高中化高三大题练习解题8概率与统计第36练二项式定理的两类重点题型

高中化学教学同步课件专题8概率与统计第36练二项式定理的两类重点题型题型分析·高考展望二项式定理的应用，是理科高考的考点之一，考查频率较高，一般为选择题或填空题，题目难度不大，为低、中档题.主要考查两类题型，一是求展开式的指定项，二是求各项和或系数和.只要掌握两类题型的常规解法，该部分题目就能会做.常考题型精析高考题型精练题型一求展开项题型二赋值法求系数之和常考题型精析题型一求展开项例1

(1)(2015·课标全国Ⅰ)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为(

)A.10 B.20

C.30

D.60解析方法一利用二项展开式的通项公式求解.(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，方法二利用组合知识求解.(x2＋x＋y)5为5个x2＋x＋y之积，其中有两个取y，两个取x2，一个取x即可，答案C

(2)(2014·课标全国Ⅰ)(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为________.(用数字填写答案)－20点评应用通项公式要注意四点(1)Tk＋1是展开式中的第k＋1项，而不是第k项；(2)公式中a，b的指数和为n，且a，b不能随便颠倒位置；(3)要将通项中的系数和字母分离开，以便于解决问题；(4)对二项式(a－b)n展开式的通项公式要特别注意符号问题.变式训练1

(1)(2015·重庆)

的展开式中x8的系数是________.(用数字作答)(2)使

(n∈N*)的展开式中含有常数项的最小的n为(

)A.4

B.5

C.6

D.7B题型二赋值法求系数之和例2

在(2x－3y)10的展开式中，求：(1)二项式系数的和；(2)各项系数的和；(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；(4)奇数项系数和与偶数项系数和；(5)x的奇次项系数和与x的偶次项系数和.解设(2x－3y)10＝a0x10＋a1x9y＋a2x8y2＋…＋a10y10，(*)各项系数和为a0＋a1＋…＋a10，奇数项系数和为a0＋a2＋…＋a10，偶数项系数和为a1＋a3＋a5＋…＋a9，x的奇次项系数和为a1＋a3＋a5＋…＋a9，x的偶次项系数和为a0＋a2＋a4＋…＋a10.由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和.(4)令x＝y＝1，得到a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1，

①令x＝1，y＝－1(或x＝－1，y＝1)，得a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝510，

②①＋②得2(a0＋a2＋…＋a10)＝1＋510，①－②得2(a1＋a3＋…＋a9)＝1－510，点评(1)“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax＋b)n、(ax2＋bx＋c)m(a、b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可.(2)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝

，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝

.变式训练2

(1)(2015·课标全国Ⅱ)(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝____________.解析设(a＋x)(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，令x＝1，得16(a＋1)＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，

①令x＝－1，得0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5. ②①－②，得16(a＋1)＝2(a1＋a3＋a5)，即展开式中x的奇数次幂项的系数之和为a1＋a3＋a5＝8(a＋1)，所以8(a＋1)＝32，解得a＝3.3(2)若(1＋2x)2n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2n－1x2n－1＋a2nx2n，则a1＋a3＋…＋a2n－1＝________.解析令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a2n＝32n；

①令x＝－1，得a0－a1＋a2－…－a2n－1＋a2n＝1. ②高考题型精练1234567891011121.在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)等于(

)A.45B.60C.120D.210C高考题型精练1234567891011122.(2015·陕西)二项式(x＋1)n(n∈N*)的展开式中x2的系数为15，则n等于(

)A.4 B.5 C.6 D.7C高考题型精练1234567891011123.(2014·安徽)设a≠0，n是大于1的自然数，

n的展开式为a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn.若点Ai(i，ai)，(i＝0,1,2)的位置如图所示，则a＝________.解析由题意知A0(0,1)，A1(1,3)，A2(2,4).故a0＝1，a1＝3，a2＝4.高考题型精练123456789101112答案3高考题型精练1234567891011124.设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a＝7b，则m等于(

)A.5B.6C.7D.8高考题型精练123456789101112答案B高考题型精练1234567891011125.设

n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M－N＝240，则展开式中x的系数为(

)A.－150 B.150 C.300 D.－300高考题型精练123456789101112N＝2n⇒4n－2n＝240⇒2n＝16⇒n＝4，答案B高考题型精练1234567891011126.设a∈Z，且0≤a<13，若512016＋a能被13整除，则a的值为(

)A.0 B.1 C.11 D.12解析512016＋a＝(52－1)2016＋a高考题型精练123456789101112因为52能被13整除，即a＋1能被13整除，因为0≤a<13，所以a＝12.答案D高考题型精练1234567891011127.若(1＋x)(2－x)2015＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2015x2015＋a2016x2016，则a2＋a4＋…＋a2014＋a2016等于(

)A.2－22011

B.2－22012C.1－22015

D.1－22016解析采用赋值法，令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a2015＋

a2016＝2，令x＝－1，得a0－a1＋a2－…－a2015＋a2016＝0，高考题型精练123456789101112把两式相加，得2(a0＋a2＋…＋a2016)＝2，所以a0＋a2＋…＋a2016＝1，又令x＝0，得a0＝22015，所以a2＋a4＋…＋a2014＋a2016＝1－22015.故选C.答案C高考题型精练123456789101112A.(－∞，5)

B.(－∞，5]C.(5，＋∞) D.[5，＋∞)高考题型精练123456789101112故实数m的取值范围是m≥5.答案D高考题型精练123456789101112高考题型精练123456789101112

高考题型精练123456789101112令12－3k＝3，得k＝3，由Ca6－3b3＝20得ab＝1，答案2高考题型精练123456789101112

高考题型精练123456789101112(1)令x＝1得展开式中所有项的系数之和为(1＋2)7＝37＝2187.所有项的二项式系数之和为27＝128.高考题型精练123456789101112于是当k＝0,2,4,6时，对应项为有理项，高考题型精练123456789101112(1)若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；解得n＝7或n＝14.当n＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5.