大一上数分课堂课件第二章

§2.3

函数1一、函数的定义定义域与对应法则.2.函数的两要素y

=

1

-

x

2

,D

:[-1,1];,211

-

x

2y

=D

:

(-1,1).1.

f

: X

fi

Y

的映射,

如果

X,

Y

˝

R,

则称

f

为函数.当x0

˛

D时,称f

(x0

)为函数在点x0处的函数值.约定:

定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值.⒊函数的表示方法⑴

公式法例如,

y

=

1

-

x

23(2)

列表法(3)

隐函数(4)

参数法x1x2x3x4y1y2y3y4F

(

x,

y)

=

0

y

=

h

(

t

)

x

=

g

(

t

)x2

+

y2

=

1

y

=

b

sin

q

x

=

a

cos

q(5)

图像法y

=

f

(

x)xy40

2x

>

0x

-

1,

x

£

0例如,

f

(

x)

=

2

x

-

1,y

=

2

x

-

15y

=

x

2

-

1在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的式子来表示的函数,称为分段函数.⑹

分段函数二、函数的运算D(

g)

=

Dg

.⒈

四则运算D(

f

)

=

Df

,和

f

+

g

: (

f

+

g)(

x)

=

f

(

x)

+

g(

x),

x

˛

Df

Dg

.差

f

-

g

: (

f

-

g)(

x)

=

f

(

x)

-

g(

x),

x

˛

Df

Dg

.积

f g

: (

f

g)(

x)

=

f

(

x)

g(

x),

x

˛

Df

Dg

.g6

Dg

,

g(

x)

„

0.商

f

: (

f

)(

x)

=

f

(

x)

,

x

˛

Dg g(

x)

f⒉复合运算y

=

f

g(

x)

=

f

[

g(

x)]设y

=u,

u

=

1

-

x

2

,

y

=

1

-

x

2设函数

y

=

f

(u)的定义域Df

,

而函数7

Wg

„f

,

则称函数u

=

g(

x)

的值域为Wg

,

若Dfy

=f

[g(x)]为x的复合函数.定义:x

‹

自变量,

u

‹

中间变量,y

‹因变量,注意:

1.

不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;例如

y

=

arcsin

u,

u

=

2

+

x2

;

y

„

arcsin(2

+

x

2

)2.

复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成(有限次).例如

y

=

cot

x

,

y

=

u,228u

=

cot

v,

v

=

x

.(f

g

h有结合率无交换率)1．函数的有界性若X

˝

D,$M

>0,"x

˛

X

,有f

(x)£

M

成立,9三、函数的基本特征<x2时,则称函数f

(x)在区间I上是单调增加(减少)的.则称函数f

(x)在X上有界.否则称无界.2．函数的单调性如果对于区间

I

上任意两点

x1及

x2

,

当

x1恒有f

(x1

)£

f

(x2

),(或f

(x1

)‡f

(x2

))3．函数的奇偶性y10xf

(-

x)y

=

f

(

x)-x

o

x偶函数f

(

x)设D关于原点对称,

对于"

x

˛

D,

有f

(-x)=f

(x),

称f

(x)为偶函数;设D关于原点对称,

对于"

x

˛

D,

有f

(-

x)

=

-

f

(

x),称f

(x)为奇函数;f

(-

x)奇函数y11xf

(

x)o

x-xy

=

f

(

x)4．函数的周期性设函数f

(

x)的定义域为D,

如果存在一个不为零的数l,

使得对于任一x

˛

D,(

x–

l

)

˛

D.

则称f

(

x)为周期函数,

l称为f

(

x)的周期.

且f

(

x

+

l

)

=

f

(

x)恒成立.（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.2-

ll22-

3l3l212⑴13}四、反函数f

是X

fi

Y一一对应,y

=

f

(

x)

fi

x

=

f

-1

(

y),

x

˛

X

,

y

˛

Y

.f

f

-1

(

y)

=

y,

y

˛

Yf

-1

f

(

x)

=

x,

x

˛

X所以f

f

-1

,f

-1

f是恒等映射.⑵

反函数定理14若f在定义域X上严格单调增（减）,则必存在反函数f

-1

.f

-1定义域为f

(

X

),

且f

-1也单调增（减）.函数与其反函数的图形关于直线y

=x

对称.五、初等函数⒈基本初等函数幂

函

数“幂三反指对”1y

=

xa

(a

„

0)y

=

xa

«(a

>

0,

a

„

1)反三角函数y

=

arcsin

x对数函数三角函数y

=

sin

x指数函数y

=

a

xy=

e

xy

=

log

a

xy

=

ln

x151

+

x

2

)16y

=

ln(

x

+2.初等函数由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.1

+

2

x

sin

xy

=

arccos

x

,(1)

符号函数y

=

sgn

x

=

0

1

当x

>0

当x

=0

-1

当x

<0xy1o-1x

=

sgn

x

x17⒊非初等函数举例(2)

取整函数y=[x]-2-3-4x18阶梯曲线[x]表示不超过x

的最大整数y432-4

-3

-2

-1

1o

-11

2

3

4

5

当x是有理数时当x是无理数时

0y

=

D(

x)

=

1有理数点19无理数点•xy1o(3)

狄利克雷函数(4) Riemann

函数

0

,

x

˛

R

\

Q.qR(

x)

=

q

1

,

x

=p

,整数p,q互质;

1

分母为1的有理数（整数）分母为2的有理数123

1

分母为3的有理数分母越大其值越小，点越密所有无理数取值都是零20⒋双曲函数和反双曲函数22x

+

1)shx

=

«e

x

-

e

-

xx

˛

R22x

-

1)«

arcchx

=

ln(

x

+chx

=e

x

+

e

-

xx

˛

[1,+¥

)thx

=

e

x

+

e

-

x21e

x

-

e

-

x«

arcthx

=

1

ln

1

+

xe

1

-

xx

˛

(-1,1)双曲正弦 反双曲正弦双曲余弦arcshx=

ln(

x

+反双曲余弦双曲正切反双曲正切例12

,x

-

1,

x

‡

0

x

+

2,

x

<

0,

j(

x)

=x

‡

1

e

x

,

x

<

1

求f

[j(x)].设f

(x)=

x,解

j(

x),j(

x)

<

1j(

x)

‡

1f

[j(

x)]

=

ej(

x

)

,10当j(x)<1时,或x

<0,或x

‡0,j(

x)

=

x

+

2

<

1,j(

x)

=

x

2

-

1

<

1,x

<

-1;0

£

x

<

2;2220当j(x)‡1时,或x

<0,或x

‡0,j(

x)

=

x

+

2

‡

1,j(

x)