第一章集合与常用逻辑用语（知识梳理热考题型）（原卷版）

第一章集合与常用逻辑用语单元复习【知识梳理】一、元素与集合的相关概念(1)元素：一般地，我们把研究对象统称为元素.元素通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示；(2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示.二、集合中元素的特征集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性.只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的.三、元素与集合的关系如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A；如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A.四、常用的数集及其记法名称非负整数集(或自然数集)正整数集整数集有理数集实数集记法NN*或N＋ZQR五、列举法把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{__}”括起来表示集合的方法叫做列举法.六、描述法一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法.七、子集的含义(1)在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图.(2)子集的概念文字语言符号语言图形语言一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素，都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集A⊆B(或B⊇A)八、真子集与集合相等(1)集合相等：一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A＝B，也就是说，若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.(2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集.九、空集一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作.规定：空集是任何集合的子集.十、并集自然语言符号语言图形语言一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}十一、交集自然语言符号语言图形语言一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的交集A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}十二、交集与并集的运算性质(1)A∪A＝A，A∪∅＝A；A∩A＝A，A∩∅＝∅.(2)若集合A是集合B的子集，则A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.十三、全集与补集的含义一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U.文字语言对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA符号语言∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}图形语言十四、补集的性质①∁U(∁UA)＝A，∁UU＝∅，∁U∅＝U.②A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U.十五、全称量词与全称量词命题(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示.(2)常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”等.(3)全称量词命题：含有全称量词的命题叫做全称量词命题.全称量词命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x).十六、存在量词与存在量词命题存在量词存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的符号表示∃存在量词命题含有存在量词的命题形式“存在M中的元素x，p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，p(x)”十七、全称量词命题的否定(1)一般地，对一个命题进行否定，就可以得到一个新的命题，这一新命题称为原命题的否定.(2)一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假.全称量词命题全称量词命题的否定结论∀x∈M，p(x)∃x∈M，¬p(x)全称量词命题的否定是存在量词命题十八、存在量词命题的否定存在量词命题存在量词命题的否定结论∃x∈M，p(x)∀x∈M，¬p(x)存在量词命题的否定是全称量词命题十九、充分条件与必要条件命题真假“若p，则q”为真命题“若p，则q”为假命题推出关系p⇒qpq条件关系p是q的充分条件，q是p的必要条件p不是q的充分条件，q不是p的必要条件二十、充要条件命题真假若“p，则q”为真命题；“若q，则p”为真命题推出关系p⇔q条件关系p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件【热考题型】【考点1】集合及其表示方法一、单选题1．（2022秋·广东汕头·高一校考期中）下列说法中，正确的个数是（

）①的近似值的全体构成一个集合②自然数集N中最小的元素是0③在整数集Z中，若，则④一个集合中不可以有两个相同的元素A．1 B．2 C．3 D．42．（2023·全国·高一专题练习）下列说法正确的是（

）A．由1，2，3组成的集合可表示为或B．与是同一个集合C．集合与集合是同一个集合D．集合与集合是同一个集合3．（2023春·广东湛江·高一雷州市第一中学校考阶段练习）已知集合，，则（

）A． B． C． D．4．（2023秋·江西·高二宁冈中学校考开学考试）已知集合，，则（

）A． B． C．或 D．5．（2022·高一课时练习）若，则的值为（

）A． B． C．或 D．6．（2022·全国·高三专题练习）已知集合，则（

）A． B． C． D．7．（2023·全国·高一假期作业）下列说法：①集合用列举法可表示为{－1，0，1}；②实数集可以表示为{x|x为所有实数}或；③一次函数y＝x＋2和y＝－2x＋8的图像象交点组的集合为{x＝2，y＝4}，正确的个数为（）A．3 B．2C．1 D．08．（2022秋·高一课时练习）若，则可用列举法将集合表示为（）A．B．C．D．9．（2021·全国·高一专题练习）给出下列关系：①；②；③；④；⑤，其中正确的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4二、多选题10．（2023秋·高一单元测试）下列四个命题：其中不正确的命题为（

）A．是空集 B．若，则；C．集合有一个元素 D．集合是有限集.11．（2023秋·高一单元测试）设集合，且，则x的值可以为（

）A．3 B． C．5 D．三、填空题12．（2022·高一课时练习）用区间表示下列集合：；；；.13．（2022秋·上海浦东新·高一校考阶段练习）是单元素集，则实数的取值是．14．（2022秋·高一单元测试）已知集合，则集合B中有个元素．【考点2】集合的基本关系一、单选题1．（2023春·江西九江·高二统考期末）已知集合，则集合的子集个数为（

）A．1 B．2 C．4 D．82．（2023·全国·高一专题练习）若集合A满足，则集合A所有可能的情形有（

）A．3种 B．5种 C．7种 D．9种3．（2022秋·福建福州·高一校联考期中）已知集合，则下列关系中，正确的是（

）.A． B． C． D．4．（2023秋·江苏连云港·高三校考阶段练习）若集合,则能使成立的所有组成的集合为（

）A． B． C． D．5．（2021秋·浙江台州·高一台州市书生中学校考阶段练习）若，则的值为（

）A． B．3 C． D．76．（2023秋·全国·高一随堂练习）已知集合A＝{x|ax2+2x+a＝0，a∈R}，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值是（）A．1 B．﹣1 C．0，1 D．﹣1，0，1二、多选题7．（2022秋·陕西西安·高一高新一中校考期中）若集合，则之间的关系是（

）A． B． C． D．8．（2023·全国·高一专题练习）已知集合，，则下列命题中正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则或 D．若时，则或三、填空题9．（2022秋·上海黄浦·高一上海市光明中学校考期中）设集合，只有一个子集，则满足要求的实数．10．（2021秋·高一课时练习）已知集合，若，则实数a的取值范围为．【考点3】集合的基本运算一、单选题1．（2023·海南海口·海南华侨中学校考二模）已知集合，则（

）A． B． C． D．2．（2023秋·重庆·高三统考开学考试）已知集合，，，则（

）A．或 B．或 C．或 D．或或3．（2023春·辽宁·高二凤城市第一中学校联考阶段练习）已知集合，集合，则（

）A． B． C． D．4．（2023春·陕西西安·高二校考阶段练习）已知集合，，，则（

）A．或 B． C．或 D．5．（2023春·江西萍乡·高一萍乡市安源中学校考期末）已知集合或，则（

）A． B． C． D．6．（2022秋·重庆渝中·高一重庆巴蜀中学校考阶段练习）为丰富学生的课外活动，学校开展了丰富的选修课，参与“数学建模选修课”的有169人，参与“语文素养选修课”的有158人，参与“国际视野选修课”的有145人，三项选修课都参与的有30人，三项选修课都没有参与的有20人，全校共有400人，问只参与两项活动的同学有多少人？（

）A．30 B．31 C．32 D．337．（2023春·江西九江·高一德安县第一中学校考期末）已知集合，则下图中阴影部分表示的集合为（

）A． B． C． D．二、多选题8．（2022秋·广东潮州·高一校考阶段练习）设全集，集合，若，则（

）A． B． C． D．，9．（2021秋·高一单元测试）已知全集U={1,2,3,4,5,6}，集合P={1,3,5}，Q={1,2,4}，则下列结论正确的是（）A．={1} B．={1,2,3,4,5,6}C．={1,2,4,6} D．={3,5}三、填空题10．（2022春·山西临汾·高二校考阶段练习）某学校开设校本课程，高一（2110）班确定了数学类､英语类､历史类三个类别校本课程供班上的40名学生选择参加，且40名学生全部参与选择.其中只选数学类的有8人，只选英语类的有8人，只选历史类的有8人，既选数学类又选英语类的有7人，既选数学类又选历史类的有11人，既选英语类又选历史类的有8人，则三类课程都选择参加的有人.11．（2021秋·辽宁沈阳·高一沈阳市第八十三中学校考开学考试）设全集U={1，2，3，4，5}，∁U（A∪B）={1}，A∩（∁UB）={3，4，5}，则集合B=12．（2022·高一课时练习）函数的定义域为，图象如图1所示；函数的定义域为，图象如图2所示.若集合，，则中有个元素.【考点4】命题与量词一、单选题1．（2020秋·云南德宏·高一校考阶段练习）下列语句是命题的一句是A．x—1=0 B．2+3=8 C．你会说英语吗 D．这是一棵大树2．（2023·江苏·高一假期作业）下列命题中真命题有（）①是一元二次方程；②函数的图象与x轴有一个交点；③互相包含的两个集合相等；④空集是任何集合的真子集．A．1个 B．2个C．3个 D．4个3．（2021·高一课前预习）命题“正方形的四条边都相等”中的条件是A．正方形 B．正方形的四条边 C．四条边 D．四条边都相等4．（2021·高一单元测试）命题,若是真命题,则实数的取值范围为(

)A． B． C． D．【考点5】全称量词命题与存在量词命题的否定一、单选题1．（2022秋·辽宁大连·高一大连市第十二中学校考阶段练习）下列命题的否定中，是全称量词命题且为真命题的是（）A．， B．所有的正方形都是矩形C． D．至少有一个实数x，使2．（2022·全国·高三专题练习）命题的否定为（

）A． B．C． D．3．（2023·河北·模拟预测）命题：，，命题：，，则（

）A．真真 B．假假 C．假真 D．真假4．（2023秋·安徽芜湖·高一安徽师范大学附属中学校考期末）若命题“，”为真命题，则的取值范围是（

）A． B．C． D．5．（2022秋·安徽安庆·高三安庆市第九中学校考阶段练习）命题，，则为（

）A．， B．，C．， D．，6．（2022秋·贵州贵阳·高一贵阳一中校考阶段练习）若命题:，则（

）A．命题为真命题，且：B．命题为真命题，且：C．命题为假命题，且：D．命题为假命题，且：7．（2022·江苏·高一期中）命题p：，使得成立.若p为假命题，则的取值范围是（

）A． B． C． D．8．（2021秋·广东广州·高一校考阶段练习）已知命题：∃，；命题：∀，.若、都为假命题，则实数的取值范围是()A．[1，＋∞) B．(－∞，－1] C．(－∞，－2] D．[－1,1]二、多选题9．（2023春·新疆·高二统考期末）下列四个命题中假命题是（

）A．， B．，C．，使 D．，10．（2023·全国·高一假期作业）已知命题，，若p为真命题，则实数a的值可以是（

）A． B．0 C． D．三、填空题11．（2022秋·福建厦门·高一厦门市海沧中学校考期中）设命题，，则命题p的否定为.12．（2022秋·陕西榆林·高二校考阶段练习）若“”是假命题，则实数的取值范围是.【考点6】充分条件、必要条件一、单选题1．（2023春·江西九江·高二校考期末）“”是“方程无实数解”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，．若“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围是（

）A． B．