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2023年浙教版数学八年级上册4.2平面直角坐标系同步测试(培优版)
一、选择题(每题3分,共30分)
1.(2023七下·大同期末)已知点在轴的负半轴上,则点在().
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
【答案】A
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】∵P(m,0)在x轴负半轴上,∴m<0,∴-m>0,-m+1>0,∴点M(-m,-m+1)在第一象限;
故答案为:A.
【分析】根据x轴的负半轴上点的纵坐标等于零,横坐标小于零,得到m<0,根据不等式性质可以得到-m>0,-m+1>0,可以判断点M的象限.
2.(2023七下·顺平期末)若,则点在()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
【答案】D
【知识点】偶次幂的非负性;绝对值的非负性;点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解:由题意得,
a-4=0,b+3=0
解得:a=4,b=-3
故点M的坐标为(4,-3)
所以点M在第四象限。
故答案为:D.
【分析】根据绝对值、偶次方的非负性求出a、b的值,进而得到点M的坐标,再根据直角坐标系中点的坐标与位置的关系即可得出答案。
3.(2023七下·宣化期中)在平面直角坐标系中,点在第四象限,距离轴4个单位长度,距离轴3个单位长度,则点的坐标是()
A.B.C.D.
【答案】A
【知识点】点的坐标;点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】∵到距离轴4个单位长度
∴|y|=4
∴y=
∵距离轴3个单位长度
∴|x|=3
∴x=
∵点P在第四象限
∴x>0,y<0
∴x=3,y=-4
∴P(3,-4)
故答案为:A
【分析】根据在第四象限,可知,横坐标大于零,纵坐标小于零。注意点到x轴距离是纵坐标的绝对值,不要反了。
4.(2023七下·黔东南期末)已知直线平行于轴,若点M的坐标为,且点N到y轴的距离等于4,则点N的坐标是()
A.或B.或
C.或D.或
【答案】D
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】∵点M的坐标为,直线平行于轴,
∴设点N的坐标为(a,3),
∵点到y轴的距离等于4,
∴,
∴,
∴点N的坐标为或,
故答案为:D.
【分析】先设设点N的坐标为(a,3),再结合“点到y轴的距离等于4”,求出a的值,即可得到点N的坐标.
5.(2023八下·大同期末)如图,在平面直角坐标系中,已知点,,以点为圆心,长为半径画弧,交轴的正半轴于点,则点的横坐标为()
A.B.C.D.
【答案】A
【知识点】点的坐标;勾股定理
【解析】【解答】解:依题意,,
∵点
∴点的横坐标为
故答案为:A.
【分析】根据勾股定理,可求得AB的长度,进而可求得AC的长度,结合点A的坐标,可求得点C的坐标.
6.(2023七下·海淀期末)如图,点A,B,C,D,E,F,G为正方形网格图中的7个格点.建立平面直角坐标系,使点B,C的坐标分别为和,则上述7个点中在第二象限的点有()
A.4个B.3个C.2个D.1个
【答案】C
【知识点】点的坐标;点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解:如图,点A,B,C,D,E,F,G为正方形网格图中的7个格点.建立平面直角坐标系,使点B,C的坐标分别为和,则上述7个点中在第二象限的点有点A和点G,共有2个,
故答案为:C.
【分析】根据第二象限点的坐标特征求解即可。
7.(2023七下·赵县期末)如图,动点P按图中箭头所示方向运动,第1次从原点运动到点,第2次运动到点,第3次运动到点,…,按这样的运动规律,则第2023次运动到点()
A.B.C.D.
【答案】C
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解:依题意,第1次从原点运动到点(1,1),
第2次运动到点(2,0),
第3次运动到点(3,2),
第4次运动到点(4,0),
第5次运动到点(5,1),
第6次运动到点(6,0),
……
第4n次运动到点(4n,0),
第4n+1次运动到点(4n+1,1),
第4n+2次运动到点(4n+2,0),
第4n+3次运动到点(4n+3,2),
∵2023÷4=5053,
∴第2023次运动到点(2023,2),
故答案为:C.
【分析】先求得前几次的坐标,找到规律进而即可求解.
8.(2023七下·椒江期末)中国象棋中“马走日字”(“马”从两个小方格组成的“日”字的一角走到相对的另一对角,横着走竖着走都可以),如“马”从点出发,可到达A,B,C,D,E,F中任意一点,若“马”从点P出发连续走了n次“日”字后到达点,则n的最小值为()
A.6B.7C.8D.9
【答案】D
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解:如图,
当点P向右上方走“日”字时,n的最小值为9.
故答案为:D.
【分析】当点P向右上方走“日”字时,可得到n的最小值,画出图形即可.
9.对点(x,y)的一次操作变换记为p1(x,y),定义其变换法则如下:p1(x,y)=(x+y,x﹣y);且规定Pn(x,y)=P1(Pn﹣1(x,y))(n为大于1的整数).例如:p1(1,2)=(3,﹣1),p2(1,2)=p1(p1(1,2))=p1(3,﹣1)=(2,4),p3(1,2)=p1(p2(1,2))=p1(2,4)=(6,﹣2).则p2023(1,﹣1)=()
A.(0,21006)B.(21007,﹣21007)
C.(0,﹣21006)D.(21006,﹣21006)
【答案】B
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解:根据题意得:
P1(1,﹣1)=(0,2),
P2(1,﹣1)=(2,﹣2)
P3(1,﹣1)=(0,4),
P4(1,﹣1)=(4,﹣4)
P5(1,﹣1)=(0,8),
P6(1,﹣1)=(8,﹣8)
…
当n为偶数时,Pn(1,﹣1)=(2,﹣2),
则P2023(1,﹣1)=(21007,﹣21007);
故选B.
【分析】根据所给的已知条件,找出题目中的变化规律,得出当n为偶数时的坐标,即可求出P2023(1,﹣1)时的答案.
10.(2023七下·黄山期末)在平面直角坐标系中,下列说法:①若点在坐标轴上,则;②若为任意实数,则点一定在第一象限;③若点到轴的距离与到轴距离均为,则符合条件的点有个;④已知点,点,则轴.其中正确的是()
A.①④B.②③C.①③④D.①②③④
【答案】A
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解:①∵点A(a,b)在坐标轴上,
∴a=0或b=0,
∴ab=0,故①符合题意;
②∵m2≥0,
∴点(2,m2)在第一象限或x轴正半轴上,故②不符合题意;
③∵点P到x轴的距离与到y轴的距离均为2,
∴P点坐标为(2,2)或(2,-2)或(-2,2)或(-2,-2)
∴P点共有4个,故③不符合题意;
④∵点M(2,3),点N(-2,3),
∴M、N两点在y=3的直线上,
∴MN//x轴,故④符合题意;
综上所述正确的有:①④,
故答案为:A.
【分析】根据平面直角坐标系中点的坐标对每个说法一一判断即可。
二、填空题(每空3分,共21分)
11.(2023八下·东源期末)若点在平面直角坐标系的第二象限内,则x的取值范围是.
【答案】
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解:点在平面直角坐标系的第二象限内,
,解得,
.
故答案为:.
【分析】第二象限内的点的横坐标小于零,纵坐标大于零,以此列出不等式组,进而得到x的取值范围.
12.(2023七下·易县期末)已知点,,当点在第一、三象限的角平分线上时,点的坐标为;当轴时,.
【答案】;2
【知识点】点的坐标;点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解:
第一个空:∵点在第一、三象限的角平分线上时,
∴a+1=2a-3,
解得a=4,
∴点的坐标为;
第二个空:∵轴
∴2a-3=3,
解得a=3,
∴点P的坐标为(4,3),
∴2
故答案为:;2
【分析】第一个空:根据点在第一、三象限的角平分线上的坐标的特征即可列出方程,进而即可求解;第二个空:根据平行即可得到a的值,进而即可求解。
13.(2023七下·广宁期末)如果点P(x,y)的坐标满足x+y=xy,那么称点P为“美丽点”,若某个“美丽点”P到y轴的距离为2,则点P的坐标为.
【答案】(2,2)或(-2,)
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解:∵点P(x,y),且P点到y轴的距离为2,
∴|x|=2,
∴x=±2,
又∵x+y=xy,
∴2+y=2y或-2+y=-2y,
解得y=2或y=,
∴点P的坐标为(2,2)或(-2,).
故答案为:(2,2)或(-2,).
【分析】根据坐标平面内一点到y轴的距离等于该点横坐标的绝对值可求出x=±2,然后结合x+y=xy科求出y的值,从而求出点P的坐标.
14.(2023七下·宣化期末)已知点,,点是线段的中点,则,.在平面直角坐标系中有三个点,,,点关于的对称点为(即,,三点共线,且),关于的对称点为,关于的对称点为,按此规律继续以,,为对称点重复前面的操作,依次得到,,,则点的坐标是.
【答案】
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解:设点P1的坐标为(a,b).
根据题意,得
解得
所以,点P1的坐标为(2,-4).
同理可得P2(-4,2),P3(4,0),P4(-2,-2),P5(0,0),P6(0,2).
则点P至点P5为一个循环,即每6个点循环一次.
∵2023=337×6+2
∴点的坐标与点P1的坐标相同,
∴点的坐标是
故答案为:.
【分析】根据题意可求得点P1至点P6的坐标,观察规律,可知每6个点循环一次,即可求得点P2023的坐标与已知某个点的坐标相同.
15.(2023七下·丰满期末)如图,在平面直角坐标系中,直径为1个单位长度的圆从原点O出发,沿横轴向右滚动一周,圆上的一点由原点O到达点O',圆心由点M到达点M',则点M'对应的坐标是.
【答案】(π,)
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解:由图可知:M(0,),
根据题意可知,滚动过程中,圆心M的纵坐标不变,即为,
根据沿横轴向右滚动一周,则向右运动的距离为:πR=πx1=π,
即此时圆心M的向右运动的距离为π,
∴点M'对应的坐标是(π,),
故答案为:(π,).
【分析】根据题意先求出滚动过程中,圆心M的纵坐标不变,即为,再求出πR=πx1=π,最后求点的坐标即可。
16.(2023·温岭模拟)如图,在平面直角坐标系中,点A1的坐标为(1,0),以OA1为直角边作Rt△OA1A2,并使∠A1OA2=60°,再以OA2为直角边作Rt△OA2A3,并使∠A2OA3=60°,再以OA3为直角边作Rt△OA3A4,并使∠A3OA4=60°…按此规律进行下去,则点A2023的坐标为.
【答案】(﹣22023,22023)
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解:由题意得,
A1的坐标为(1,0),
A2的坐标为(1,),
A3的坐标为(﹣2,2),
A4的坐标为(﹣8,0),
A5的坐标为(﹣8,﹣8),
A6的坐标为(16,﹣16),
A7的坐标为(64,0),
…
由上可知,A点的方位是每6个循环,
与第一点方位相同的点在x正半轴上,其横坐标为2n﹣1,其纵坐标为0,
与第二点方位相同的点在第一象限内,其横坐标为2n﹣2,纵坐标为2n﹣2,
与第三点方位相同的点在第二象限内,其横坐标为﹣2n﹣2,纵坐标为2n﹣2,
与第四点方位相同的点在x负半轴上,其横坐标为﹣2n﹣1,纵坐标为0,
与第五点方位相同的点在第三象限内,其横坐标为﹣2n﹣2,纵坐标为﹣2n﹣2,
与第六点方位相同的点在第四象限内,其横坐标为2n﹣2,纵坐标为﹣2n﹣2,
∵2023÷6=336…3,
∴点A2023的方位与点A23的方位相同,在第二象限内,其横坐标为﹣2n﹣2=﹣22023,纵坐标为22023,
故答案为:(﹣22023,22023)
【分析】通过解直角三角形,依次求出A1,A2,A3,各点的坐标,从中发现A点的方位是每6个循环,分别求出这6个点的横、纵坐标,由2023÷6=336…3,可得点A2023的方位与点A23的方位相同,在第二象限内,从而求出结论即可.
三、解答题(共8题,共69分)
17.(2022八上·西湖期末)在平面直角坐标系中,已知点,m是任意实数.
(1)当时,点P在第几象限?
(2)当点P在第三象限时,求m的取值范围.
(3)判断命题“点P不可能在第一象限”的真假,并说明理由.
【答案】(1)解:当m=0时,点P坐标为(-3,5),
∴点P在第二象限;
(2)解:∵点P在第三象限,
∴,
解得:<m<3;
(3)解:“点P不可能在第一象限”是真命题,理由为:
当m-3>0时,m>3,
∴-2m<-6,即5-2m<-1<0,
∴点P在第四象限;
当m-3=0时,m=3,
∴5-2m=-1,即点P坐标为(0,-1),
∴点P在y轴的负半轴;
当m-3<0时,m<3,即-2m>-6,
∴5-2m>-1,
∴点P在第二象限或第三象限,
综上,点P不可能在第一象限,是真命题.
【知识点】解一元一次不等式组;点的坐标与象限的关系;不等式的性质
【解析】【分析】(1)当m=0时,点P的坐标为(-3,5),然后根据点的坐标与象限的关系进行判断;
(2)根据第三象限的点,横纵坐标均为负可得关于m的不等式组,求解即可;
(3)分m-3>0,m-3=0、m-3<0判断出5-2m的正负,进而确定点P所在的象限,据此判断.
18.(2023八上·大冶)如图,在平面直角坐标系中,,,.
(1)请画出△关于y轴对称的△;
(2)直接写出△的面积为;
(3)已知点D的横纵坐标都是整数,且△BCD和△BCA全等,请直接写出所有满足条件的点D的坐标;(D与A不重合)
【答案】(1)解:如图,点A1、B1、C1与点A、B、C关于y轴对称;△A1B1C1即为所求三角形;
(2)4
(3)(1,2),(5,2),(5,4)
【知识点】三角形的面积;三角形全等及其性质;作图﹣轴对称;点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解:(2)由点B、C坐标可知:BC垂直x轴,
∴A点到BC的距离为2,
∴的面积=×BC×2=4;
(3)如图,
△ABC和△D1BC关于直线BC对称,△ABC和△D2CB关于直线y=3对称,△D2CB和△△D3CB关于直线BC对称;
∴△ABC≌△D1BC,△ABC≌△D2CB,△D2CB≌△△D3CB,△ABC≌△D3CB,
∴满足条件的点D的坐标为:(1,2),(5,2),(5,4);
【分析】(1)关于y轴对称的点:横坐标互为相反数,纵坐标相同,据此找出点A1、B1、C1的位置,然后顺次连接即可;
(2)由点B、C坐标可知:BC垂直x轴,A点到BC的距离为2,然后根据三角形的面积公式进行计算;
(3)△ABC和△D1BC关于直线BC对称,△ABC和△D2CB关于直线y=3对称,△D2CB和△△D3CB关于直线BC对称,则△ABC≌△D1BC,△ABC≌△D2CB,△D2CB≌△△D3CB,△ABC≌△D3CB,进而可得点D的坐标.
19.(2023七下·江夏期中)如图,组成的正方形网格的每个小方格的边长都为单位1,每一个小方格的顶点叫做格点.已知点A、、、都在格点上.请按下述要求画图并回答问题:
(1)建立适当的平面直角坐标系,使点的坐标为;
(2)在(1)的条件下,完成下列问题:
①过点作,,并写出点的坐标;
②在网格中轴的下方找出所有的格点,使,并写出格点的坐标;
③线段交轴于点,求点的坐标.
【答案】(1)解:∵点,
∴原点O在点B下方一个单位,右方一个单位处,建立平面直角坐标系,如图所示:
(2)解:①为所求作的线段,如图所示:
此时点E的坐标为;
②如图,过点B作的平行线,则、为符合条件的格点;
点,.
③连接,,如图所示:
设点M的坐标为,则,
∵,
∴,
解得:,
∴点M的坐标为.
【知识点】三角形的面积;平面直角坐标系的构成;点的坐标与象限的关系;作图-平行线
【解析】【分析】(1)原点O在点B下方一个单位,右方一个单位处,建立平面直角坐标系;
(2)①根据平行线的作法可得线段CE,结合点E的位置可得相应的坐标;
②过点B作AD的平行线,则F1、F2为符合条件的格点;
③连接OB、OD,设M(0,m),则OM=m,根据三角形的面积公式结合面积间的和差关系可求出m的值,进而可得点M的坐标.
20.(2023八下·茶陵期中)已知当,都是实数,且满足时,称为“好点”.
(1)判断点,是否为“好点”,并说明理由;
(2)若点是“好点”,请判断点在第几象限?并说明理由.
【答案】(1)解:点为“好点”,理由如下,
当时,,,得,,
则,,所以,
所以是“好点”;
当,,得,,
则,,所以,
所以不是“好点”;
(2)解:点在第三象限,理由如下:
∵点是“好点”,
∴,,
∴,,
代入,得,
∴,,
∴,故点在第三象限.
【知识点】点的坐标;点的坐标与象限的关系
【解析】【分析】(1)点为“好点”,理由如下:将点A代入即可求出m和n,进而即可得到,,所以,从而即可得到所以是“好点”;将点A代入即可求出m和n,进而即可得到则,,所以,从而得到不是“好点”;
(2)点在第三象限,理由如下:先根据“好点”的定义结合题意即可得到,,进而代入,即可得到点M的坐标,再根据坐标与象限的关系结合题意即可求解。
21.(2023七下·江津期中)如图,点,点是第二象限内的点,面积等于8.
(1)求b的值;
(2)在坐标轴上是否存在一点P(不与点A重合),使?若存在,请直接写出符合条件的点P的坐标,并写出其中一个点P的坐标求解过程.
【答案】(1)解:∵点B是第二象限内的点
∴,
∴,
∴.
(2)P点坐标或(或
【知识点】点的坐标;三角形的面积
【解析】【解答】(2)①当点P在y轴上时,设P'的坐标为(0,y),
∵,,
∴,
∴,
∴y=±8,
∴点P'的坐标为(0,8)或(0,-8);
②当点P在x轴上时,设P''的坐标为(x,0),
∵,,
∴,
∴,
∴x=±4,
∴点P''的坐标为(4,0)或(-4,0),
综上所述,符合条件的点P的坐标为(0,8),(0,-8),(4,0)或(-4,0).
【分析】(1)根据题意可得,再求出b的值即可;
(2)分类讨论,再根据求解即可。
22.(2023七下·鄱阳期中)对于平面直角坐标系中的任意一点,给出如下定义:记,那么我们把点与点称为点P的一对“和美点”.
例如,点的一对“和美点”是点与点
(1)点的一对“和美点”坐标是与;
(2)若点的一对“和美点”重合,则y的值为.
(3)若点C的一个“和美点”坐标为,求点C的坐标;
【答案】(1)(-4,3);(3,-4)
(2)4
(3)解:当和美点坐标(a,b)为(-2,7),
则a=-x=-2,x=2,
b=x-y=7,y=-5,
∴C(2,-5);
当和美点坐标(b,a)为(-2,7),
b=x-y=-2,a=-x=7,
∴x=-7,y=-5,
∴C(-7,-5).
综上所述,C(2,-5)或C(-7,-5).
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解:(1)由题意得点的一对“和美点”坐标是(-4,3)与(3,-4),
故答案:(-4,3),(3,-4),
(2)∵点的一对“和美点”重合,
∴点的“和美点”为(2,2),
∴y=4,
故答案为:4
【分析】(1)根据“和美点”的定义即可直接求解;
(2)根据题意即可得到点的“和美点”为(2,2),进而即可求解;
(3)先根据题意分类讨论即可得到点C的坐标。
23.在平面直角坐标系中,对于点,若点Q的坐标为,其中a为常数,则称点Q是点P的“a级关联点”.
(1)已知点的“级关联点”是点,则点的坐标为;
(2)已知点的“级关联点”N位于x轴上,求点N的坐标;
(3)在(2)的条件下,若存在点H,使轴,且,直接写出H点坐标.
【答案】(1)
(2)解:∵点的“级关联点”是点N,
∴点坐标为,即,
∵点N位于x轴上,
∴,
∴,
∴,
∴;
(3)或
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解:(1)∵点的“级关联点”是点,∴点坐标为,即,
故答案为:;
(3)∵在(2)的条件下,,
∴,
∵轴,且,
∴或.
【分析】(1)根据点的“级关联点”是点结合题意即可求解;
(2)先根据点的“级关联点”是点N即可得到点坐标为,即,进而结合点的坐标即可求解;
(3)先根据题意得到点M的坐标,再结合题意即可求解。
24.(2023七下·九龙坡期末)阅读材料:材料一:对三个实数x、y、z,规定表示x、y、z这三个数中最小的数,例如min{-1,2,3}=-1
材料二:m、n都是实数,且满足2m=n+8,则称点P(,)为“开心点”
例:点A(5,3),由,则,∵2×6=4+8,∴点A是“开心点”;
又例:点B(4,8),由,则,∵2×5≠14+8,∴点B不是“开心点”.
请解决下列问题:
(1)min{}=;
(2)若点T(,)是“开心点”,请求点T的坐标;
(3)若整数a满足min=4,请判断点M(a,1)是否为“开心点”,并说明理由
【答案】(1)
(2)解:由题意得,
解得,
代入2m=n+8,得,
解得,
∴
∴
(3)解:∵min=4
∴
解得,
∵a是整数,
∴a=3
∴M(3,1)
即,
解得,
代入2m=n+8得,
所以,点M是“开心点”.
【知识点】解二元一次方程组;解一元一次不等式组;点的坐标
【解析】【解答】解:(1)∵
∴
∴min{}=
故答案为:;
【分析】(1)根据阅读材料,直角写出三个实数中最小值即可;
(2)由题意得,解得代入2m=n+8中求出t值,即得T坐标;
(3)由题意得,解得,从而求出整数解a=3,然后根据“开心点”的定义进行判断即可.
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2023年浙教版数学八年级上册4.2平面直角坐标系同步测试(培优版)
一、选择题(每题3分,共30分)
1.(2023七下·大同期末)已知点在轴的负半轴上,则点在().
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
2.(2023七下·顺平期末)若,则点在()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
3.(2023七下·宣化期中)在平面直角坐标系中,点在第四象限,距离轴4个单位长度,距离轴3个单位长度,则点的坐标是()
A.B.C.D.
4.(2023七下·黔东南期末)已知直线平行于轴,若点M的坐标为,且点N到y轴的距离等于4,则点N的坐标是()
A.或B.或
C.或D.或
5.(2023八下·大同期末)如图,在平面直角坐标系中,已知点,,以点为圆心,长为半径画弧,交轴的正半轴于点,则点的横坐标为()
A.B.C.D.
6.(2023七下·海淀期末)如图,点A,B,C,D,E,F,G为正方形网格图中的7个格点.建立平面直角坐标系,使点B,C的坐标分别为和,则上述7个点中在第二象限的点有()
A.4个B.3个C.2个D.1个
7.(2023七下·赵县期末)如图,动点P按图中箭头所示方向运动,第1次从原点运动到点,第2次运动到点,第3次运动到点,…,按这样的运动规律,则第2023次运动到点()
A.B.C.D.
8.(2023七下·椒江期末)中国象棋中“马走日字”(“马”从两个小方格组成的“日”字的一角走到相对的另一对角,横着走竖着走都可以),如“马”从点出发,可到达A,B,C,D,E,F中任意一点,若“马”从点P出发连续走了n次“日”字后到达点,则n的最小值为()
A.6B.7C.8D.9
9.对点(x,y)的一次操作变换记为p1(x,y),定义其变换法则如下:p1(x,y)=(x+y,x﹣y);且规定Pn(x,y)=P1(Pn﹣1(x,y))(n为大于1的整数).例如:p1(1,2)=(3,﹣1),p2(1,2)=p1(p1(1,2))=p1(3,﹣1)=(2,4),p3(1,2)=p1(p2(1,2))=p1(2,4)=(6,﹣2).则p2023(1,﹣1)=()
A.(0,21006)B.(21007,﹣21007)
C.(0,﹣21006)D.(21006,﹣21006)
10.(2023七下·黄山期末)在平面直角坐标系中,下列说法:①若点在坐标轴上,则;②若为任意实数,则点一定在第一象限;③若点到轴的距离与到轴距离均为,则符合条件的点有个;④已知点,点,则轴.其中正确的是()
A.①④B.②③C.①③④D.①②③④
二、填空题(每空3分,共21分)
11.(2023八下·东源期末)若点在平面直角坐标系的第二象限内,则x的取值范围是.
12.(2023七下·易县期末)已知点,,当点在第一、三象限的角平分线上时,点的坐标为;当轴时,.
13.(2023七下·广宁期末)如果点P(x,y)的坐标满足x+y=xy,那么称点P为“美丽点”,若某个“美丽点”P到y轴的距离为2,则点P的坐标为.
14.(2023七下·宣化期末)已知点,,点是线段的中点,则,.在平面直角坐标系中有三个点,,,点关于的对称点为(即,,三点共线,且),关于的对称点为,关于的对称点为,按此规律继续以,,为对称点重复前面的操作,依次得到,,,则点的坐标是.
15.(2023七下·丰满期末)如图,在平面直角坐标系中,直径为1个单位长度的圆从原点O出发,沿横轴向右滚动一周,圆上的一点由原点O到达点O',圆心由点M到达点M',则点M'对应的坐标是.
16.(2023·温岭模拟)如图,在平面直角坐标系中,点A1的坐标为(1,0),以OA1为直角边作Rt△OA1A2,并使∠A1OA2=60°,再以OA2为直角边作Rt△OA2A3,并使∠A2OA3=60°,再以OA3为直角边作Rt△OA3A4,并使∠A3OA4=60°…按此规律进行下去,则点A2023的坐标为.
三、解答题(共8题,共69分)
17.(2022八上·西湖期末)在平面直角坐标系中,已知点,m是任意实数.
(1)当时,点P在第几象限?
(2)当点P在第三象限时,求m的取值范围.
(3)判断命题“点P不可能在第一象限”的真假,并说明理由.
18.(2023八上·大冶)如图,在平面直角坐标系中,,,.
(1)请画出△关于y轴对称的△;
(2)直接写出△的面积为;
(3)已知点D的横纵坐标都是整数,且△BCD和△BCA全等,请直接写出所有满足条件的点D的坐标;(D与A不重合)
19.(2023七下·江夏期中)如图,组成的正方形网格的每个小方格的边长都为单位1,每一个小方格的顶点叫做格点.已知点A、、、都在格点上.请按下述要求画图并回答问题:
(1)建立适当的平面直角坐标系,使点的坐标为;
(2)在(1)的条件下,完成下列问题:
①过点作,,并写出点的坐标;
②在网格中轴的下方找出所有的格点,使,并写出格点的坐标;
③线段交轴于点,求点的坐标.
20.(2023八下·茶陵期中)已知当,都是实数,且满足时,称为“好点”.
(1)判断点,是否为“好点”,并说明理由;
(2)若点是“好点”,请判断点在第几象限?并说明理由.
21.(2023七下·江津期中)如图,点,点是第二象限内的点,面积等于8.
(1)求b的值;
(2)在坐标轴上是否存在一点P(不与点A重合),使?若存在,请直接写出符合条件的点P的坐标,并写出其中一个点P的坐标求解过程.
22.(2023七下·鄱阳期中)对于平面直角坐标系中的任意一点,给出如下定义:记,那么我们把点与点称为点P的一对“和美点”.
例如,点的一对“和美点”是点与点
(1)点的一对“和美点”坐标是与;
(2)若点的一对“和美点”重合,则y的值为.
(3)若点C的一个“和美点”坐标为,求点C的坐标;
23.在平面直角坐标系中,对于点,若点Q的坐标为,其中a为常数,则称点Q是点P的“a级关联点”.
(1)已知点的“级关联点”是点,则点的坐标为;
(2)已知点的“级关联点”N位于x轴上,求点N的坐标;
(3)在(2)的条件下,若存在点H,使轴,且,直接写出H点坐标.
24.(2023七下·九龙坡期末)阅读材料:材料一:对三个实数x、y、z,规定表示x、y、z这三个数中最小的数,例如min{-1,2,3}=-1
材料二:m、n都是实数,且满足2m=n+8,则称点P(,)为“开心点”
例:点A(5,3),由,则,∵2×6=4+8,∴点A是“开心点”;
又例:点B(4,8),由,则,∵2×5≠14+8,∴点B不是“开心点”.
请解决下列问题:
(1)min{}=;
(2)若点T(,)是“开心点”,请求点T的坐标;
(3)若整数a满足min=4,请判断点M(a,1)是否为“开心点”,并说明理由
答案解析部分
1.【答案】A
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】∵P(m,0)在x轴负半轴上,∴m<0,∴-m>0,-m+1>0,∴点M(-m,-m+1)在第一象限;
故答案为:A.
【分析】根据x轴的负半轴上点的纵坐标等于零,横坐标小于零,得到m<0,根据不等式性质可以得到-m>0,-m+1>0,可以判断点M的象限.
2.【答案】D
【知识点】偶次幂的非负性;绝对值的非负性;点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解:由题意得,
a-4=0,b+3=0
解得:a=4,b=-3
故点M的坐标为(4,-3)
所以点M在第四象限。
故答案为:D.
【分析】根据绝对值、偶次方的非负性求出a、b的值,进而得到点M的坐标,再根据直角坐标系中点的坐标与位置的关系即可得出答案。
3.【答案】A
【知识点】点的坐标;点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】∵到距离轴4个单位长度
∴|y|=4
∴y=
∵距离轴3个单位长度
∴|x|=3
∴x=
∵点P在第四象限
∴x>0,y<0
∴x=3,y=-4
∴P(3,-4)
故答案为:A
【分析】根据在第四象限,可知,横坐标大于零,纵坐标小于零。注意点到x轴距离是纵坐标的绝对值,不要反了。
4.【答案】D
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】∵点M的坐标为,直线平行于轴,
∴设点N的坐标为(a,3),
∵点到y轴的距离等于4,
∴,
∴,
∴点N的坐标为或,
故答案为:D.
【分析】先设设点N的坐标为(a,3),再结合“点到y轴的距离等于4”,求出a的值,即可得到点N的坐标.
5.【答案】A
【知识点】点的坐标;勾股定理
【解析】【解答】解:依题意,,
∵点
∴点的横坐标为
故答案为:A.
【分析】根据勾股定理,可求得AB的长度,进而可求得AC的长度,结合点A的坐标,可求得点C的坐标.
6.【答案】C
【知识点】点的坐标;点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解:如图,点A,B,C,D,E,F,G为正方形网格图中的7个格点.建立平面直角坐标系,使点B,C的坐标分别为和,则上述7个点中在第二象限的点有点A和点G,共有2个,
故答案为:C.
【分析】根据第二象限点的坐标特征求解即可。
7.【答案】C
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解:依题意,第1次从原点运动到点(1,1),
第2次运动到点(2,0),
第3次运动到点(3,2),
第4次运动到点(4,0),
第5次运动到点(5,1),
第6次运动到点(6,0),
……
第4n次运动到点(4n,0),
第4n+1次运动到点(4n+1,1),
第4n+2次运动到点(4n+2,0),
第4n+3次运动到点(4n+3,2),
∵2023÷4=5053,
∴第2023次运动到点(2023,2),
故答案为:C.
【分析】先求得前几次的坐标,找到规律进而即可求解.
8.【答案】D
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解:如图,
当点P向右上方走“日”字时,n的最小值为9.
故答案为:D.
【分析】当点P向右上方走“日”字时,可得到n的最小值,画出图形即可.
9.【答案】B
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解:根据题意得:
P1(1,﹣1)=(0,2),
P2(1,﹣1)=(2,﹣2)
P3(1,﹣1)=(0,4),
P4(1,﹣1)=(4,﹣4)
P5(1,﹣1)=(0,8),
P6(1,﹣1)=(8,﹣8)
…
当n为偶数时,Pn(1,﹣1)=(2,﹣2),
则P2023(1,﹣1)=(21007,﹣21007);
故选B.
【分析】根据所给的已知条件,找出题目中的变化规律,得出当n为偶数时的坐标,即可求出P2023(1,﹣1)时的答案.
10.【答案】A
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解:①∵点A(a,b)在坐标轴上,
∴a=0或b=0,
∴ab=0,故①符合题意;
②∵m2≥0,
∴点(2,m2)在第一象限或x轴正半轴上,故②不符合题意;
③∵点P到x轴的距离与到y轴的距离均为2,
∴P点坐标为(2,2)或(2,-2)或(-2,2)或(-2,-2)
∴P点共有4个,故③不符合题意;
④∵点M(2,3),点N(-2,3),
∴M、N两点在y=3的直线上,
∴MN//x轴,故④符合题意;
综上所述正确的有:①④,
故答案为:A.
【分析】根据平面直角坐标系中点的坐标对每个说法一一判断即可。
11.【答案】
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解:点在平面直角坐标系的第二象限内,
,解得,
.
故答案为:.
【分析】第二象限内的点的横坐标小于零,纵坐标大于零,以此列出不等式组,进而得到x的取值范围.
12.【答案】;2
【知识点】点的坐标;点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解:
第一个空:∵点在第一、三象限的角平分线上时,
∴a+1=2a-3,
解得a=4,
∴点的坐标为;
第二个空:∵轴
∴2a-3=3,
解得a=3,
∴点P的坐标为(4,3),
∴2
故答案为:;2
【分析】第一个空:根据点在第一、三象限的角平分线上的坐标的特征即可列出方程,进而即可求解;第二个空:根据平行即可得到a的值,进而即可求解。
13.【答案】(2,2)或(-2,)
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解:∵点P(x,y),且P点到y轴的距离为2,
∴|x|=2,
∴x=±2,
又∵x+y=xy,
∴2+y=2y或-2+y=-2y,
解得y=2或y=,
∴点P的坐标为(2,2)或(-2,).
故答案为:(2,2)或(-2,).
【分析】根据坐标平面内一点到y轴的距离等于该点横坐标的绝对值可求出x=±2,然后结合x+y=xy科求出y的值,从而求出点P的坐标.
14.【答案】
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解:设点P1的坐标为(a,b).
根据题意,得
解得
所以,点P1的坐标为(2,-4).
同理可得P2(-4,2),P3(4,0),P4(-2,-2),P5(0,0),P6(0,2).
则点P至点P5为一个循环,即每6个点循环一次.
∵2023=337×6+2
∴点的坐标与点P1的坐标相同,
∴点的坐标是
故答案为:.
【分析】根据题意可求得点P1至点P6的坐标,观察规律,可知每6个点循环一次,即可求得点P2023的坐标与已知某个点的坐标相同.
15.【答案】(π,)
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解:由图可知:M(0,),
根据题意可知,滚动过程中,圆心M的纵坐标不变,即为,
根据沿横轴向右滚动一周,则向右运动的距离为:πR=πx1=π,
即此时圆心M的向右运动的距离为π,
∴点M'对应的坐标是(π,),
故答案为:(π,).
【分析】根据题意先求出滚动过程中,圆心M的纵坐标不变,即为,再求出πR=πx1=π,最后求点的坐标即可。
16.【答案】(﹣22023,22023)
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解:由题意得,
A1的坐标为(1,0),
A2的坐标为(1,),
A3的坐标为(﹣2,2),
A4的坐标为(﹣8,0),
A5的坐标为(﹣8,﹣8),
A6的坐标为(16,﹣16),
A7的坐标为(64,0),
…
由上可知,A点的方位是每6个循环,
与第一点方位相同的点在x正半轴上,其横坐标为2n﹣1,其纵坐标为0,
与第二点方位相同的点在第一象限内,其横坐标为2n﹣2,纵坐标为2n﹣2,
与第三点方位相同的点在第二象限内,其横坐标为﹣2n﹣2,纵坐标为2n﹣2,
与第四点方位相同的点在x负半轴上,其横坐标为﹣2n﹣1,纵坐标为0,
与第五点方位相同的点在第三象限内,其横坐标为﹣2n﹣2,纵坐标为﹣2n﹣2,
与第六点方位相同的点在第四象限内,其横坐标为2n﹣2,纵坐标为﹣2n﹣2,
∵2023÷6=336…3,
∴点A2023的方位与点A23的方位相同,在第二象限内,其横坐标为﹣2n﹣2=﹣22023,纵坐标为22023,
故答案为:(﹣22023,22023)
【分析】通过解直角三角形,依次求出A1,A2,A3,各点的坐标,从中发现A点的方位是每6个循环,分别求出这6个点的横、纵坐标,由2023÷6=336…3,可得点A2023的方位与点A23的方位相同,在第二象限内,从而求出结论即可.
17.【答案】(1)解:当m=0时,点P坐标为(-3,5),
∴点P在第二象限;
(2)解:∵点P在第三象限,
∴,
解得:<m<3;
(3)解:“点P不可能在第一象限”是真命题,理由为:
当m-3>0时,m>3,
∴-2m<-6,即5-2m<-1<0,
∴点P在第四象限;
当m-3=0时,m=3,
∴5-2m=-1,即点P坐标为(0,-1),
∴点P在y轴的负半轴;
当m-3<0时,m<3,即-2m>-6,
∴5-2m>-1,
∴点P在第二象限或第三象限,
综上,点P不可能在第一象限,是真命题.
【知识点】解一元一次不等式组;点的坐标与象限的关系;不等式的性质
【解析】【分析】(1)当m=0时,点P的坐标为(-3,5),然后根据点的坐标与象限的关系进行判断;
(2)根据第三象限的点,横纵坐标均为负可得关于m的不等式组,求解即可;
(3)分m-3>0,m-3=0、m-3<0判断出5-2m的正负,进而确定点P所在的象限,据此判断.
18.【答案】(1)解:如图,点A1、B1、C1与点A、B、C关于y轴对称;△A1B1C1即为所求三角形;
(2)4
(3)(1,2),(5,2),(5,4)
【知识点】三角形的面积;三角形全等及其性质;作图﹣轴对称;点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解:(2)由点B、C坐标可知:BC垂直x轴,
∴A点到BC的距离为2,
∴的面积=×BC×2=4;
(3)如图,
△ABC和△D1BC关于直线BC对称,△ABC和△D2CB关于直线y=3对称,△D2CB和△△D3CB关于直线BC对称;
∴△ABC≌△D1BC,△ABC≌△D2CB,△D2CB≌△△D3CB,△ABC≌△D3CB,
∴满足条件的点D的坐标为:(1,2),(5,2),(5,4);
【分析】(1)关于y轴对称的点:横坐标互为相反数,纵坐标相同,据此找出点A1、B1、C1的位置,然后顺次连接即可;
(2)由点B、C坐标可知:BC垂直x轴,A点到BC的距离为2,然后根据三角形的面积公式进行计算;
(3)△ABC和△D1BC关于直线BC对称,△ABC和△D2CB关于直线y=3对称,△D2CB和△△D3CB关于直线BC对称,则△ABC≌△D1BC,△ABC≌△D2CB,△D2CB≌△△D3CB,△ABC≌△D3CB,进而可得点D的坐标.
19.【答案】(1)解:∵点,
∴原点O在点B下方一个单位,右方一个单位处,建立
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