高数课件第七章

第六阶

可降阶的高阶微分方程一、可降阶的高阶微分方程y(n)=f

(x)型的微分方程y¢=f

(x,y¢)型的微分方程.y¢=f

(y,y¢)型的微分方程二、恰当导数方程（补充）三、小结一、可降阶的高阶微分方程【定义】二阶及二阶以上的微分方程统称为 高阶微分方程.【求解思路】降阶——通过变量代换等其它形式，化为已知其求解方法的较低阶的微分方程求解.3221212+

C x

+

CC

xy

=

(-cos

x

+

C x

+

C

)dx

=

-sin

x

+

1.y(n)=f

(x)型的微分方程【特点】方程右端仅含有自变量x.【解法】连续积分n

次就可得到方程的通解.【例1】求方程y(3)=cos

x

的通解.【解】因为y(3)=cos

x

,所以,y¢=

cos

xdx

=

sin

x

+

C1

,y¢=

(sin

x

+

C1

)dx

=

-cos

x

+

C1

x

+

C2

,12.y¢=f

(x,y¢)型的微分方程.【方程特点】方程右端不显含未知函数y

.【解法】令y¢=p(x),则y¢=p¢(x)代入方程得p¢(x)=f

(x,p(x)).这是一个关于自变量x和未知函数的一阶微分方程,p(

x)若可以求出其通解p=j

(x,C1

),则y¢=j

(x,C1

)再积分一次就能得原方程的通解.的通解.【例2】求方程2

xy¢y¢=1

+(y¢)2【解】因2

xy¢y¢=1

+(y¢)2

不显含未知函数y,则令y¢=p(x),故y¢(x)=p¢(x)，将其代入所给方程,得2

xp¢p

=

1

+

p2

,分离变量得2

pdp

=

dx

,1

+

p2

x两边积分ln(1

+p2

)=ln

|

x

|

+ln

C

,得1

+

p2

=

C

x

.1即

p=

–

C1

x

-

1也即

y¢=

–

C1

x

-

1.1y

=

–

(C1

x

-

1)2

dx则为所求方程的通解.3C13(C1

x

-

1)2

+

C22=

–(r

:密度,s

:弧长)弧段重力大小

按静力平衡条件,有【例3】设有一均匀,

柔软的绳索,

两端固定,

绳索仅受重力作用而下垂,

问该绳索的平衡状态是怎样的曲线

?atanq

=

1

sMgsoyxr

g(其中a

=

H

)y

=1

+

y¢2

dxx0

1a故有1

+

y¢2ay¢=

1Tq【解】取坐标系如图.考察最低点A

到任意点M

(x,y)弧段的受力情况:A

点受水平张力HM

点受切向张力T两式相除得HAy¢=

1

1

+

y¢2a设

OA

=

a,

则得初值问题:d

x令y

=p(x),则y¢=d

p

,原方程化为a

rsh

p

=

ln(

p

+

1

+

p2

)1a两端积分得

a

r

sh

p

=

x

+

C

,1得C

=

0,则有两端积分得故所求绳索的形状为得C2

=

0y

=

a

ch

x

=

a

(

exa

+

e-

xa

)a

2Mgsyo

xTqHa

A悬链线3.y¢=f

(y,y¢)型的微分方程【方程特点】右端不显含自变量x

.【解法】求解这类方程可令y¢=p(y)则y¢=

dy

=

dp(

y) dy

=

dp

p,dx

dy

dx

dy于是,方程

y¢=

f

(

y,

y¢)可化为

p

dp

=

f

(

y,

p).dy这是关于y

和p的一阶微分方程,如能求出其解11p

=

j

(

y,C

),则可由dy

=

j

(

y,C

)用分离变量法即可求出原方程的通解.【例5】21求微分方程

yy

-

y

2

=

0

的通解dxd

y=

x

+

C

j

(

y,C

)

ln

|

y

|=

C1

x

+

C2【解Ⅰ】方程不显含自变量x则y¢=d

p

=d

p

d

y

=p

d

pdx

d

y

dx

d

y代入方程得两端积分得

ln

p

=

ln

y

+

ln

C1,

即p

=C1

y,(一阶线性齐次方程)故所求通解为C(C2

=

–e

2

)【解Ⅱ】yy

-

y

2

=

0两端同乘以不为0的因子1y2则有=

0y2yy

-

y

2即( )

=

0dx

yd

y

=

Cyy故积分y

=

Cy

ydy

=

Cdxln

|

y

|=

Cx

+

C1C

x

Cy

=

C1e

(C1

=

–e

1

)所以全微分方程的积分因子【特点】左端恰为某一函数F

(x,y,y

,

,y(n-1))dx对x的导数,

即

d

F

(

x,

y,

y¢,

,

y(

n-1)

)

=

0.【解法】

类似于全微分方程可降低一阶F

(

x,

y,

y

,

,

y(

n-1)

)

=

C

,再设法求解这个方程.二、恰当导数方程（补充）求方程

yy

+

y

2

=

0

的通解.【解】dx将方程写成

d

(

yy¢)

=

0,故有

yy

=

C1

,

即

ydy

=

C1dx,积分后得通解y2

=

C x

+

C

.1

2【注意】这一段技巧性较高,关键是配导数的方程.【例4】三、小结可降阶微分方程的解法

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