吉林省长春市市第八十二中学2022年高三数学文期末试卷含解析

吉林省长春市市第八十二中学2022年高三数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.对任意的实数，，不等式恒成立，则实数的最大值是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A略2.集合，，则A．

B．

C．

D．参考答案：D3.已知等差数列{an}的前项和为Sn，且S5=30，则a3=（）A．6 B．7 C．8 D．9参考答案：A【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的前n项和公式及其性质即可得出．【解答】解：由等差数列的前n项和公式及其性质可得：S5=30==5a3，解得a3=6．故选：A．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4.设集合，，则（

）A. B. C. D.参考答案：【分析】本题考查集合的表示与运算，难度不大，掌握表示方法、了解运算概念即可解决。集合的核心考察主要就集中在集合的表示和运算上，常与基本的解不等式结合考察；同时还要强调，集合作为基本的数学语言，考生应该注意掌握，可以读懂用集合语言表述的答案，同时也可以灵活使用集合语言表述数学问题。【解】C.，，通过数轴表示可知，两个集合的公共部分为，即，故选C.5.已知函数，其中为实数，若

对恒成立，且

，则的单调递增区间是（

）参考答案：C略6.已知向量，的夹角为，且，||=2，在△ABC中，，D为BC边的中点，则=（）A．2 B．4 C．6 D．8参考答案：A考点： 向量的模．专题： 计算题．分析： 利用D为BC边的中点，，再利用向量的模的定义求出向量的模．解答： 解：=，故选A．点评： 本题考查两个向量的加减法的法则，两个向量的数量积的定义，向量的模的定义，求向量的模的方法．7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是A、2B、C、4D、

参考答案：B先考虑将主视图补成正方形，则三视图中两个正方形一个等腰三角形构成的几何体如下图中的三棱柱ABC-EDF,，再考虑视图内部的线，可以知道该几何体是三棱柱ABC-EDF截去三棱锥E-ADF余下的部分。所以V=8.函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数是()A．0

B．1

C．2

D．3参考答案：B略9.已知过点A(a,0)作曲线的切线有且仅有两条，则实数a的取值范围是A．(－∞,－4)∪(0,+∞)

B．(0,+∞)C．(－∞,－1)∪(1,+∞)

D．(－∞,－1)参考答案：A10.在△ABC中，，，，则（

）A. B. C. D.参考答案：B依题意有，由余弦定理得，由正弦定理得.点睛：本题主要考查三角形面积公式，考查正弦定理和余弦定理的应用.由于已知三角形的面积和三角形一个角和一条边，首先根据三角形面积公式求出另一条边，再根据余弦定理求出第三条边，最后利用正弦定理求得相应的比值.在解三角形的题目中往往正弦定理和余弦定理都需要考虑.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知F是抛物线y2＝4x的焦点，A，B是抛物线上两点，若△AFB是正三角形，则△AFB的边长为________．参考答案：12.已知命题p：?x∈R，x3－x2＋1≤0，则命题p是____________________．参考答案：?x∈R，x3－x2＋1＞0略13.正方体的8个顶点中，有4个恰是正四面体的顶点，则正方体与正四面体的表面积之比为．参考答案：：1【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】作图分析．【解答】解：如图：设正方体的棱长为a，则正方体的表面积为S=6a2；正四面体的边长为则其表面积为4?sin60°=2a2；则面积比为6a2：2a2=：1．故答案为：：1．【点评】考查了学生的空间想象力．14.若变量x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为

．参考答案：4【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（3，2），化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z，由图可知，当直线y=2x﹣z过点A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为4．故答案为：4．15.若双曲线:的焦距为，点在的渐近线上，则的方程为

.参考答案：略16.一盒中有6个小球，其中4个白球，2个黑球?从盒中一次任取3个球，若为黑球则放回盒中，若为白球则涂黑后再放回盒中．此时盒中黑球个数X的均值E（X）=．参考答案：4考点：离散型随机变量的期望与方差．专题：计算题；概率与统计．分析：由题意可得，当取出的3个小球全为白色时，X=5，当取出的小球是2白1黑时，X=4，当取出的小球是1白2黑时X=3，根据等可能事件的概率公式求出概率，进而可求期望值解答：解：由题意可得X可能取值为3，4，5P（X=3）==P（X=4）==P（X=5）==E（X）==4故答案为：4点评：本题主要考查了离散型随机变量的期望值的求解，解题的关键是随机变量取不同值时所对应的情况要准确求出17.平面向量中，若，且，则向量____________．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都是2，D，E分别是AC，CC1的中点．（1）求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值．

参考答案：（1）证明见解析；（2）．（1）∵，是的中点，∴，∵平面，∴平面平面，∴平面，∴．又∵在正方形中，，分别是，的中点，易证得：，∴，∵，∴，即．又，∴平面，平面，所以平面平面．（2）取中点，以，，为，，轴建立空间直角坐标系，，，，，，，，，设平面的一个法向量为，则，令，则，设平面的一个法向量为，则，令，则，设二面角的平面角为，观察可知为锐角，，故二面角的余弦值为．19.（本小题满分12分）

设椭圆：的左、右焦点分别为，上顶点为，过点与垂直的直线交轴负半轴于点，且．

（1）求椭圆的离心率；

（2）若过、、三点的圆恰好与直线：相切，求椭圆的方程；

（3）在（2）的条件下，过右焦点作斜率为的直线与椭圆交于、两点，在轴上是否存在点使得以为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出的取值范围，如果不存在，说明理由。参考答案：（1）解：设Q（x0，0），由（c，0），A（0，b）

知

，

由于

即为中点．

故，

故椭圆的离心率

（3分）

（2）由⑴知得于是（，0）Q，

△AQF的外接圆圆心为（-，0），半径r=|FQ|=所以，解得=2，∴c=1，b=，

所求椭圆方程为

（6分）

（3）由（Ⅱ）知

：

代入得

设，

则，

（8分）

由于菱形对角线垂直，则

故

则

（10分）

由已知条件知且

故存在满足题意的点P且的取值范围是．

（12分）20.

如图，为圆的直径，点，在圆上，，矩形和圆所在的平面互相垂直，已知，．（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）当的长为何值时，二面角的大小为．参考答案：（Ⅰ）∵平面平面，平面平面，∴平面，∵平面，∴，又∵为圆的直径，∴，∴平面，∵平面，∴平面平面（Ⅱ）设中点为，以为坐标原点，方向分别为轴、轴、轴方向建立空间直角坐标系（如图）．设，则点的坐标为，则，又，∴，设平面的法向量为，则，即，令，解得．∴．由（1）可知平面，取平面的一个法向量为，∴，即，解得，因此，当的长为时，平面与平面所成的锐二面角的大小为60°。21.（12分）如图，P—ABC中，D是AC的中点，PA=PB=PC=

（1）求证：PD⊥平面ABC；

（2）求二面角P—AB—C的大小；

（3）求AB的中点E到平面PBC的距离.

参考答案：解析：方法一：（1）证明：连结BD，∵D分别是AC的中点，PA=PC=∴PD⊥AC，∵AC=2，AB=，BC=∴AB2+BC2=AC2，∴∠ABC=90°，即AB⊥BC.…………2分∴BD=，∵PD2=PA2—AD2=3，PB∴PD2+BD2=PB2，∴PD⊥BD，∵ACBD=D∴PD⊥平面ABC.…………4分（2）解：取AB的中点E，连结DE、PE，由E为AB的中点知DE//BC，∵AB⊥BC，∴AB⊥DE，∵DE是直线PE的底面ABC上的射景∴PE⊥AB∴∠PED是二面角P—AB—C的平面角，……6分在△PED中，DE=∠=90°，∴tan∠PDE=∴二面角P—AB—C的大小是（3）解：设点E到平面PBC的距离为h.∵VP—EBC=VE—PBC，∴……10分在△PBC中，PB=PC=，BC=而PD=∴∴点E到平面PBC的距离为……12分方法二：（1）同方法一：（2）解：解：取AB的中点E，连结DE、PE，过点D作AB的平行线交BC于点F，以D为原点，DE为x轴，DF为y轴，DP为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则D（0，0，0），P（0，0，），E（），B=（）设上平面PAB的一个法向量，则由这时，……6分显然，是平面ABC的一个法向量.∴∴二面角P—AB—C的大小是……8分（3）解：设平面PBC的一个法向量，由得令是平面PBC的一个法向量……10分又∴点E到平面PBC的距离为………………12分22.在平面直角坐标系xOy中．已知直线l的普通方程为x﹣y﹣2=0，曲线C的参数方程为（θ为参数），设直线l与曲线C交于A，B两点．（1）求线段AB的长（2）已知点P在曲线C上运动．当△PAB的面积最大时，求点P的坐标及△PAB的最大面积．参考答案：【分析】（1）根据题意，将曲线C的参数方程变形为普通方程，将直线x﹣y﹣2=0代入其中，可得x2﹣3x=0，解可得x的值，由弦长公式计算可得答案；（2）分析可得要使△PAB的面积最大，则必须使P到直线直线l的距离最大，设P的坐标为（2cosθ，2sinθ），其中θ∈[0，2π），由点到直线l的距离公式可得d=，由余弦函数的性质分析可得当θ+=π，即θ=时，d取得最大值，代入点的坐标（2cosθ，2sinθ）中可得P的坐标，进而计算可得△PAB的最大面积，即可得答案．【解答】解：（1）根据题意，曲线C的参数方程为，则其普通方程为：+=1，将直线x﹣y﹣2=0代