是水体密度,H1(·)是第2类第1阶Hankel函数,K1(·)为第2类第1阶修正Bessel函数,k0、kn通过色散方程确定。圆形桥墩动水压力的详细推导过程请见文献。2桥墩离散模型将式(1)、式(2)所求解的刚体运动、弹性振动所致动水压力施加在桥墩运动微分方程式(5)左侧,并考虑到U(1)p=Ug,U(2)p=Us,整理后可得考虑动水压力的桥墩运动微分方程,如式(6)所示。Μ¨Us+C˙Us+ΚUs=-Μ¨Ug(t)‚(5)[Μ+Μout(2)]¨Us+[C+Cout(2)]˙Us+ΚUs=-[Μ+Μout(2)]¨Ug+F(t)‚(6)式(6)中,F(t)=-[Μout(1)-Μout(2)]¨Ug-Cout(1)˙Ug作为外力施加在墩柱上。根据式(6)建立桥墩离散后的数值计算模型如图1所示,其中Mout(2)-i、C(2)-iout分别为弹性振动引起的第i节点的附加质量和附加阻尼,相应的,M(1)-iout、C(1)-iout为刚体运动引起的第i节点附加质量和附加阻尼。上部结构对墩顶的作用简化为集中质量mu、阻尼系数cu和弹簧常数ku。墩-水耦合数值计算模型简单明确,但附加质量、附加阻尼表达式冗长,难于计算。因此,需要对附加质量和附加阻尼进行简化,以利于这种半解析半数值解法的推广应用。3动水压力桥墩的运动微分方程式C(1)out、C(2)out分别为考虑自由表面波时,桥墩刚体运动、弹性振动引起的阻尼项。若自由表面波的影响很小,可不考虑,即gω2=σ=0,那么式(3)、式(4)将分别变为:Q(1)jjout=2ρaπ∑n=1∞sin(knΗ)Κ1(kna)∫Γjcos(knΖ)dΖkn2ΗΚ′1(kna)‚(7)Q(2)ijout=2ρaπ∑n=1∞Κ1(kna)cos(knΖi)∫Γjcos(knΖ)dΖknΗΚ′1(kna)‚(8)并且kn=(2n-1)π2Η,n=1,2,⋯。式(7)、式(8)计算的结果为实数,有:M(1)jjout=Q(1)jjout,M(2)jjout=Q(2)jjout,C(1)out=C(2)out=0。因此考虑动水压力桥墩的运动微分方程式(6)变为:自由表面波将对附加阻尼、附加质量产生影响,最终会对结构的动力特性和动力响应产生影响。设墩高60m,底部固结,入水深度等于墩高,直径从1m变化到20m的一组桥墩为桥墩组1。计算发现,自由表面波对附加阻尼和附加质量影响不大。以直径为10m的桥墩为例,从图2(a)可见考虑自由表面波时刚体运动和弹性振动引起的阻尼基本一致,除了墩顶少数节点,其余节点的附加阻尼为0。从图2(b)、(c)可知,自由表面波仅对桥墩顶部少数节点弹性振动附加质量和刚体运动附加质量有所影响,但是影响十分有限,并且这些位置的节点附加质量本身也不大。因此自由表面波对该桥墩附加质量的影响很小。桥墩组1中其他桥墩附加阻尼、附加质量受到自由表面波的影响与图2相似,此处略。设考虑和不考虑自由表面波时附加质量分别为Mfout、Muout,定义Mincreout=100%×(Mfout-Muout)/Muout为自由表面波引起的附加质量增量。从图3(a)可见附加质量增量曲线随着桥墩直径增大出现波动,但波动幅度逐渐收敛于小值,增量绝对值小于6%。设桥墩在水中和空气中的1阶自振频率分别为ωw、ωa,定义decω=100%×(ωa-ωw)/ωa为1阶频率降低率。从图3(b)可见:自由表面波将引起1阶频率降低率曲线波动,但影响不大;在桥墩直径增大时,2条曲线趋于一致。设动力荷载作用下,桥墩在水中和空气中,墩顶位移在X方向分量的峰值分别为UXwmax、UXamax,定义UXincremax=100%×(UXwmax-UXamax)/UXamax,为墩顶峰值位移增量。按照相似的规则,可定义墩底反力X方向分量(FX)、墩底绕Y轴弯矩(MY)的峰值增量分别为FXincremax、MYincremax。图3(c)表示在简谐荷载u¨g=5sin(2πft)(f=3Hz,时间步长0.01s,持时2s,施加在X方向)作用下,考虑自由表面波和不考虑自由表面波时,墩顶位移、墩底反力、墩底弯矩峰值增量的差值。从图3可见,自由表面波对桥墩动力响应的影响很小,各量值峰值增量的差值在(±1)%之内。因此在式(3)、式(4)中可不考虑自由表面波的影响。4额外质量简化4.1弹-刚附加质量增量从式(7)、式(8)可知,不考虑表面自由波时,附加质量仅与桥墩直径与入水深度相关。比较发现在桥墩组1中,同一桥墩弹性振动附加质量与刚体运动附加质量基本相同。图4表示直径为10m的桥墩,刚体运动附加质量和弹性振动附加质量的对比,可见两条曲线基本一致。设刚体运动、弹性振动引起某座桥墩的附加质量分别为M(1)out、M(2)out,定义Mincout=100%×[M(2)out-M(1)out]/M(1)out为弹-刚附加质量增量。图5(a)表示桥墩组1中弹-刚附加质量增量随直径的变化规律,可见增量绝对值的最大值小于1%。设直径为4m,墩高从20m变化到140m的一组桥墩为桥墩组2,该组桥墩底部固结,并且入水深度等于墩高。该组桥墩的弹-刚附加质量增量随墩高的变化规律如图5(b)所示,增量绝对值的最大值小于2.5%。从图5可见:桥墩刚度越大,弹性振动与刚体运动引起的附加质量差异越明显,弹-刚附加质量增量绝对值越大。但总体上看这种增量值仍很小,可认为刚体运动引起的附加质量约等于弹性振动引起的附加质量。在式(9)中:Μ(2)-jout=∑i=1k+1Μ(2)ijout‚Μ(1)-jout=Μ(1)jjout,可见前者的计算远比后者复杂,因此可用刚体运动附加质量M(1)out替换掉式(9)弹性振动附加质量M(2)out,得:4.2附加质量系数设在桥墩高度Zi处,与单位高度桥墩(Zi-0.5,Zi+0.5)相同体积的水体的质量为Miwat,如果圆柱桥墩直径沿高度无变化,那么:Miwat=ρπa2。将刚体运动引起的第i节点附加质量M(1)-iout与Miwat的比值,即MiR=M(1)-iout/Miwat,称为附加质量系数,该系数与Morison方程中动水附加惯性力系数Cm相似。在Morison方程中,Cm=CM-1,CM称为惯性力系数,对于小直径圆形墩柱CM取2.0,即Cm=1。图6表示桥墩组1中直径D为1、5、10、20m桥墩的附加质量系数与Cm=1的对比。可见,当桥墩直径较小时,附加质量系数接近Morison方程动水附加惯性力系数;当桥墩直径增大时,附加质量系数小于动水附加惯性力系数,此时Morison方程将高估附加质量。这就是Morison方程高估较大直径墩柱动水压力的原因。在式(10)中,只有刚体运动引起的附加质量需要预先计算。Bessel函数渐进表达式为:并且已知K′n(X)=-Kn-1(X)-Kn(X)/X。对于Kn(X),在式(11)中取等式右侧第一项,则可设式(7)式中,式中C1为常系数。将式(12)代入式(7),整理后可得:又因为:sin(2n-12π)=(-1)(n-1)‚Μiwat=ρπa2,对式(13)整理后可得:其中,MiSRΟ(H,a,Zi)=C2(a,H)ef(H,a,Zi)称为简化附加质量系数,C2(a,H)、f(H,a,Zi)为待求函数。设墩高为20～140m,桥墩直径从1m变化到20m的桥墩为桥墩组3,计算出该组中每一座桥墩的附加质量系数MRi,并编程进行拟合,得到简化附加质量系数表达式:ΜiSRΟ(Η,a,Ζi)=(1-10aΗ2){1-exp[5(Ζi-Η)aΗ1/3]}。(15)图7表示桥墩组1中,墩径为1、10m和20m时,墩身各节点简化附加质量系数与附加质量系数的对比,从中可见拟合情况较好。图8表示对于桥墩组3的每座桥墩,简化附加质量系数相对于附加质量系数的增量百分比。从图8可见墩高相同时,直径越大,简化误差越大;桥墩直径相同时,墩高越大,简化误差越小。说明简化附加质量系数对细长墩柱拟合的精度比矮粗墩柱高。图8中墩高40m,直径20m的桥墩,在实际工程中基本不存在,为了研究简化附加质量系数增量的变化趋势,本文包含了较宽的范围。相对而言,深水桥墩刚度较小,柔性较好,因此简化附加质量系数的精度能较好地满足工程应用需求。经过对自由表面波、附加阻尼、弹性附加质量的简化,以及对刚体运动附加质量的拟合,得到考虑墩-水耦合作用的圆形深水桥墩运动微分方程为:式中,Μiout=ΜiwatΜiSRΟ(Η,a,Ζi)‚ΜiSRΟ(Η,a,Ζi)=(1-10aΗ2)[1-exp(5(Ζi-Η)aΗ1/3)]。这里将式(16)称为基于辐射波浪法的圆形桥墩动水压力简化表达式。5地震波作用下的动水压力明确值如图9所示,某刚构桥采用单柱式圆形实心桥墩,桥墩直径4m,墩高40m,水深35m。桥面为双向4车道,宽24m。mu为一跨桥面系质量取8.5×105kg,ku取1.36×104kN/m,cu取1.0×105N·m/s。桥墩采用C50混凝土,混凝土密度为2500kg/m3,弹性模量为33560MPa,泊松比为0.2。图10表示3种地震波的加速度时程以及傅氏谱,这3条地震波的加速度峰值、持续时间、主频等都不相同。采用圆形桥墩简化前、简化后的动水压力表达式,计算桥墩在不同地震波作用下的地震反应,以检验动水压力简化表达式的计算效率和精度。对比图1和图9可见,墩-水耦合计算模型中桥墩结构模型不变;对比式(6)和式(16),动水压力简化后,不需计算附加阻尼及弹性振动附加质量,刚体运动附加质量采用拟合表达式完成,整个计算难度降低,计算效率得以大幅提高。图11表示在3条地震波作用下,动水压力表达式简化前、简化后墩顶UX