专题06线段角的轴对称性（3个知识点11种题型2种中考考法）（原卷版）

专题06线段、角的轴对称性（3个知识点11种题型2种中考考法）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1.线段的轴对称性（重点）知识点2.线段的垂直平分线的作法（重点）知识点3.角的轴对称性（重点）【方法二】实例探索法题型1.应用线段垂直平分线的性质求线段的长题型2.线段垂直平分线的性质与全等三角形的综合运用题型3.利用角平分线的性质说明线段相等题型4角平分线的性质与三角形面积的综合运用题型5.角平分线的性质与全等三角形综合题型6.角平分线性质与判定的综合应用题型7.添加辅助线解决角平分线的问题题型8.利用角平分线的判定求角的度数题型9.角平分线性质在生活中的应用题型10.利用线段垂直平分线与角平分线的性质作图题型11.线段垂直平分线与角平分线的综合应用【方法三】仿真实战法【方法四】成果评定法【学习目标】能够通过折纸画等操作，体会线段和角的轴对称性，发展空间观念。掌握线段的垂直平分线和角的平分线的性质定理及判定定理，并能进行计算、证明。掌握线段垂直平分线的作法。通过探索、猜测、证明的过程，进一步发展合情推理和演绎推理的能力。【知识导图】【倍速学习五种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.线段的轴对称性（重点）（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．【例1】（2022秋•太仓市期末）如图，△ABC中，∠B＝50°，∠C＝20°，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F，G，连接AE，则∠EAG＝．【例2】如图所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，试说明AD与EF的关系．知识点2.线段的垂直平分线的作法（重点）求做线段AB的垂直平分线作法：（1）分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点；（2）作直线CD，CD即为所求直线．要点诠释：作弧时的半径必须大于AB的长，否则就不能得到交点了．知识点3.角的轴对称性（重点）角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE【例3】如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以E、F为圆心，大于eq\f(1,2)EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP，交CD于点M.若∠ACD＝120°，求∠MAB的度数．【例4】如图，BE＝CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB＝DC，求证：AD是∠BAC的平分线．【方法二】实例探索法题型1.应用线段垂直平分线的性质求线段的长1.如图，在△ABC中，AB＝AC＝20cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于D，若△DBC的周长为35cm，则BC的长为()A．5cmB．10cmC．15cm题型2.线段垂直平分线的性质与全等三角形的综合运用2.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F.求证：(1)FC＝AD；(2)AB＝BC＋AD.题型3.利用角平分线的性质说明线段相等3.如图：在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD＝DF.求证：(1)CF＝EB；(2)AB＝AF＋2EB.题型4角平分线的性质与三角形面积的综合运用4.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是()A．6B．5C．4D．3题型5.角平分线的性质与全等三角形综合5.如图所示，D是△ABC外角∠ACG的平分线上的一点．DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分别为E，F.求证：CE＝CF.题型6.角平分线性质与判定的综合应用6.如图所示，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，下面给出四个结论，①AD平分∠EDF；②AE＝AF；③AD上的点到B、C两点的距离相等；④到AE、AF距离相等的点，到DE、DF的距离也相等．其中正确的结论有()A．1个B．2个C．3个D．4个题型7.添加辅助线解决角平分线的问题7.如图，已知：△ABC的∠ABC和∠ACB的外角平分线交于点D.求证：AD是∠BAC的平分线．题型8.利用角平分线的判定求角的度数8.在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC的度数为()A．110°B．120°C．130°D．140°题型9.角平分线性质在生活中的应用9.已知：如图，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个塔台，若要求它到三条公路的距离都相等，试问：(1)可选择的地点有几处？(2)你能画出塔台的位置吗？题型10.利用线段垂直平分线与角平分线的性质作图10．（2023秋·江苏南京·八年级统考期末）已知，求作点P，使得点P与三个顶点中的任意两个顶点连接形成的三角形都是等腰三角形（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．11．（2022秋·江苏宿迁·八年级统考期中）如图，校园有两条路、，在交叉口附近有两块宣传牌、，学校准备在这里安装一盏路灯，要求灯柱的位置离两块宣传牌一样远，并且到两条路的距离也一样远，请你用尺规作出灯柱的位置点．（请保留作图痕迹）12．作图题：（1）在图1中，画出关于直线的对称图形．（2）在图2中，已知和、两点，在内部找一点，使，且到的两边、的距离相等．13．已知，如图，在△ACB中，∠C=90°．（1）作∠B的平分线BD交AC于点D．（要求尺规作图，保留痕迹）（2）过点D作斜边AB的垂线段，垂足为点E．（要求尺规作图，保留痕迹）（3）求证：CD=ED．题型11.线段垂直平分线与角平分线的综合应用14.如图，在四边形ADBC中，AB与CD互相垂直平分，垂足为点O.(1)找出图中相等的线段；(2)OE，OF分别是点O到∠CAD两边的垂线段，试说明它们的大小有什么关系．【方法三】仿真实战法15．（2023•青海）如图，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线．若AB＝5，AC＝8，则△ABD的周长是．16．（2023•丽水）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，∠B＝∠ADB．若AB＝4，则DC的长是．17．（2020•牡丹江）在△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分斜边AB，分别交AB、BC于D、E．若∠CAB＝∠B+30°，求∠AEB．18．（2022•北京）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB．若AC＝2，DE＝1，则S△ACD＝．【方法四】成果评定法一、单选题1．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，直线是线段的垂直平分线，为直线上的一点，已知线段，则线段的长度为（）

A．3 B．4 C．6 D．72．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如所示图形中，若，能判断点在的平分线上的是（）A． B．C． D．3．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，在中，，若，，平分，则点到的距离等于（）A．4 B．3 C．2 D．14．（2023秋·江苏淮安·八年级校考期末）如图，在中，，，按以下步骤作图：①以B为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于M、N两点；②分别以M、N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作射线，交边于点D．则的度数是（

）

A． B． C． D．5．（2022秋·江苏南京·八年级校考阶段练习）甲、乙、丙三家分别位于的三个顶点处，现要建造一个核酸检测点，使得三家到核酸检测点的距离相等，则核酸检测点应建造在（）A．三边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点C．三条高的交点 D．三条中线的交点6．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，中，平分，的垂直平分线交于点，交于点，连接．若，，则的度数为（）

A． B． C． D．7．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，在中，，平分交于点，若，的面积为16，则的长为（）

A．2 B．4 C．6 D．88．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，，分别平分，过点且与垂直．若，，则的面积为（）A．20 B．16 C．40 D．329．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，已知，平分，点在上，于，，点是射线上的动点，则的最小值为（

）A． B． C． D．10．（2022秋·江苏·八年级阶段练习）如图，在△ABC中，AB＞AC，AD是△ABC的角平分线，点E在AC上，过点E作EF⊥BC于点F，延长CB至点G，使BG＝2FC，连接EG交AB于点H，EP平分∠GEC，交AD的延长线于点P，连接PH，PB，PG，若∠C＝∠EGC+∠BAC，则下列结论：①∠APE＝∠AHE；②PE＝HE；③AB＝GE；④S△PAB＝S△PGE．其中正确的有（）A．①②③ B．①②③④ C．①② D．①③④二、填空题11．（2022秋·江苏连云港·八年级统考期中）如图，是的边的垂直平分线，垂足为点、交于点，且，的周长为，则的长为．

12．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，在中，是边上的高线，的平分线交于E，当，的面积为2时，的长为．13．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，平分于点D，点E为射线上一动点，若，则的最小值为．14．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，已知的周长是22，、分别平分和，于D，且，的面积是．

15．（2023秋·江苏南京·八年级统考期末）如图，在中，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线，交于点D，交于点E，连接．若的长为，的周长是，则的长为．16．（2022秋·江苏·八年级专题练习）根据光学中平面镜光线反射原理，入射光线、反射光线与平面镜所夹的角相等．如图，是两面互相平行的平面镜，一束光线m通过镜面反射后的光线为n，再通过镜面β反射后的光线为k．光线m与镜面的夹角的度数为，光线n与光线k的夹角的度数为．则x与y之间的数量关系是．17．（2022秋·江苏·八年级专题练习）四边形ABCD中，∠BAD＝125°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，当三角形AMN周长最小时，∠MAN的度数为．18．（2021秋·江苏连云港·八年级统考期中）如图，在中，、的垂直平分线分别交于、两点，并且相交于点，且，则的度数是．三、解答题19．（2020秋·江苏淮安·八年级统考期中）如图，若AC＝12，BC＝7，AB的垂直平分线交AB于E，交AC于D，求△BCD的周长．

20．（2023秋·江苏·八年级专题练习）在中，垂直平分，点在的延长线上，且满足，求证：点在线段垂直平分线上．21．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，、交于A点，请确定M点，使它到、的距离相等．（用直尺和圆规）

22．（2023秋·江苏·八年级专题练习）已知中，是的角平分线，于点．

(1)，求的度数；(2)，求．23．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，在中，垂直平分，平分．

(1)若，求的度数；(2)若，与的周长之差为，且的面积为，求的面积．24．（2023秋·江苏·八年级专题练习）.如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等．发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置．（保留作图痕迹）25．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，在中，D，E分别为，边上一点，连接，，，过点E向作垂线，交的延长线于点F．已知平分．平分，．

(1)求证：平分；(2)若，，，求．26．（2023秋·江苏·八年级专题练习）在中，已知，，平分，于E，请解答下列问题：(1)若，则D点到边的距离是．(2)若，则的周长为．(3)连接，试判断线段与的位置关系，并说明理由．27．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，四边形中，，E是的中点，平分．

(1)求证：平分；(2)判断、、之间的数量关系，并证明；(3)若，，求．28．（2022秋·江苏·八年级期中）【了解概