2021年上海市松江区中考数学二模试卷（含解析）

2021年上海市松江区中考数学二模试卷

一、选择题（每小题4分）.

1.下列二次根式中，最简二次根式是（）

A.显B.76C.祗D.VO72

2.将抛物线丫=（x-2）2+1向上平移3个单位，得到新抛物线的顶点坐标是（）

A.（2,4）B.（-1,1）C.（5,1）D.（2,-2）

3.关于x的一元二次方程止-4》+1=0有两个实数根，则上的取值范围是（）

A.后>4B.ZW4C.Jt<4且JIWOD.々W4且kWO

4.下列各统计量中，表示一组数据波动程度的量是（）

A.平均数B.众数C.方差D.频数

5.已知三角形两边的长分别是4和9,则此三角形第三边的长可以是（）

A.4B.5C.10D.15

6.已知。。的半径0A长为3,点8在线段。4上，且。8=2,如果08与QO有公共点，

那么。B的半径r的取值范围是（）

A.B.r<5C.l<r<5D.KW5

二、填空题（每小题4分）.

7.计算：cT="

8.分解因式：a1-4b2-.

9.方程42x-3=l的解是.

10.数0.00035用科学记数法表示为.

11.用换元法解方程三支4^1=3时，设至工=y,那么原方程化成关于y的整式方程

XX-1X

是.

12.已知反比例函数y上2的图象在每个象限内），的值随x的值增大而减小，则k的取值

X

范围是.

13.布袋中装有4个红球和5个白球，它们除颜色不同外其他都相同.如果从布袋中随机摸

出一个球，那么摸到的球恰好为红球的概率是.

14.一次数学测试后，某班40名学生按成绩分成5组，第1、2、3、4组的频数分别为13、

10、6、7,则第5组的频率为

15.如图，已知口4BCC,E是边C£>的中点，联结4E并延长，与BC的延长线交于点F.设

16.已知正三角形ABC外接圆的半径为2,那么正三角形A8C的面积为.

17.如图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔塔尖点尸的仰角为60。，沿山坡向上走200米

到达8处，在2处测得点P的仰角为15°.已知山坡AB的坡度i=l：\后，且4、A、

B、尸在同一平面内，那么电视塔的高度尸”为米.（结果保留根号

18.如图，已知RtZxABC中，ZACB=90°,AC=6,8c=8.将△ABC翻折，使点C落

在AB边上的点。处，折痕E尸交边AC于点E,交边8C于点F,如果。E〃BC,则线

段EF的长为.

三、解答题：（本大题共7题，满分78分）

19.先化简，再求值：经系+婕-2-劣），其中》=-费.

入‘乙入'乙乙

x+3y=4<1）

20.解方程组：\„9

,x'+4xy-5y”=0②

21.如图，已知RtZXABC中，ZACB=90°,cot/84C=2,BC=4,以边AC上一点。为

圆心，04为半径的。0经过点3.

（1）求OO的半径；

（2）点P是劣弧标的中点，求tan/PAB的值.

22.一辆轿车和一辆货车分别从甲、乙两地同时出发，匀速相向而行，两车相遇时轿车比货

车多行驶了90千米.设行驶的时间为，（小时），两车之间的距离为s（千米），图中线

段AB表示从两车发车至两车相遇这一过程中s与f之间的函数关系，根据图象提供的信

息回答下列问题：

（1）求s关于，的函数关系式；（不必写出定义域）

（2）求两车的速度.

23.如图，已知在直角梯形A8C。中，AD//BC,/ABC=90°,AE±BD,垂足为E,联结

CE,作交边A2于点F.

(1)求证：AAEFsABEC；

(2)若AB=BC,求证：AF=AD.

24.在平面直角坐标系xOy中，直线y=3x+3与x轴、y轴分别交于点A、8,抛物线y=ax2+bx

-5a经过点4.将点8向右平移5个单位长度，得到点C.

(1)求点C的坐标；

(2)求抛物线的对称轴；

(3)若抛物线的顶点在△O8C的内部，求。的取值范围.

77

25.如图，已知在△A8C中，BOAB,8。平分NABC,交边4c于点，E是BC边上一

点，且BE=BA,过点A作AG〃。尽分别交B。、BC于点F、G,联结FE.

(1)求证：四边形是菱形；

(2)求证:AB?=BG,BC；

(3)若A8=4C,BG=CE,联结4区求;的值.

SAABC

BGE

参考答案

一、选择题(每小题4分).

1.下列二次根式中，最简二次根式是()

A.V8B.娓C.D.VO.2

解：A、泥=2&,能化简，不是最简二次根式，不符合题意；

B、近不能化简，是最简二次根式，符合题意；

C、\区=返，能化简，不是最简二次根式，不符合题意；

V22

D、而工=逅，能化简，不是最简二次根式，不符合题意；

5

故选：B.

2.将抛物线>=(x-2)2+1向上平移3个单位，得到新抛物线的顶点坐标是()

A.(2,4)B.(-1,I)C.(5,1)D.(2,-2)

解：将抛物线丫=(x-2)2+1向上平移3个单位，得了=(x-2)2+1+3,B[Jy—(x-2)

2+4,

顶点坐标为(2,4),

故选：A.

3.关于x的一元二次方程叱-4犬+1=0有两个实数根，则人的取值范围是()

A.k>4B.々W4C.k<4且々WOD.%W4且女#0

解：；方程有两个实数根，

二根的判别式△=从-4ac=16-4k\0,

即AW4,且ZWO.

故选：D.

4.下列各统计量中，表示一组数据波动程度的量是()

A.平均数B.众数C.方差D.频数

解：能反映一组数据波动程度的是方差或标准差，

故选：C.

5.己知三角形两边的长分别是4和9,则此三角形第三边的长可以是()

A.4B.5C.10D.15

解：设第三边长为x,则由三角形三边关系定理得9-3<x<9+3,即6Vx<12.

因此，本题的第三边应满足6<xV12,

只有10符合不等式，

故选：C.

6.已知。。的半径04长为3,点8在线段OA上，且。8=2,如果与。0有公共点,

那么的半径r的取值范围是()

A.r>lB.rW5C.l<r<5D.1W，W5

解：如图，当。B内切于时，08的半径为3-2=1,

当。。内切于08时，的半径为3+2=5,

如果08与有公共点，那么08的半径r的取值范围是1W，W5,

故选：D.

二、填空题：(本大题共12题，每题4分，满分48分)【请将结果直接填入答题纸的相

应位置上】

7.计算：孑=2.

8J

解:\;84{y?ac{1}{3}}=\roo/{3}{8}$=2.

故答案为2.

8.分解因式：cP-4序=(a+2b)(a-2b).

解：a2-4b2—(a+2b)(a-2b).

故答案为：(a+2b)(a-2b).

9.方程42x-3=l的解是x=2.

解：V2x_3=1»

两边平方得，2x-3=l,

解得，x=2；

经检验，x=2是方程的根；

故答案为x=2.

10.数0.00035用科学记数法表示为3.5X10」.

解：数0.00035用科学记数法表示为3.5X107.

故答案为：3.5X103

11.用换元法解方程卫一冬=3时，设工工=》,那么原方程化成关于y的整式方程是

XX-1X

解：设上工=>，则—•小.

xx-1y

9

所以原方程可变形为：y/=3.

y

方程的两边都乘以y,得

V+2=3y.

即/-3y+2=0.

故答案为：>2-3y+2=0.

12.已知反比例函数y上2的图象在每个象限内y的值随x的值增大而减小，则k的取值

X

范围是k>2.

解：•.•反比例函数y上2的图象在每个象限内y的值随X的值增大而减小，

X

：.k-2>0,

解得k>2.

故答案为k>2.

13.布袋中装有4个红球和5个白球，它们除颜色不同外其他都相同.如果从布袋中随机摸

出一个球，那么摸到的球恰好为红球的概率是4-

-9-

解：•.•一个布袋里装有4个红球和5个白球，

摸出一个球摸到红球的概率为：-^-=4.

4+59

故答案为：4-

14.一次数学测试后，某班40名学生按成绩分成5组，第1、2、3、4组的频数分别为13、

10、6、7,则第5组的频率为0.1.

解：第5组的频数为：40-13-10-6-7=4,

第5组的频率为：-^-=0.1,

40

故答案为：0」.

15.如图，已知口A8CDE是边CO的中点，联结4E并延长，与BC的延长线交于点F.设

AB=a,AD=b>用a,b表示正为

解：在。4BCO中，CD//AC,WiJCE//A8.

是边CD的中点，

；.CE是△ABF的中位线，

；.BC=CF.

在四边形4BC£)中，AD=BC,而=1，则而=2前=2屈=21

AB=a，

*<-AF=AB+BF=a+2b-

故答案是：a+2t.

16.已知正三角形ABC外接圆的半径为2,那么正三角形ABC的面积为

解：如图所示：

连接OA、OB、OC,过O作OOJ_BC于D,

,/正三角形ABC外接圆的半径为2,

；.OA=OB=OC=2,NABC=60°,

/.ZOB£>=30°,

-：OD1BC,

：.ZODB=90°,OD=—OB=—X2=\,

22

:.BD=MDD=M，

:.BC=2BD=2M，

：.SMBC^BCXAD^BCX(AO+OQ)=^X2«X(2+1)=/义2«*3=3/，

故答案为：3y.

17.如图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔塔尖点尸的仰角为60°,沿山坡向上走200米

到达8处，在B处测得点尸的仰角为15°.己知山坡A8的坡度,'=1：弧,且〃、A、

B、P在同一平面内，那么电视塔的高度PH为久0\巧米.（结果保留根号形式）

解：过8作8M于M,过8作如图所示:

则NAM8=90°,ZABN=ZBAM,

由题意得：AB=200米，/PBN=15°,NPAH=60°,

•.•山坡A8的坡度i=l：

：.tanZBAM=]

o

・・・NR4M=30°,

/.ZABN=30°,

：.ZPAB=\S0°-ZPAH-ZBAM=90°,NABP=/ABN+NPBN=45°,

：./\PAB是等腰直角三角形，

・・・PA=A8=200米，

在RtZkPAH中，sinZP?1W=—=sin600=返,

PA2

.•.P，=哼%=100«（米），

故答案为：100立.

18.如图，已知Rt^ABC中，/ACB=90。，AC=6,BC=8.将△ABC翻折，使点C落

在AB边上的点。处，折痕EP交边AC于点E,交边BC于点F,如果。E〃8C,则线

段EF的长为型.

-7-

解：如图，由折叠可知，EC=ED,FC=FD,ZCEF=ZDEF,E尸是C。的垂直平分线,

'：DE//BC,/ACB=90°,

.•./AE£»=/ACB=90°,

:.NCEF=NDEF=45°,

/.ZCED=ZECF=ZEDF=90°

四边形CEDF是正方形，

设CF=x,则AE=6-x,BF=8-x,

由△4E£)sZy)BB得，

岖二股

而一而‘

即，生L=」_,

x8-x

解得,x=竿

在RtACEF中，

EF=4^CF=2誓,

故答案为：岑工

三、解答题：(本大题共7题，满分78分)

19.先化简，再求值：空_+(x-2--J)，其中

x+2x+22

解：(x-2-击)

_2(x-3).(x-2)(x+2)-5

x+2'x+2

2(x-3)Hx+2

x+2x?-4-5

,2(x-3)

(x+3)(x-3)

-2

x+3'

当X=-《时，原式=1c=卷.

2方+35

x+3y=4(l)

20.解方程组：\,9

,x*+4xy-5y'=0②

解:由②，得(x+5y)(x-y)=0,

所以x+5y=0③或x-y=0④.

由①③、①④组成新的方程组为：

(x+3y=41x+3y=4

1x+5y=0Ix-y=0

解这两个方程组，

x<=10fx=l

所以原方程组的解为；\\2

71=2(y2=i

21.如图，已知RtZVIBC中，ZACB=90°,colZBAC=2,BC=4,以边AC上一点。为

圆心，OA为半径的。。经过点8.

(1)求OO的半径；

(2)点P是劣弧标的中点，求tan/PAB的值.

解：(1)如图I,连接。8,

图1

在中，VZC=90°,cotZBAC=2,BC=4,

;.妈=2,

BC

.AC-

4

・・・AC=8,

设OO的半径为八则08=々oc=S-r,

在RtaOCS中，由勾股定理得：。炉=0^+8(?,

.•.产=(8-r)2+42,

解得：〃=5,

・・・。。的半径为5；

(2)如图2,连接OP,OB,0P交AB于E,

0

\C1---------洲

图2

RtZiOCB中，由勾股定理得：。。=3,

Rt"C8中，AB="\/AC2+BC2=yj82+42=4V5»

・・,点尸是劣弧标的中点，

，0P1.AB,

:,AE=BE=2娓,

•*-O£=V0A2-AE2=752-（2>/5）2=旄,

：.EP=OP-OE=5-娓,

RtZ\AEP中，tanRPA8=^=‘一省=_§^七=立.

AE2^5102

22.一辆轿车和一辆货车分别从甲、乙两地同时出发，匀速相向而行，两车相遇时轿车比货

车多行驶了90千米.设行驶的时间为1（小时），两车之间的距离为s（千米），图中线

段AB表示从两车发车至两车相遇这一过程中s与f之间的函数关系，根据图象提供的信

息回答下列问题：

（1）求s关于Z的函数关系式；（不必写出定义域）

（2）求两车的速度.

解：（1）设s关于f的函数关系式为5=公+匕，根据题意，得:

[2k+b=150

13k+b=0'

[k=-150

解得

lb=450

s=-150r+450；

(2)由s=-150/+450,可知甲、乙两地之间的距离为450千米，

设两车相遇时，设轿车和货车的速度分别为也千米〃卜时，吸千米/小时，根据题意，

'、+3v)=450

得：，

3丫1-3V2=9。

\,=90

解得《，

V2=60

故轿车和货车速度分别为90千米/小时，60千米/小时.

23.如图，已知在直角梯形48co中，AD//BC,ZABC=90°,AELBD,垂足为E,联结

CE,作E尸，CE,交边AB于点尸.

(1)求证：△AEFsaBEC；

(2)^AB=BC,求证：AF=AD.

解：(1)证明：'：AELBD,EFVCE,

：.NAEB=NCEF=/A8C=90°,

ZABE+ZEAF=ZABE+ZCBE=90°,

：.ZEAF=ZCBE,

,：NAEF+NBEF=NBEC+NBEF=90",

NAEF=NBEC,

：.

(2)证明：'：AD//BC,ZABC=90°,

/8/W=180°-/48C=90°,

'JAE1BD,

NAEB=90°=NBAD,

：NABE=NDBA,

\XABESADBA,

•AE=AD

•瓦一而‘

.*/\AEF^/\BEC,

・坐=鲤

*BE-BC'

•AF=AD

•而一冠

：AB=BC,

\AF=AD.

24.在平面直角坐标系xOy中，直线y=3x+3与x轴、y轴分别交于点A.B,抛物线y—ax2+bx

-5a经过点A.将点3向右平移5个单位长度，得到点C.

(1)求点C的坐标；

(2)求抛物线的对称轴；

(3)若抛物线的顶点在△OBC的内部，求“的取值范围.

Ox

解：(1)在y=3x+3中，令x=0得y=3,令y=0得x=-l,

；.A(-1,0),B(0,3),

•••点B向右平移5个单位长度，得到点C.

：.C(5,3)；

(2)9：A(-1,0),抛物线>=加+打-5。经过点A,

.*.0=^7-b-5a,艮|Jb=-4a,

.,.抛物线>=浸+法-5a对称轴为》=」-=-二9=2；

2a2a

(3)对称轴x=2与BC交于。，与OC交于E,如图：

MV

设OC解析式为>=自，

V(5,3),

：・3=5k,

.,3

••K—~~,

5

.•.OC解析式为丫=条，

令x=2得y=g,即E(2,金),

55

由(1)知力=-4m

抛物线为y=ax1--5m

工顶点坐标为(2,-