2021年陕西省西安市八校高考数学联考试卷（文科）（一）（解析版）

2021年陕西省西安市八校高考数学联考试卷（文科）（一）

一、选择题（共12小题）.

1.已知集合A,全集U={-1,-2,I,2,3,4},若Cu4={l,3,4),则集合A是()

A.{-1,-2,0,2}B.{-1,-2,2}C.{-1,-2}

D.{0}

2.已知/(x)为奇函数，当x>0时，f(x)=加氏+1,则/(-e)=()

A.2B.0C.-2D.1

7T

3.若。€(-——，0)，且sina+cosa=0,则sin3a=()

2

A.-返B.返C.-返D.—

2222

4.在1到100的整数中，除去所有可以表示为2"(”€N+)的整数，则其余整数的和是()

A.3928B.4024C.4920D.4924

22

5.已知双曲线S：三—--=1的离心率为2,则双曲线S的两条渐近线的夹角为()

mm+8

*71九人冗2兀c兀22九

A.—B.—C.—■或——D.―■或^—

636333

TT

6.已知信=1,F3=2,且Z与式的夹角为k，则域-<53=()

0

A.V7B.272C.V10D.779

7.已知点P在圆C：(x-2)2+(y+1)2=[上，直线/：3x+4y=12与两坐标轴的交点分

别为M,N,则△PMN的面积的最大值是（）

A.—B.8C.卫D.9

22

8.已知在△ABC角A、B、C的对边分别是。、b、c,且。=4,b=3,c=2.则△ABC的

最大角的正弦值是（）

A.-1B.叵C.--fil-D,匡

4244

TT

9.己知f(x)=^Jinxcosx+sin2x-(xG[0,—D.则/(X)的值域是（）

A.[-*B.[-1,

c-l-pHD.[-1,1]

10.如图，已知底面边长为a的正四棱锥P-A8CQ的侧棱长为2m其截面PAC的面积为

877＞则正四棱锥尸-A8CD的高是（）

p

/、、、\/

D'C

A.7^4B.2^/14C.4-77D.4

11.已知命题p：3xeR,x-10>/gx,命题q：VxeR,ev>^-,则()

A.“pVq”是假命题B.“pf\q”是真命题

C."pyfq”是假命题D."PC是真命题

12.设函数/(x)在R上可导，其导函数为/(x)且函数y=(1-x)/(%)的图象如图所

示，则下列结论一定成立的是()

A.函数/(X)的极大值是/(2),极小值是/(I)

B.函数f(x)的极大值是/(-2),极小值是/(I)

C.函数/(x)的极大值是f(2),极小值是/(-2)

D.函数/(x)的极大值是/(-2),极小值是/(2)

二、填空题(共4小题).

13.若抛物线的准线方程为y=2,则该抛物线的标准方程是.

14.若aCR,i为虚数单位，12+41=4,则。=.

1

5x-m,x<14

15.设函数/'(x)=<,若/(/(£■))=8,则根=.

x>l5

16.已知函数/(X)=/+©+力有两个零点》］、及，且-1<XI<0<X2<2,则z=a-2〃的取

值范围为

三、解答题(本大题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第

17〜21题为必考题：第22、23题为选考题，考生根据要求作答。)

17.己知｛〃〃｝为等差数列，各项都为正数的等比数列g”｝的前〃项和为S”，且历=3,S3=

39,a\=b2-7,。40=沙4-1.

(I)求｛小｝、｛仇｝的通项公式;

(II)求和，1+2。2+2。3+....+2〃〃+。〃+1.

18.已知正四面体ABC。，M、N分别在棱A。、AB±,且AN=—AB,尸为

23

棱AC上任意一点(P不与A重合).

(1)求证：直线MN〃平面BOP；

(II)若正四面体ABCD的各棱长均为60cm.求三棱锥M-BDC的体积.

19.西安市某街道办为了绿植街道两边的绿化带，购进了1000株树苗，这批树苗最矮2米,

最高2.5米，枝树苗高度绘制成如图频率分布直方图(如图).

(I)试估计这批树苗高度的中位数；

(II)现按分层抽样方法，从高度在［2.30,2.50］的树苗中任取6株树苗，从这6株树苗

中任选3株，求3株树苗中至少有一株树苗高度在⑵40,2.50］的概率.

,'组距

2.02,102.202.302402.50'‘小

22

20.已知椭圆C：,巧、B分别为椭圆C的左、右焦点，P为椭圆

azbZ

C上的任一点，且『冏的最大值和最小值分别为3和1,过尸2的直线为/.

(I)求椭圆C的方程；

(II)设直线/与椭圆C交于A、3两点，求△A8A的面积的最大值.

21.已知函数/(x)=lnxln2x.

(1)求曲线y=/(x)在点(1,/(I))处的切线方程；

(2)设/?(x)=/(x)-1,求证：h(x)在［1,+8)上有唯一零点.

(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第

一题计分.［选修4-4：坐标系与参数方程］

22.已知曲线S的参数方程为卜+l(e为参数，0＜。＜2皿).点「(-《，-a;巨)

［y=3coSe22

在曲线s上，直线/过点P,且倾斜角为二.

(I)求点尸在曲线S上对应的参数0的值；

(II)求直线/被曲线S截得的线段的长度.

［选修4-5：不等式选讲］

23.已知/(x)=x|x-3|-4.

(I)解不等式/(x)＜0；

(II)设g(x)='(xW3,且xr0),求g(x)的值域.

X

参考答案

一、选择题（共12小题）.

1.已知集合A,全集U={-1,-2,1,2,3,4},若CuA={l,3,4),则集合A是()

A.{-1,-2,0,2}B.{-1,-2,2)

C.{-1,-2}D.{0}

解；因为全集^/={-1,-2,1,2,3,4},若CuA={l,3,4),

由补集的定义可得，A={-1,-2,2).

故选：B.

2.已知，(x)为奇函数，当x>0时，f(x)=/nx+l,则/(-e)=()

A.2B.0C.-2D.1

解：根据题意，当x>0时，f(x)=lnx+\,则/(e)=lne+\=2,

又由为奇函数，则/(-e)=-f(e)=-2,

故选：C.

TT

3.若“6(-0),且sina+cosa=0,则sin3a=()

A.-迪B.迪C.-返D.—

2222

解：因为sina+cosa=0,所以tanCl=亘吗一二-1，

cosQ

jr

又因为ae(-—,0),

2

所以a=」TT\

4

则sin3a=sin(-等)Fin**.

故选：A.

4.在1到100的整数中，除去所有可以表示为2""6N+)的整数，则其余整数的和是()

A.3928B.4024C.4920D.4924

解:因为当为6口,100］时，〃=1,2,3,4,5,6,

所以21+22+23+24+25+26=2*)~=126,

又1+2+3+…+100=-l°U1°1-=5050,

所以在1至I」100的整数中，除去所有可以表示为2?（〃£N+）的整数，其余的整数的和为

5050-126=4924.

故选：D.

22

5.已知双曲线S：三--1=1的离心率为2,则双曲线S的两条渐近线的夹角为（）

mm+8

A,三□兀C」或工D.看或2兀

63633

22

解：当机+8>0时，双曲线S：工一=1的离心率为2,

mm+8

可得£=

a

解得〃?=4,所以双曲线的渐近线方程为：后土y=0,

兀

双曲线S的两条渐近线的夹角为：—.

22

当m+8V0时，双曲线S：=1的离心率为2,

mm+8

可得£•=-8-2m=2,

-8-m

22

解得〃--12,所以双曲线七_金=0的渐近线方程为:=0,

双曲线S的两条渐近线的夹角为：-y.

故选：B.

TT

6.已知二|=1,市=2,且之与式的夹角为则覆->/5沼=（）

0

A.V?B.2&C.VWD.719

TT

解：,/1软1=1,lfcj=2，且&与b的夹角为三—,

□

a■b=1x2义

・♦・□倔f2-273-a-b+3b2=1-2ax历3X22=7,

故心-后="

故选：A.

7.已知点尸在圆C：（x-2）2+。，+1）2=［上，直线/：3x+4y=12与两坐标轴的交点分

别为M,N,则△PMN的面积的最大值是（）

17

A.15B.8D.9

Vc.~2

解：如图,

|6-4-12I

圆C的圆心(2,-1)至!]直线3x+4y=12的距离3=~°=2.

V3z+r

则圆C上的点P到直线/的距离的最大值为3.

又直线/：3x+4)，=12与两坐标轴交点分别为M(4,0),N(0,3),

，|MN=5.

XAMN面积的最大值为S==X5X3=学.

22

故选：A.

8.已知在AABC角A、8、C的对边分别是a、b、c,且〃=4,b=3,c=2.则△ABC的

最大角的正弦值是()

B•隼C.邛口.零

解：最大角是A,根据余弦定理:9+4-16」，且(0,n)

2bc2X3X24

•**sinA=Vl-cos2A二

故选：D.

9.已知/(x)=J^inxcosx+siMx-/(xG[0,,则/(%)的值域是()

A.[-y,y]B.[-1,1]C.[-X1]D.L-l,

解：f(x)=2Z^in2x+lcos2x_X=J^in2x-lcos2x=sin(2x-?),

222226

八兀兀「兀5兀17T1

VXGIOJ-?T,2x-e-——，-~~]**•sin(2.x--)G[--91],

66662

：.f(x)的值域为[-/，1].

故选：C.

10.如图，已知底面边长为"的正四棱锥P-ABCD的侧棱长为2”，其截面PAC的面积为

8曲，则正四棱锥P-ABC。的高是()

A.旧B.2«14C.477

解：由题意可知，PA=PC=2a,AC=&a，

所以△PAC的面积S蒋•AOh-^-•V2aaa2»

又截面PAC的面积为877，

所以李@2=80，解得。=4,

所以正四棱锥尸-ABCD的高即为△"(?的高h=/X4=2g.

故选：B.

11.已知命题p：3x6R,x-10>lgx,命题4：V.rGR,标〉今则()

A."pV/'是假命题B.“pAq”是真命题

C."pV「q”是假命题D."pA「4”是真命题

解：命题〃：3xGR,x-}0^>lgxf当x=100时，不等式成立，故〃为真命题；

命题0VxGR,当X=-1时，不等式不成立，故q为假命题：

故："pV/'是真命题，“pAq”是假命题，“pLq”是真命题，“pLq”是真命

题.

故选：D.

12.设函数f(x)在R上可导，其导函数为/(x)且函数y=(1-x)/(x)的图象如图所

示，则下列结论一定成立的是()

y

-A-]A2\#

A.函数/(x)的极大值是/(2),极小值是/(I)

B.函数f(x)的极大值是/(-2),极小值是/(I)

C.函数/(x)的极大值是/(2),极小值是/(-2)

D.函数f(x)的极大值是/(-2),极小值是f(2)

解：由函数的图象可知，f(-2)=0,/(2)=0,

并且当xV-2时，/(x)>0,

当(x)<0,

函数/(x)有极大值/(-2).

又当1cx<2时，，(%)<0,

当x>2时，f(x)>0,

故函数/(x)有极小值/(2).

故选：D.

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卷中相应的横线上)

13.若抛物线的准线方程为y=2,则该抛物线的标准方程是F=-8y.

解：由抛物线的准线方程为)，=2,可知抛物线是焦点在y轴负半轴上的抛物线，

设其方程为/=-2py(p>0),

则其准线方程为产步2,得P=4.

...该抛物线的标准方程是N=-8y.

故答案为：x2=-8y.

14.若aeR,i为虚数单位，|2+争=4,则a=_±2«_.

解：因为|2仔=|2+^r|=|2-ai|=4,

所以#22+(-a)2=4,解得a=±2«.

故答案为：士2炳.

5x1

15.设函数/(x)=<,若/(/(当)=8,则nt=1

X

L2,X>1'5

5x-m,]

解：根据题意，函数/(x)=\'、，

2X,x>l

AA

则/(心)=5X—-m=4-tn,

55

4

当机<3时，4-"z21,fCf(—))=/(4-m)=24'/w=8,解可得m=1,符合题意，

5

4,,

当相>3时，4-m<1,f(f(—))=f(4-m)=5(4-m)-m=20-6〃?=8,解可得

5

m=2,不符合题意，

综合可得：〃?=1,

故答案为：1

16.已知函数/（X）=N+ox+b有两个零点羽、xi,且-1<加V0<X2<2,则z=〃-2〃的取

值范围为[-2,3].

f（-1）=-a+b+l>0

解：由题意可得，f（0）=b<0,

f（2）=2a+b+4>0

由不等式组作出可行域如图,

。,解得a=-l

联立，-a+b+l=

2a+b+4=0b=-2'

作出直线。-26=0,由图可知，平移直线至（-1,-2）时，z=a-2b有最大值为3；

至（-2,0）时，z=〃-2b有最小值为-2.

・・.z=a-2b的取值范围为[-2,3],

故答案为：[-2,3].

三、解答题（本大题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第

17〜21题为必考题：第22、23题为选考题，考生根据要求作答。)

17.已知｛“”｝为等差数列，各项都为正数的等比数列｛儿｝的前〃项和为S”且"=3,S3=

39,a\—b2-7,。40=方4-1.

(I)求｛〃〃｝、｛d｝的通项公式；

(II)求和。1+2。2+2〃3+......+2%+。肝1.

解：(I)设等差数列｛如｝的公差为d,等比数列仍〃｝的公比为必q>0,

由方=3,S3=39,a\=bi~7,。40=d-1,可得3+3q+3q2=39,a\=3q-7,a\+39d=3q3

-1,

解得q=3,d=2,ai=2,

贝lj%=2+2(M-1)=2〃；乩=3・3〃i=33〃€N*；

。。+功+。〃+。。+。"+小+

(II)1+2«2+23+.......1=2(0+2+3+.......1)-a\-an+\

=2*—(H+1)(2+2〃+2)-2-2(〃+1)=2/+4〃.

2

18.已知正四面体ABC。，M、N分别在棱A。、A8上，且AM=Lw£>,AN^—AB,P为

23

棱AC上任意一点(P不与A重合).

(I)求证：直线MN〃平面80户；

(II)若正四面体ABCD的各棱长均为60cm.求三棱锥M-BDC的体积.

解：(I)证明：由可得点M在A。上，则有41/=斗。,

23

又AN=LB,所以MN//DB,

3

又平面8Z)P,BDc^jEfBDP,所以MN〃平面BDP；

(II)设G为底面△A8C的重心，。为4c的中点，如图所示,

贝"BQ=^"X60=30A/1c7"，GS=-1-BQ=20V3C7W)

x60=40C7n>

所以GD=7602-(20V3)2=20V6C/M，

由(I)可知MN〃DB,且MNC平面。BC,OBu平面。BC,故MN〃平面OBC,

所以点M与点N到平面BDC的距离相等,

所以三棱锥M-BDC的体积与三棱锥N-BDC的体积相等,

又三棱锥N-BDC的体积与三棱锥D-BNC的体积相等,

所以VM-BDC=VD-BNC卷"SABNC

X(yX60X40x^-)X20V6=12000V2cm3-

所以三棱锥M-BDC的体积为12000&cm3・

19.西安市某街道办为了绿植街道两边的绿化带，购进了1000株树苗，这批树苗最矮2米,

最高2.5米，枝树苗高度绘制成如图频率分布直方图（如图）.

（I）试估计这批树苗高度的中位数;

（II）现按分层抽样方法，从高度在［2.30,2.50］的树苗中任取6株树苗，从这6株树苗

中任选3株，求3株树苗中至少有一株树苗高度在［2.40,2.50］的概率.

频率

丁组距

2.02,102.202.302402.50

解：（I）由频率分布直方图得：

［2.0,2.2）的频率为：（1+3.5）X0.1=0.45,

［2.2,2.3）的频率为：2.5X0.1=0.25,

估计这批树苗高度的中位数为:

2।10.5~0.45

XQ.1=2.12.

,0.25

（II）按分层抽样方法，从高度在⑵30,2.50］的树苗中任取6株树苗,

9

则［2.30,2.40)中抽取：6义仁~=4株，

2+1

［2.40,2.50)中抽取：6X」;=2株，

2+1

从这6株树苗中任选3株，

基本事件总数〃=或=20，

3株树苗中至少有一株树苗高度在［2.40,2.50］包含的基本事件个数：

田+C：C；=16,

.♦•3株树苗中至少有一株树苗高度在［2.40,2.50］的概率P=—=-^-=4-

n205

22

20.已知椭圆C：三了f=l(a>b>0),Q、份分别为椭圆C的左、右焦点，P为椭圆

C上的任一点，且IPF2I的最大值和最小值分别为3和1,过B的直线为I.

(I)求椭圆C的方程：

(II)设直线/与椭圆C交于A、B两点,求△ABFi的面积的最大值.

解：(I)由椭圆的性质可知，［a+c=3,解得〃=2,。=1,

(a-c=1

h2=a2-c2=3,

22

所以椭圆方程为工久=1,

43

(II)由题意分析可知直线I的斜率不能为零，设A(xi,yi),B(X2,”)，l的方程

为x=my+[,

x=my+l

联立方程<22，得(3/772+4)y2+6my-9=0,

I431

△=36切2+36(3次2+4)>0,

6m-9

"产2=丁"32=W，

2

，Iy!-y2I=V(y1+y2)-4yiy2^

1________

=12.=[2,91

(3m2+4)29(m+1)+~5+6’

mJ+l

所以当且仅当m=0时取到最大值3,

X2X

SAABF.4-Clyl-y20,

即三角形A8F1面积的最大值为3.

21.已知函数/(x)=bvclnlx.

(1)求曲线y=/(无)在点(1,/(I))处的切线方程；

(2)设6(x)=/(x)-1,求证：h(x)在［1,+8)上有唯一零点.

解：(1)由/(x)=lnxln2x,得/(x)=^n^x-^^nx,

XX

：.f(1)=ln2,又/(I)=0,

，曲线y=/(x)在点(1,/(I))处的切线方程为〉=>2(x-1)；

证明：(2)h(x)=f(x)-l=lnxln2x-1,

h'(x)=ln2x+lnx=^^u>0),

XX

由〃'(x)>0,得加2f>0,即2x2>l,...x〉返，

2

.•.当xe(0,返)时，h'(x)<0,当xe(返，+8)时，h1(x)>0,

22

则〃(x)在(0,返)上单调递减，在(返，+8)上单调递增，

22

：.h(x)在［1,+8)上单调递增，

又h(1)=-1<0,当xf+8时，h(x)—+°o,

：.h(x)在［1,+8)上有唯一零点.

(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果