人教版七年级数学下册 二元一次方程组解应用题分类练习

人教版七年级数学下册二元一次方程组解应用题分类练习二元一次方程解应用题分类练习一、知识点：1.列方程组解应用题的一般步骤：审题、设未知元、列解方程组、检验、作结论等。2.列方程组解应用题要领：（1）将生活语言代数化；（2）掌握一定的设元技巧（直接设元，间接设元，辅助设元）；（3）寻找数量间的等量关系。二、举例：二元一次方程组是最简单的方程组，其应用广泛，尤其是生活、生产实践中的许多问题，大多需要通过设元、布列二元一次方程组来加以解决，现将常见的几种题型归纳如下：一、数字问题例1：一个两位数，比它十位上的数与个位上的数的和大9；如果交换十位上的数与个位上的数，所得两位数比原两位数大27，求这个两位数。二、利润问题例2：一件商品如果按定价打九折出售可以盈利20%；如果打八折出售可以盈利10元，问此商品的定价是多少？三、配套问题例3：某厂共有120名生产工人，每个工人每天可生产螺栓50个或螺母20个，如果一个螺栓与两个螺母配成一套，那么每天安排多名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母，才能使每天生产出来的产品配成最多套？四、行程问题例4：在某条高速公路上依次排列着A、B、C三个加油站，A到B的距离为120千米，B到C的距离也是120千米。两个加油站实施抢劫的两个犯罪团伙作案后同时分别在A、C两个加油站以相同的速度驾车沿高速公路逃离现场，正在B站待命的两辆巡逻车接到指挥中心的命令后立即以相同的速度分别往A、C两个加油站驶去，结果往B站驶来的团伙在1小时后就被其中一辆迎面而上的巡逻车堵截住，而另一团伙经过3小时后才被另一辆巡逻车追赶上。问巡逻车和犯罪团伙的车的速度各是多少？五、货运问题例5：某船的载重量为300吨，容积为1200立方米，现有甲、乙两种货物要运，其中甲种货物每吨体积为6立方米，乙种货物每吨的体积为2立方米，要充分利用这艘船的载重和容积，甲、乙两重货物应各装多少吨？六、工程问题例6：某服装厂接到生产一种工作服的订货任务，要求在规定期限内完成，按照这个服装厂原来的生产能力，每天可生产这种服装150套。按这样的生产进度在客户要求的期限内只能完成订货的4/5。现在工厂改进了人员组织结构和生产流程，每天可生产这种工作服200套，这样不仅比规定时间少用1天，而且比订货量多生产25套，求订做的工作服是几套？要求的期限是几天？【跟踪练习】1.某停车场共收到230元的停车费，其中中型汽车的停车费为6元/辆，小型汽车的停车费为4元/辆，共有50辆车停在了停车场。设中型汽车有x辆，小型汽车有y辆，则有以下方程组：x+y=506x+4y=230解得x=20，y=30，因此中型汽车有20辆，小型汽车有30辆。2.某蔬菜公司收购了140吨蔬菜，每天能精加工蔬菜6吨或粗加工蔬菜16吨，两种加工方式不能同时进行。要在18天内全部销售完这140吨蔬菜，可以有以下三种方案：全部直接销售，获利为100元/吨，总获利为14000元；全部粗加工后销售，获利为250元/吨，总获利为35000元；尽量精加工，剩余部分直接销售，获利为450元/吨，总获利为x元。设精加工了y吨，则有以下方程组：y+(140-y)/16*6=18*6y<=6x=y*450+(140-y)*100解得y=6，x=40500，因此最优方案是尽量精加工，剩余部分直接销售，总获利为40500元。如果先进行精加工，然后进行粗加工，要在15天内刚好加工完140吨蔬菜，可以有以下方案：先精加工9吨，再粗加工6吨，再精加工1吨，再粗加工16吨，再精加工4吨，再粗加工16吨，再精加工4吨，再粗加工6吨，再精加工1吨，再粗加工6吨，再精加工1吨，再粗加工6吨，再精加工1吨，再粗加工6吨，再精加工1吨，再粗加工6吨，再精加工1吨，总获利为(9*450+6*250+1*450+16*100+4*450+16*250+4*450+6*100+1*450+6*100+1*450+6*100+1*450+6*100+1*450+6*100)=43650元。3.某中学原计划拆除旧校舍与建造新校舍共7200平方米，拆除旧校舍每平方米需80元，建造新校舍每平方米需700元。实际完成的拆、建总面积为7200平方米，其中新建校舍只完成了计划的80%，即新建校舍面积为7200*80%=5760平方米，拆除旧校舍超过了计划的10%，即拆除旧校舍面积为7200*(1+10%)=7920平方米。因此原计划拆、建面积分别为(7920-5760)/80=180平方米和5760/700=8.2286...≈8.23平方米。如果绿化1平方米需200元，实际完成的拆、建工程中节余的资金用来绿化的面积为(7200-7920)*200=144000元，即绿化面积为144000/200=720平方米。4.商场用36000元购进甲、乙两种商品，销售完后共获利6000元。设甲种商品进价为x元，乙种商品进价为y元，则有以下方程组：120x+100y=36000138x+120y=42000解得x=300，y=240，因此甲种商品购进300件，乙种商品购进150件。商场第二次以原进价购进甲、乙两种商品，购进乙种商品的件数不变，而购进甲种商品的件数是第一次的2倍，甲种商品按原售价出售，而乙种商品打折销售。设乙种商品打折后售价为z元，则有以下方程组：240*(120-y)+2*300*138=8160240*(120-y)*(1-z/120)+2*600*138=36000解得y=60，z=100，因此乙种商品打折后售价为100元/件。5.某山区有23名中小学生因贫困失学需要捐助，资助一名中学生的学习费用需要a元，一名小学生的学习费用需要b元。设捐助中学生的人数为x，捐助小学生的人数为y，则有以下方程组：x+y=23ax+by=总资助费用根据表格可得：a*6+b*4=4000a*8+b*7=4000解得a=1000，b=500，因此资助一名中学生的学习费用为1000元，资助一名小学生的学习费用为500元。九年级学生的捐款数额为4000元，可以资助4名中学生和4名小学生，因此九年级学生可捐助的贫困中、小学生的人数为4和4。小明用8个相同大小的矩形拼成了两个图案，一个是正方形，另一个是大矩形，其中正方形中间有一个2cm的小洞。问题是求$(a+2b)^2-8ab$的值。【参考答案】解析：设矩形的长为$a$，宽为$b$，则正方形的边长为$4b$，大矩形的长为$4a$，宽为$3b$。因为8个矩形的总面积等于正方形和大矩形的面积之和，所以$8ab=4b^2+12ab$，化简得$ab=2b^2$。又因为$(a+2b)^2=a^2+4ab+4b^2$，所以$(a+2b)^2-8ab=a^2-4ab+4b^2=(a-2b)^2$。因此，所求的值为$(a-2b)^2$。例1：一个两位数，十位上的数字比个位上的数字多9，如果把这个两位数的数字交换，得到一个比原数小27的两位数，求原数。【参考答案】解析：设十位上的数字为$x$，个位上的数字为$y$，则原数为$10x+y$，新数为$10y+x$。由题意得：$$\begin{cases}10x+y=x+y+9\\10y+x=10x+y+27\end{cases}$$解得$x=1$，$y=4$，原数为14。点评：对于涉及数位的问题，应当设各个数位上的数字为未知数，列出多元方程组求解。例2：某商品进价为$y$元，定价为$x$元，打九折和打八折时的售价分别为$0.9x$元和$0.8x$元，已知打九折时的利润为进价的$120\%$，打八折时的利润为$10$元，求该商品的定价。【参考答案】解析：由题意得：$$\begin{cases}0.9x-y=1.2y\\0.8x-y=10\end{cases}$$解得$x=200$，$y=150$，该商品的定价为200元。点评：利润的计算可以用“利润=售价-进价”或“利润=进价×利润率”的公式，但要注意区分利润和利润率的概念。例3：某工厂生产螺栓和螺母两种产品，每天需生产120套，每套包括一颗螺栓和一颗螺母，如果每人每天只能生产2个螺栓或5个螺母，问应该安排多少人生产螺栓和螺母，才能生产出最多的产品？【参考答案】解析：设安排$x$人生产螺栓，$y$人生产螺母，则每天可生产螺栓$50x$个，螺母$20y$个。由于每天需生产120套，所以有$50x=20y$。又因为每人每天只能生产2个螺栓或5个螺母，所以$x+y\leqslant60$。因此，问题转化为求解下列整数规划问题：$$\begin{aligned}\max\quad&xy\\\text{s.t.}\quad&50x=20y\\&x+y\leqslant60\\&x,y\in\mathbb{Z}_+\end{aligned}$$解得$x=20$，$y=100$，应安排20人生产螺栓，100人生产螺母。点评：对于最优化问题，应当明确目标函数和约束条件，然后选择合适的求解方法求解。产品配套是工厂生产中的基本原则之一。在生产过程中，如何分配生产力，使生产出来的产品恰好配套是主管生产人员常见的问题。解决配套问题的关键是利用配套本身所存在的相等关系。其中，最常见的两种配套问题的等量关系是：（1）“二合一”问题：如果a件甲产品和b件乙产品配成一套，那么甲产品数的b倍等于乙产品数的a倍，即甲产品数/乙产品数=b/a。（2）“三合一”问题：如果甲产品a件，乙产品b件，丙产品c件配成一套，那么各种产品数应满足的相等关系式是：甲产品数/乙产品数/丙产品数=b/a×c/b=c/a。例4：设巡逻车、犯罪团伙的车的速度分别为x、y千米/时，则巡逻车的速度是80千米/时，犯罪团伙的车的速度是40千米/时。这是一个“相向而遇”的行程问题。在这种题型中，两者所走的路程之和等于它们原来的距离。例5：设甲种货物装x吨，乙种货物装y吨，则甲、乙两重货物应各装150吨。这是一个工程问题，关键要抓好三个基本量的关系，即“工作量=工作时间×工作效率”以及它们的变式“工作时间=工作量÷工作效率，工作效率=工作量÷工作时间”。例6：设订做的工作服是x套，要求的期限是y天，依题意，得到150y=x和200(y-1)=x+25两个方程。解得x=3375，y=18。在解实际问题的方程组时，要注意先化简，再考虑消元和解法，这样可以减少计算量，增加准确度。化简时一般是去分母或两边同时除以各项系数的最大公约数或移项、合并同类项等。1.解析：设中型汽车有x辆，小型汽车有y辆。由题意，可以列出以下方程组：x+y=506x+4y=230解得x=15，y=35。因此中型汽车有15辆，小型汽车有35辆。2.解：（1）全部直接销售获利为：100×140=14000元；全部粗加工后销售获利为：250×140=35000元；尽量精加工，剩余部分直接销售获利为：450×（6×18）＋100×（140－6×18）=51800元。（2）设应安排x天进行精加工，y天进行粗加工，可以列出以下方程组：x+y=156x+16y=140解得x=10，y=5。因此应安排10天进行精加工，5天进行粗加工。3.（1）原计划拆、建面积各是4800平方米、2400平方米；（2）可绿化面积为1488平方米。4.解：（1）设商场购进甲种商品x件，乙种商品y件，根据题意可以列出以下方程组：3x+2y=8402x+3y=780解得x=200，y=120。因此该商场购进甲种商品200件，乙种商品120件。（2）设乙种商品每件售价z元，根