天津第八十八中学2022-2023学年高三数学文摸底试卷含解析

天津第八十八中学2022-2023学年高三数学文摸底试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知实数x，y满足，的最大值为6，则实数a的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：D【考点】简单线性规划．【专题】数形结合；换元法；不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用分式函数的性质将条件进行化简，结合一元二次函数的性质建立方程关系进行求解即可．【解答】解：=（）2﹣2?（）+3=（﹣1）2+2，设k=，则k的几何意义是区域内的点到原点的斜率，作出不等式组对应的平面区域如图：由得，即A（1，1），则点A（1，1）在直线x+y＜a内，即a＞1+1=2，由得．即B（1，a﹣1），AC对应直线为y=x，斜率k=1，则k=的最大值为k=a﹣1，则1≤k≤a﹣1，（a≥2），则当=a﹣1时，取得最大值为6，即（a﹣1﹣1）2+2=6，即（a﹣2）2=4，解得a﹣2=2或a﹣2=﹣2，即a=4或a=0（舍），故选：D【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用分式函数的性质结合一元二次函数的单调性和最值的关系是解决本题的关键．综合性较强．2.已知数列满足，则数列的前10项和为A.

B.

C.

D.

参考答案：A3.已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，直线l过点F1且与双曲线C的一条渐进线垂直，直线l与两条渐进线分别交于M，N两点，若，则双曲线C的渐进线方程为（

）A． B． C． D．参考答案：B∵，∴为的中点，又∵，∴，又∵，∴，∴双曲线的渐进线的斜率为=，即双曲线的渐进线方程为.故选：B

4.命题“若，则”的逆否命题是（A）若，则

（B）若，则（C）若，则

（D）若，则参考答案：C略5.已知M是抛物线上一点，F是抛物线C的焦点，若，k是抛物线C的准线与x轴的交点，则（

）A．45°

B．30° C．15° D．60° 参考答案：A因为，所以，所以,选A.

6.给出下列命题：（1）等比数列的公比为，则“”是“”的既不充分也不必要条件；（2）“”是“”的必要不充分条件；（3）函数的的值域为R，则实数；（4）“”是“函数的最小正周期为”的充要条件。其中真命题的个数是（

）A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：B略7.若的值为

（

）

A．20

B．—20

C．10

D．—10参考答案：答案：B8.设a=，b=log9，c=log8，则a，b，c之间的大小关系是（） A．a＞b＞c B． a＞c＞b C． c＞a＞b D． c＞b＞a参考答案：考点： 对数的运算性质．专题： 函数的性质及应用．分析： 利用对数函数的单调性可得=＜，．即可得出．解答： 解：a=，b=log9，c=log8，∵=＜，．∴c＞a＞b．故选：C．点评： 本题考查了对数函数的单调性，属于基础题．9.若变量x，y满足约束条件则的最大值是A．2

B．4

C．7

D．8参考答案：C10.为了得到函数y＝sin3x＋cos3x的图像，可以将函数y＝cos3x的图像()参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知，tanα=2，则=______________．参考答案：由得，又，所以，因为，所以，因为，所以．12.将函数的图像向左平移个单位后所得的图像关于y轴对称，则的最小值为_____________.参考答案：略13.若椭圆的焦点在x轴上，过点作圆的切线，切点分

别为A、B，直线AB恰好过椭圆的右焦点和上顶点，则该椭网的方程是(

)

A．

B．，

C．．

D．，参考答案：A略14.不等式的解集为

．参考答案：(－1,2)15.某高中三年级甲、乙两班各选出7名学生参加高中数学竞赛，他们取得的成绩（满分140分）的茎叶图如下，其中甲班学生成绩中位数为81，乙班学生成绩的平均数为86，则x+y=______.参考答案：5【分析】由中位数和平均数的定义可得x，y的值，计算可得结果．【详解】甲班学生成绩的中位数是80+x＝81，得x＝1；由茎叶图可知乙班学生的总分为76+80×3+90×3+（0+2+y+1+3+6）＝598+y，乙班学生的平均分是86，且总分为86×7＝602，所以y＝4，∴x+y=5．故答案为：5．【点睛】本题考查了茎叶图的应用及中位数和平均数的定义，属于基础题．16.在等腰直角三角形中，，在斜边上任取一点，则的概率为

参考答案：17.函数在的零点个数为_________.参考答案：3【分析】将函数化简为，判断或的解的个数得到答案.【详解】函数函数零点为：或故答案为3【点睛】本题考查了函数的零点，三角函数的化简，意在考查学生的计算能力.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（14分）（2015?淄博一模）已知F1，F2分别是椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，F2是抛物线C2：y2=2px（p＞0）的焦点，P（，m）是C1与C2在第一象限的交点，且|PF2|=．（Ⅰ）求C1与C2的方程；（Ⅱ）过F2的直线交椭圆于M，N两点，T为直线x=4上任意一点，且T不在x轴上．（i）求的取值范围；（ii）若OT恰好一部分线段MN，证明：TF2⊥MN．参考答案：【考点】：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质．【专题】：圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】：（Ⅰ）根据已知条件建立关系式求出P的值，进一步确定抛物线方程．进一步利用求得a和b的值，确定椭圆的方程．（Ⅱ）（i）①若直线的斜率不存在，则MN的直线方程为：x=1．此时M，N（）进一步求出②若直线MN的斜率存在，设直线的方程为：y=k（x﹣1）设交点M（x1，y1），N（x2，y2），则：消去y得到：（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0利用根和系数的关系进一步利用恒等变形求出．（ii）设线段MN的中点坐标为Q（xQ，yQ）由（i）得到：，所以直线OT的斜率：，进一步求出OT的直线方程为：，则直线TF2的斜率为：，进一步化简得到；，从而得到结论．解：（Ⅰ）因为点P（，m）在抛物线上，且|PF2|=，抛物线的准线方程为x=﹣，所以：解得：P=2所以抛物线的方程为：y2=4x将点P（，m）代入y2=4x解得：m=，所以P（）点P在椭圆上，且椭圆的焦点F2（1，0），所以：解得：a2=4，b2=3所以：椭圆的方程为：（Ⅱ）（i）①若直线的斜率不存在，则MN的直线方程为：x=1．此时M，N（）②若直线MN的斜率存在，设直线的方程为：y=k（x﹣1）设交点M（x1，y1），N（x2，y2）则：消去y得到：（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，所以：（x1+x2）+1]=由于k2≥0所以：所以的取值范围：（ii）证明：设线段MN的中点坐标为Q（xQ，yQ）由（i）得到：，所以直线OT的斜率：OT的直线方程为：，得到：T（4，﹣）直线TF2的斜率为：所以；则：TF2⊥MN【点评】：本题考查的知识要点：抛物线方程和椭圆方程的确定，圆锥曲线和直线方程的关系，一元二次方程根和系数的关系，分类讨论思想在做题中的应用，直线垂直的充要条件的应用．19.如图，在四棱锥中，平面平面，，，．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求平面与平面所成角的余弦值．参考答案：【命题意图】本小题主要考查直线与平面垂直的判定，面面垂直的性质，二面角余弦值的求解等基础知识，考查空间想像能力、推理论证能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想等，考查数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算等．【试题简析】解法一：（Ⅰ）在底面中，，，所以，，所以，所以， 1分又平面平面，平面平面，平面，所以平面， 2分又平面，所以， 3分又即，又， 4分所以平面. 5分（Ⅱ）分别延长和相交于一点，连结，则直线即为所求直线， 6分在平面内过作（如图），又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又，所以两两互相垂直.以为原点，向量的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），另设， 7分则，，，，所以，， 8分设是平面的法向量，则即 9分令，得.

10分显然是平面的一个法向量.

11分设二面角的大小为（为锐角）.所以，所以二面角的的余弦值为.

12分解法二：（Ⅰ）同解法一； 5分（Ⅱ）分别延长和相交于一点，连结，则直线即为所求直线， 6分分别取中点和，连结，，

所以，又，所以，又因为，为的中点，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，所以两两互相垂直.以为原点，向量的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），另设， 7分则，，，，所以，， 8分设是平面的法向量，则即， 9分令，得.

10分显然是平面的一个法向量.

11分设二面角的大小为（为锐角）.所以，所以二面角的余弦值为. 12分【变式题源】（2017全国卷Ⅱ·理19）如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等比三角形且垂直于底面ABCD，，，E是PD的中点.（Ⅰ）证明：直线平面PAB；（Ⅱ）点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成锐角为，求二面角M-AB-D的余弦值20.（本小题满分13分）某树苗培育基地为了解其基地内榕树树苗的长势情况，随机抽取了100株树苗，分别测出它们的高度（单位：），并将所得数据分组，画出频率分布表如下：组距频数频率[100，102)170.17[102，104)180.18[104，106)240.24[106，108)[108，110)60.06[110，112)30.03合计1001⑴求上表中、的值；⑵估计该基地榕树树苗平均高度；⑶基地从上述100株榕树苗中高度在[108，112)范围内的树苗中随机选出5株进行育种研究，其中在[110，112)内的有株，求的分布列和期望．参考答案：（1）；（2）；（3）的分布列为0123

的期望试题分析：（1）在表格中可知，频数之和为100，频率之和为1，因此易求得；（2）求平均高度，一般中区间的中值乘以区间的频数相加再除以总数100，即得；（3）在区间[110，112)上只有3棵，因此的可能取值分别为，就是从9棵树苗中任意选取5棵，恰好有棵在区间[110，112)上的概率，这属于古典概型，，最后可利用数学期望公式求得的期望.试题解析：⑴，……2分⑵估计该基地榕树树苗平均高度为()……6分（列式2分，求值1分，文字说明与单位完整1分。）⑶由频率分布表知树苗高度在[108，112)范围内的有9株，在[110，112)范围内的有3株，因此的所有可能取值为0，1，2，3……7分，，，……11分0123的分布列为

……12分

的期望为……13分（列式正确1分）考点：频率颁布表，随机变量颁布列，数学期望.21.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），M是C1上的动点，动点P满足OP=3OM．（1）求动点P的轨迹C2的参数方程；（2）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与C1异于极点的交点为A，与C2异于极点的交点为B，求AB．参考答案：【考点】轨迹方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）设P（x，y），M（x0，y0），由=3，得，又M的C1上，可得（α为参数），代入消去x0，y0即可得出．（2）解法一：C1的参数方程化为普通方程为x2+y2﹣2y=0，可得对应的极坐标方程，C2的参数方程化为普通方程，可得对应的极坐标方程为，进而得出．解法二：C1的参数方程化为普通方程为x2+y2﹣2y=0，C2的参数方程化为普通方程为x2+y2﹣6y=0，又射线化为普通方程为，分别联立解得交点A，B的坐标，利用两点之间的距离公式即可得出．【解答】解：（1）设P（x，y），M（x0，y0），由=3，得①，又M的C1上，∴（α为参数），②将②代入①得（α为参数），即为C2的参数方程．（2）解法一：C1的参数方程化为普通方程为x2+y2﹣2y=0，对应的极坐标方程为ρ=2sinθ，C2的参数方程化为普通方程为x2+y2﹣6y=0，对应的极坐标方程为ρ=6sinθ，当时，，∴|AB|=|ρ1﹣ρ2|=|1﹣3|=2．解法二：C1的参数方程化为普通方程为x2+y2﹣2y=0，C2的参数方程化为普通方程