全等三角形的性质及应用（测试）

专题03全等三角形的性质及应用专题测试学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．（2018秋•西湖区校级月考）如图，点F、A、D、C在同一直线上，△ABC≌△DEF，DF＝4，则AC等于（）A．4 B．5 C．6 D．7【点拨】根据全等三角形的性质得出AC＝DF，即可得出选项．【解析】解：∵△ABC≌△DEF，DF＝4，∴AC＝DF＝4，故选：A．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，能熟记全等三角形的性质的内容是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．2．（2019春•临安区期中）如图，△ACB≌△A′CB′，∠ACB＝70°，∠ACB′＝100°，则∠BCA′的度数为（）A．30° B．35° C．40° D．50°【点拨】根据全等三角形的性质和角的和差即可得到结论．【解析】解：∵△ACB≌△A′CB′，∴∠A′CB′＝∠ACB＝70°，∵∠ACB′＝100°，∴∠BCB′＝∠ACB′﹣∠ACB＝30°，∴∠BCA′＝∠A′CB′﹣∠BCB′＝40°，故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．3．（2018秋•绍兴期末）如图，△ABC≌△EDC，BC⊥CD，点A，D，E在同一条直线上，∠ACB＝20°，则∠ADC的度数是（）A．55° B．60° C．65° D．70°【点拨】根据全等三角形的性质和三角形内角和解答即可．【解析】解：∵，△ABC≌△EDC．∴∠DCE＝∠ACB＝20°，∠BCD＝∠ACE＝90°，AC＝CE，∴∠ACD＝90°﹣20°＝70°，∵点A，D，E在同一条直线上，∴∠ADC+∠EDC＝180°，∵∠EDC+∠E+∠DCE＝180°，∴∠ADC＝∠E+20°，∵∠ACE＝90°，AC＝CE∴∠DAC+∠E＝90°，∠E＝∠DAC＝45°在△ADC中，∠ADC+∠DAC+∠DCA＝180°，即45°+70°+∠ADC＝180°，解得：∠ADC＝65°，故选：C．【点睛】此题考查全等三角形的性质，关键是根据全等三角形的性质和三角形内角和解答．4．（2018秋•西湖区校级月考）如图所示，△ABE≌△ADC≌△ABC，若∠1：∠2：∠3＝28：5：3，则∠α的度数为（）A．80° B．100° C．60° D．45°【点拨】设∠1、∠2、∠3分别为28x、5x、3x，三角形内角和定理列出方程，分别求出∠1、∠2、∠3的度数，根据翻折变换的性质和三角形内角和定理计算即可．【解析】解：设∠1、∠2、∠3分别为28x、5x、3x，由三角形内角和定理得，28x+5x+3x＝180°，解得，x＝5°，则∠1、∠2、∠3分别为140°、25°、15°，由翻折变换的性质可知，∠EAC＝360°﹣∠1﹣∠BAE＝80°，∠E＝∠3＝∠DCA，∠a＝∠EAC＝80°，故选：A．【点睛】本题考查的是翻折变换的性质、三角形内角和定理，掌握翻折变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．5．（2019•湖州）如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是（）A．24 B．30 C．36 D．42【点拨】过D作DH⊥AB交BA的延长线于H，根据角平分线的性质得到DH＝CD＝4，根据三角形的面积公式即可得到结论．【解析】解：过D作DH⊥AB交BA的延长线于H，∵BD平分∠ABC，∠BCD＝90°，∴DH＝CD＝4，∴四边形ABCD的面积＝S△ABD+S△BCD＝AB•DH+BC•CD＝×6×4+×9×4＝30，故选：B．【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．6．（2019秋•台州期中）如图，在△ABC中，∠CAB＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，若CD＝4，则AD的长为（）A．2 B．3 C．4 【点拨】作DE⊥BC于E，根据三角形内角和定理求出∠C，根据直角三角形的性质求出DE，根据角平分线的性质定理解答．【解析】解：作DE⊥BC于E，∠C＝180°﹣∠CAB﹣∠ABC＝30°，∴DE＝CD＝2，∵BD平分∠ABC，∠CAB＝90°，DE⊥BC，∴AD＝DE＝2，故选：A．【点睛】本题考查的是角平分线的性质，直角三角形的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．7．（2019秋•龙湾区期中）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，DE是AC边的中垂线，分别交AC，AB于点E，D，则△DBC的周长为（）A．6 B．7 C．8 D．9【点拨】根据勾股定理求出AB，根据线段的垂直平分线的性质得到DA＝DC，根据三角形的周长公式计算即可．【解析】解：∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝＝5，∵DE是AC边的中垂线，∴DA＝DC，△DBC的周长＝BD+CD+BC＝BD+AD+BC＝5+3＝8，故选：C．【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．8．（2019•诸城市二模）如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线MN交AB于点D，连接CD．若CD＝AC，∠A＝50°，则∠ACB的度数为（）A．90° B．95° C．100° D．105°【点拨】由CD＝AC，∠A＝50°，根据等腰三角形的性质，可求得∠ADC的度数，又由题意可得：MN是BC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得：CD＝BD，则可求得∠B的度数，继而求得答案．【解析】解：∵CD＝AC，∠A＝50°，∴∠ADC＝∠A＝50°，根据题意得：MN是BC的垂直平分线，∴CD＝BD，∴∠BCD＝∠B，∴∠B＝∠ADC＝25°，∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝105°．故选：D．【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．注意垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．9．（2018秋•苍南县期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，斜边AB的中垂线DE分别交BC，AB于点D，E．已知BD＝5，CD＝3，则AC的长为（）A．8 B．4 C． D．2【点拨】根据线段垂直平分线的性质和勾股定理即可得到结论．【解析】解：∵斜边AB的中垂线DE分别交BC，AB于点D，E，∴AD＝BD＝5，∵CD＝3，∴AC＝＝4，故选：B．【点睛】本题考查的是勾股定理，线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．10．（2018秋•长兴县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E，则下列结论：①AD平分∠CDE；②∠BAC＝∠BDE；③DE平分∠ADB；④若AC＝4BE，则S△ABC＝8S△BDE．其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【点拨】根据题中条件，结合图形及角平分线的性质得到结论，与各选项进行比对，排除错误答案，选出正确的结果．【解析】解：∵AD平分∠BAC，∴∠DAC＝∠DAE，∵∠C＝90°，DE⊥AB，∴∠C＝∠E＝90°，∵AD＝AD，∴△DAC≌△DAE（AAS），∴∠CDA＝∠EDA，∴①AD平分∠CDE正确；无法证明∠BDE＝60°，∴③DE平分∠ADB错误；∵BE+AE＝AB，AE＝AC，∵AC＝4BE，∴AB＝5BE，AE＝4BE，∴S△ADB＝5S△BDE，S△ADC＝4S△BDE，∴S△ABC＝9S△BDE，∴④错误；∵∠BDE＝90°﹣∠B，∠BAC＝90°﹣∠B，∴∠BDE＝∠BAC，∴②∠BAC＝∠BDE正确．故选：B．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，是一道结论开放性题目，考查了学生利用角平分线的性质解决问题的能力，有利于培养发散思维能力．二、填空题11．（2019秋•苍南县期中）如图，已知△ABC≌△DEF，A和D是对应顶点，若∠A＝80°，∠B＝65°，则∠F＝35°．【点拨】利用三角形内角和定理可得∠ACB，再根据全等三角形的性质可得∠F＝∠ACB＝35°．【解析】解：∵∠A＝80°，∠B＝65°，∴∠ACB＝180°﹣80°﹣65°＝35°，∵△ABC≌△DEF，∴∠F＝∠ACB＝35°，故答案为：＝35．【点睛】此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应角相等．12．（2017秋•嵊州市期末）如图，已知△ABC≌△EDF，点F，A，D在同一条直线上，AD是∠BAC的平分线，∠EDA＝30°，∠E＝70°，则∠ADC的度数是65°．【点拨】由全等三角形的性质可求得∠B和∠BAC的度数，由角平分线可求得∠BAD的度数，利用三角形的外角可求得∠ADC的度数．【解析】解：∵△ABC≌△EDF，∴∠B＝∠EDA＝30°，∠BAC＝∠E＝70°，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD＝∠BAC＝35°，∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝30°+35°＝65°，故答案为：65°．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键，即对应角相等、对应边相等．13．（2019秋•慈溪市期中）如图，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，若S△ABC＝12，DF＝2，AC＝5，则AB的长是7．【点拨】依据角平分线的定义即可求出DE的值，代入三角形面积公式得出关于AB的方程，求出AB即可．【解析】解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF＝2，∵S△ABC＝S△ABD+S△ACD，∴12＝×AB×DE+×AC×DF，即24＝AB×2+5×2，∴AB＝7，故答案为：7．【点睛】本题考查了角平分线性质，三角形的面积的应用，解题时注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．14．（2019秋•诸暨市期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝110°，EF，MN分别为AB，AC的垂直平分线，则∠FAN＝40°．【点拨】根据三角形内角和定理求出∠B+∠C的度数，根据线段的垂直平分线的性质得到FA＝FB，NA＝NC，得到∠BAF＝∠B，∠CAN＝∠C，进而得出结论．【解析】解：∵∠BAC＝110°，∴∠B+∠C＝70°，∵EF，MN分别为AB，AC的垂直平分线，∴FA＝FB，NA＝NC，∴∠BAF＝∠B，∠CAN＝∠C，∴∠BAF+∠CAN＝70°，∴∠FAN＝∠BAC﹣（∠BAF+∠CAN）＝110°﹣70°＝40°，故答案为：40°．【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．15．（2018秋•江干区期末）在平面直角坐标系中，已知A（2，3），B（﹣1，3），C（0，5），若△CAB与△DBA全等，则点D的坐标为（0，1）或（1，1）或（1，5）．【点拨】根据题意画出符合条件的图形，根据图形结合A、B、C的坐标即可得出答案．【解析】解：如图所示，共有3个符合条件的点，∵△CAB与△DBA全等，∴AB＝AB，BC＝AD或BC＝BD，∵A（2，3），B（﹣1，3），C（0，5），∴D1的坐标是（0，1），或（1，1）或（1，5）．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和坐标与图形性质，注意要进行分类讨论，能求出符合条件的所有情况是解此题的关键．16．（2019秋•鄞州区期中）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，过点G作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点G作GD⊥AC于D，下列三个结论：①EF＝BE+CF；②∠BGC＝90°+∠A；③点G到△ABC各边的距离相等；其中正确的结论有①②③（填序号）【点拨】根据角平分线的定义得出∠EBG＝∠CBG，∠FCG＝∠BCG，根据平行线的性质得出∠EGB＝∠GBC，∠FGC＝∠BCG，求出∠EGB＝∠EBG，∠FCG＝∠FGC，根据等腰三角形的判定得出BE＝EG，FG＝CF，即可判断①；根据三角形的内角和定理求出②即可；根据角平分线的性质求出③即可．【解析】解：∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，∴∠EBG＝∠CBG，∠FCG＝∠BCG，∵EF∥BC，∴∠EGB＝∠GBC，∠FGC＝∠BCG，∴∠EGB＝∠EBG，∠FCG＝∠FGC，∴BE＝EG，FG＝CF，∴EF＝EG+FG＝BE+CF，故①正确；∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，∴∠CBG＝ABC，∠BCG＝，∴∠GBC+∠GCB＝+ACB＝（180°﹣∠A）＝90°﹣A，∴∠BGC＝180°﹣（∠GBC+∠GCB）＝180°﹣（90°﹣A）＝90°+A，故②正确；过G作GQ⊥AB于Q，GW⊥BC于W，∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，GD⊥AC，∴GQ＝GW，GW＝GD，∴GQ＝GW＝GD，即点G到△ABC各边的距离相等，故③正确；故答案为：①②③．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的性质定理，平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．三、解答题17．（2019秋•椒江区校级月考）如图，△ABC≌△ADE，BC的延长线分别交AD，DE于点F，G，且∠DAC＝10°，∠B＝∠D＝25°，∠EAB＝120°，求∠DFB和∠DGB的度数．【点拨】先根据全等三角形的性质得∠BAC＝∠DAE，由于∠DAE+∠CAD+∠BAC＝120°，则可计算出∠BAC＝55°，所以∠BAF＝∠BAC+∠CAD＝65°，根据三角形外角性质可得∠DFB＝∠BAF+∠B＝90°，∠DGB＝65°．【解析】解：∵△ABC≌△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，∵∠EAB＝120°，∴∠DAE+∠CAD+∠BAC＝120°，∵∠CAD＝10°，∴∠BAC＝（120°﹣10°）＝55°，∴∠BAF＝∠BAC+∠CAD＝65°，∴∠DFB＝∠BAF+∠B＝65°+25°＝90°；∵∠DFB＝∠D+∠DGB，∴∠DGB＝90°﹣25°＝65°．【点睛】本题考查了全等三角形的性质：全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边．18．（2019秋•慈溪市期中）如图，△ABC中，∠C＝90°，边AB的垂直平分线交AB、AC分别于点D，点E，连结BE．（1）若∠A＝40°，求∠CBE的度数．（2）若AB＝10，BC＝6，求△BCE的面积．【点拨】（1）根据三角形内角和定理求出∠CBA，根据线段垂直平分线的性质得到BE＝AE，得到∠EBA＝∠A＝40°，结合图形计算即可；（2）根据勾股定理求出AC，设CE＝x，根据勾股定理列式求出x，根据三角形的面积公式计算，得到答案．【解析】解：（1）∵∠C＝90°，∠A＝40°，∴∠CBA＝50°，∵DE是AB的垂直平分线∴BE＝AE，∴∠EBA＝∠A＝40°，∴∠CBE＝∠CBA﹣∠EBA＝10°；（2）∵AB＝10，BC＝6，∴AC＝＝8，设CE＝x，则AE＝BE＝8﹣x∴62+x2＝（8﹣x）2，解得：，∴△BCE的面积为．【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．19．（2018秋•奉化区期末）如图，已知AC∥BD，AE，BE分别平分∠CAB和∠DBA，点E在线段CD上．（1）求∠AEB的度数；（2）求证：CE＝DE．【点拨】（1）由平行线得到∠CAB+∠ABD＝180°，根据角平分线定义表示出∠EAB、∠EBA，计算这两个的和，便可求∠AEB度数；（2）在AB上截取AF＝AC，连接EF，分别证明△ACE≌△AFE，△DEB≌△FEB，借助CE＝EF，DE＝EF，可证CE＝DE．【解析】解：（1）∵AC∥BD，∴∠CAB+∠ABD＝180°．∵AE平分∠CAB，∴∠EAB＝∠CAB．同理可得∠EBA＝∠ABD．∴∠EAB+∠EBA＝90°，∴∠AEB＝90°；（2）如图，在AB上截取AF＝AC，连接EF，在△ACE和△AFE中，∴△ACE≌△AFE（SAS）．∴CE＝FE，∠CEA＝∠FEA．∵∠CEA+∠DEB＝90°，∠FEA+∠FEB＝90°，∴∠DEB＝∠FEB．在△DEB和△FEB中∴△DEB≌△FEB（ASA）．∴ED＝EF．∴ED＝CE．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义以及全等三角形的判定和性质．20．（2019秋•苍南县期中）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，GE垂直平分线段AC交AC于点G，交BC于点E，在射线EG上取一点D，使得DE＝AC，过点D作DF⊥BC，垂足为F．（1）求证：△ABC≌△EFD；（2）若AB＝5，DF＝12，求BE的长．【点拨】（1）证出∠D＝∠C，由AAS即可得出△ABC≌△EFD；（2）连接AE，由线段垂直平分线的性质得出AE＝CE，由全等三