2-1 等式性质与不等式性质高阶（人教A版2019必修第一册）解析版

2.1等式性质与不等式性质1．下列说法错误的是（

）A．“若，则”的逆否命题是“若，则”B．“”是“”的充分不必要条件C．“，”的否定是“，”D．若“”为假命题，则均为假命题1．D【分析】根据逆否命题的定义、集合间的关系、全称命题的否定、为假命题的定义，对选项进行一一验证，即可得答案.【详解】对A，根据逆否命题的定义可知命题正确，故A正确；对B，若，则或，所以“”是“”的充分不必要条件，故B正确；对C，因为全称命题的否定是特称命题，且将结论否定，故C正确；对D，若“”为假命题，则、中只要有一个为假命题，故D错误.故选：D.【点睛】本题考查命题真假性的判断，考查对概念的理解与应用，属于基础题.2．已知命题，，则为（

）A．， B．，C．， D．，2．C【分析】根据特称命题的否定是全称命题可得出答案.【详解】由于特称命题的否定是全称命题，故命题，的否定是：，.故选：C.【点睛】本题考查特称命题的否定，意在考查学生的推断能力，属于基础题.3．命题“∀x∈N*，x2∈N*且x2≥x”的否定形式是（）A．,且 B．,或C．,且 D．,或3．D【分析】根据全称命题的否定是特称命题，准确改写，即可求解．【详解】由题意，根据命题的全称命题，则否定是特称命题，可得命题：“且”的否定为“或”.故选D．【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定，结合全称命题的否定是特称命题是解决本题的关键，属于基础题．4．下列说法正确的是（

）A．若，则B．命题“每一个素数都是奇数”的否定是“每一个素数都不是奇数”C．若是的必要不充分条件，则是的充分不必要条件D．若命题：对角线相等的四边形是矩形，则：对角线不相等的四边形不是矩形4．C【分析】取特值法判断A；利用全称命题的否定为特称命题判断B；利用充分条件必要条件的定义判断C；利用命题的否定判断D.【详解】对于A，取特值法判断，若，满足，但，故A错误；对于B，全称命题的否定为特称命题，所以命题“每一个素数都是奇数”的否定是“有的素数不是奇数”，故B错误；对于C，若是的必要不充分条件，可知是真命题，是假命题，即是真命题，是假命题，则是的充分不必要条件，故C正确；对于D，为命题的否定，只否结论，不否条件，故：对角线相等的四边形不是矩形，故D错误；故选：C5．下列说法错误的是（

）A．命题“，”，则：“，”B．已知a，，“且”是“”的充分而不必要条件C．“”是“”的充要条件D．若p是q的充分不必要条件，则q是p的必要不充分条件5．C【分析】根据充分条件，必要条件，全称与特称命题的否定依次讨论各选项即可得答案.【详解】解：对于A选项，命题p：“，”，则，：“，”满足命题的否定形式，所以A正确；对于B选项，已知a，，“且”能够推出“，“”不能推出“且”，所以B正确；对于C选项，时，成立，反之，时，或，所以C不正确；对于D选项，若p是q的充分不必要条件，则q是p的必要不充分条件，满足充分与必要条件的定义，所以D正确．故选：C．6．已知下列命题：①命题“”的否定是“”；②“”是“”的充分不必要条件；③“若，则且”的逆否命题为真命题；④已知为两个命题，若“”为假命题，则“”为真命题．其中真命题的个数为（

）A．3个 B．2个 C．1个 D．06．C【分析】根据特称命题的否定得到①错误，“”是“”的必要不充分条件，②错误，判断原命题为假得到③错误，判断均为假命题得到④正确，得到答案.【详解】命题“”的否定是“”，①错误；“”是“”的必要不充分条件，②错误；“若，则且”为假命题，故逆否命题为假命题，③错误；若“”为假命题，则均为假命题，故“”为真命题，④正确.故选：C.7．下列命题的否定为假命题的是（

）A．对任意的，B．所有的正方形都是矩形C．存在D．至少有一个实数x，使7．ABD【分析】根据全称命题以及特称命题的否定，即可写出每个选项中命题的否定，继而判断真假.【详解】A中命题的否定：存在，由于，故该命题是假命题．B中命题的否定：至少存在一个正方形不是矩形，是假命题．C中命题的否定：对任意的，由于，该命题是真命题．D中命题的否定：对任意的，因为时，，故该命题是假命题．故选：ABD8．下面四个结论正确的是（

）A．，若，则．B．命题“”的否定是“C．“”是“”的必要而不充分条件．D．“是关于x的方程有一正一负根的充要条件．8．BD【分析】举特值判断A；根据特称命题的否定判断B，根据充分条件和必要条件的定义进行判断C、D作答．【详解】对于A，取，满足，而，A不正确；对于B，存在量词命题的否定是全称量词命题，则“”的否定是“”，B正确；对于C，取，满足，而，即不能推出，反之，取，满足，而，即不能推出，所以“”是“”的既不充分又不必要条件，C不正确；对于D，当方程有一正一负根时，由方程两根之积可得，反之，当时，，方程有两个根，并且两根之积为负数，两根异号，所以“”是“关于x的方程有一正一负根”的充要条件，D正确．故选：BD9．已知集合，集合，且为假命题，则实数的取值范围为.9．【分析】先利用假命题否定为真命题得到集合和集合的关系，再分和两种情况列出相应的不等式组即可得到答案.【详解】因为为假命题，所以为真命题，即，又因为集合，集合，所以当时，，即，此时满足；当时，或，解得，综上所述，的取值范围为.故答案为：.10．已知a是常数，命题p：存在实数x，使得．若命题p是假命题，则实数a的范围为．10．【分析】写出命题p的否定，随后可求出a的范围．【详解】命题p：存在实数x使得，为假命题，所以，它的否定：对任意实数x，，为真命题，所以对任意实数x都成立，即所以实数a的范围是.故答案为：11．已知集合，集合，如果命题“”为假命题，则实数的取值范围为.11．【分析】根据题意，将命题等价转化为命题“”为真命题，根据命题的真假得出关于的不等式恒成立，进而求解即可.【详解】因为命题“”为假命题，所以命题“”为真命题，因为集合，当时，集合，符合；当时，因为，所以由对，可得对任意的恒成立，所以，综上所述：实数的取值范围为，故答案为：.12．已知命题P：“对任意，存在，使得”为假，则实数m的取值范围是．12．.【分析】根据含量词命题的否定得到真命题，转化为，不等式求解即可.【详解】“对任意，存在，使得”为假，则“存在，对任意的，使得”为真，即，故，解得.故答案为：.13．命题“，”的否定是；设，，分别是的三条边，且．我们知道为直角三角形，那么．反过来，如果，那么为直角三角形．由此可知，为直角三角形的充要条件是．请利用边长，，给出为锐角三角形的一个充要条件是．13．，【分析】根据全称量词命题的否定直接写出即可；根据勾股定理，充要条件及反证法得出为锐角三角形的一个充要条件是.【详解】解：根据全称量词命题的否定为存在量词命题可知，命题“，”的否定是，；设，，是的三条边，且，为锐角三角形的一个充要条件是.证明如下：必要性：在中，是锐角，过点作于点，如下图：根据图象可知，即，可得证.充分性：在中，，所以不是直角.假设是钝角，如下图：过点作，交延长线于点，则，即，，与矛盾.故为锐角，即为锐角三角形.【点睛】本题考查命题的否定的写法与锐角三角形的充要条件证明，属于中档题.充要条件的证明需注意一下几点：充要条件的证明要从必要性和充分性两个方面考查；必要时可以用反证法证明.14．命题p：存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根，则“非p”形式的命题是，命题非p是(填“真命题”或“假命题”)．14．对任意实数m，方程x2＋mx＋1＝0没有实数根假命题【解析】由命题p是特称命题，直接写出命题非p，先判断出命题p为真命题，从而可判断命题非p是假命题.【详解】命题p：存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根，是特称命题.所以命题非p：对任意实数m，方程x2＋mx＋1＝0没有实数根在二次方程x2＋mx＋1＝0中，，显然存在实数m，使得成立.所以命题p为真命题，则命题非p是假命题.故答案为：对任意实数m，方程x2＋mx＋1＝0没有实数根；

假命题15．已知命题，，命题，.若p真、q假，求实数m的取值范围.15．【解析】命题p是真命题，再利用参变分离求恒成立问题得，再由为真，解一元二次方程得，从而求得的范围.【详解】若命题p是真命题，则对恒成立，即对恒成立.当时，，所以，即.若命题q是假命题，则，使得为真命题.即关于x的方程有正实数根.当时，有正实数根；当时；依题意得，即，设两根为、，①当方程有个两正实数根时，，且，解得，此时；②当方程有一正一负两个实数根时，，解得，此时；综上所述，.因为p真、q假，所以实数m的取值范围是.【点睛】本题考查全称命题和特称命题的真假求参数、一元二次方程根的分布，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.16．已知二次函数和一次函数，其中a，b，c满足且（）；（1）求证：两函数的图像交于不同的两点A，B；（2）求的范围；（3）求线段在x轴上的射影的长的取值范围；16．（1）见解析；（2）；（3）；【分析】（1）联立两个函数的方程得．所以．，，，．，即两函数的图象交于不同的两点.（2），，，，，，解得的取值范围．（3）由题意得，由（2）知，再根据二次函数的性质求得，故【详解】解：（1）由消去，得．．，，，．，，即两函数的图象交于不同的两点．（2），，，，，，解得．（2）设方程的两根为和，则，．．的对称轴方程是，且当时，为减函数，，故．【点睛】考查一元二次方程解的情况和判别式的关系，韦达定理，以及完全平方式，以及根据二次函数的单调性求二次函数的值域，属于难题．17．对于四个正数x､y､z､w，如果，那么称是的“下位序列”.(1)对于2，3，7，11，试求的“下位序列”；(2)设a､b､c､d均为正数，且是的“下位序列”，试判断：，，之间的大小关系，并说明理由；(3)设正整数n满足条件：对集合内的每个，总存在正整数k，使得是的“下位序列”，且是的“下位序列”，求：正整数n的最小值.17．(1)(2)，理由见解析(3)4035【分析