建筑力学第八章-弯曲变形课件

建筑力学第八章弯曲变形建筑力学第八章弯曲变形1重庆大学出版社建筑力学轴线纵向对称面FqM弯曲后梁的轴线（挠曲线）(2)载荷作用在对称平面内

所有外力都作用在通过杆件轴线的纵向对称平面内(受力特点)。重庆大学出版社建筑力学轴线纵向对称面FqM2重庆大学出版社建筑力学2、凡是以弯曲为主要变形的杆件，通常称为梁。重庆大学出版社建筑力学2、凡是以弯曲为主要3重庆大学出版社建筑力学3、静定梁的种类：（a）简支梁（b）悬臂梁（c）外伸梁（d）静定组合梁中间铰重庆大学出版社建筑力学3、静定梁的种类：（4重庆大学出版社建筑力学8.2梁的内力计算x解：(1)、根据平衡条件求支座反力(2)、截取m-m截面左段。AxmmM剪力——使截面不产生移动弯矩M——使截面不产生转动得到：oALBFabmm1、梁的内力—剪力与弯矩得到：重庆大学出版社建筑力学8.2梁的内力计算x5重庆大学出版社建筑力学2、剪力、弯矩的正、负号规定：Q（＋）QMM（－）左上右下，剪力为正左顺右逆，弯矩为正重庆大学出版社建筑力学2、剪力、弯矩的正、6重庆大学出版社建筑力学解：1、根据平衡条件求支座反力qAB4aaaC3、求指定截面上的剪力和弯矩重庆大学出版社建筑力学解：1、根据平衡条件7重庆大学出版社建筑力学2、求C截面（跨中截面）上的内力qAaC得到：（剪力的实际方向与假设方向相反，为负剪力）得到：（弯矩M的实际方向与假设方向相同，为正弯矩）重庆大学出版社建筑力学2、求C截面（跨中截8重庆大学出版社建筑力学如以右侧梁作为研究对象，则：qBaC重庆大学出版社建筑力学如以右侧梁作为研究对9重庆大学出版社建筑力学qAB4aaaC取左段梁为研究对象:取右段梁为研究对象:截面左侧（或右侧）梁上的所有外力向截面形心简化所得到的主矢。重庆大学出版社建筑力学qAB4aaaC取左10重庆大学出版社建筑力学截面左侧（或右侧）梁上的所有外力（力和力偶）向截面形心简化所得到的主矩。qAB4aaaC取左段梁为研究对象:取右段梁为研究对象:重庆大学出版社建筑力学截面左侧（或右侧）梁11重庆大学出版社建筑力学截面左侧（或右侧）梁上的所有外力向截面形心简化所得到的主矢。截面左侧（或右侧）梁上的所有外力（力和力偶）向截面形心简化所得到的主矩。重庆大学出版社建筑力学截面左侧（或右侧）梁12重庆大学出版社建筑力学4计算剪力和弯矩的基本规律（1）梁内任一截面上的剪力FQ的大小，等于这截面左边（或右边）所有与截面平行的各外力的代数和。若考虑左段为脱离体时，在此段梁上所有向上的外力会使该截面上产生正号的剪力，而所有向下的外力会使该截面上产生负号的剪力。（2）梁内任一截面上的弯矩的大小，等于这截面左边（或右边）所有外力（包括力偶）对于这个截面形心的力矩的代数和。若考虑左段为脱离体时，在此段梁上所有向上的力使该截面上产生正号的弯矩，而所有向下的力会使该截面上产生负号的弯矩;在此段梁上所有顺时针转向的外力偶会使该截面上产生正号的弯矩，而所有逆时针转向的外力偶会使该截面上产生负号的弯矩。

重庆大学出版社建筑力学4计算剪力和弯矩的13重庆大学出版社建筑力学计算实例重庆大学出版社建筑力学计算实例14重庆大学出版社建筑力学8.3内力方程和内力图1剪力方程与弯矩方程在一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩随截面的位置而变化。因此，剪力和弯矩均可表示为截面位置x的函数，即称为剪力方程和弯矩方程重庆大学出版社建筑力学8.3内力方程和内力15重庆大学出版社建筑力学2剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图——用图示方法形象地表示剪力和弯矩沿梁轴线的变化情况。重庆大学出版社建筑力学2剪力图和弯矩图剪16重庆大学出版社建筑力学1、列出梁的剪力方程和弯矩方程

当

时，

当

时，2、剪力图3、弯矩图

当

时，

当

时，对于抛物线顶点，令重庆大学出版社建筑力学1、列出梁的剪力方程17重庆大学出版社建筑力学重庆大学出版社建筑力学18重庆大学出版社建筑力学8.4微分关系法作内力图1弯矩、剪力和分布荷载之间的关系重庆大学出版社建筑力学8.4微分关系法作内19重庆大学出版社建筑力学2剪力图、弯矩图的规律1）当梁上某段q=0时，该段剪力为常数，故剪力图为水平直线。相应的弯矩为x的一次函数，弯矩图为斜直线。当FQ＞0时，弯矩图为上升斜直线；FQ＜0时，弯矩图为下降斜直线。2）当梁上某段q=常数时，该段剪力为x的一次函数，剪力图为斜直线。相应的弯矩为x的二次函数，弯矩图为二次抛物线。若q＞0，则剪力图为上升斜直线，弯矩图为凹口向上的曲线（凹孤）；若q＜0，则剪力图为下降斜直线，弯矩图为凹口向下的曲线（凸孤）。重庆大学出版社建筑力学2剪力图、弯矩20重庆大学出版社建筑力学3）在集中力作用处（包括支承处），剪力图将发生突变，其突变值等于该处集中力之大小。当集中力向上时，剪力图向上突变（沿x正向），反之，向下突变；而弯矩图将因该处两侧斜率不等出现拐点。4）在集中力偶作用处，弯矩图将发生突变，突变值等于集中力偶矩的大小。当集中力偶为顺时针方向作用时，弯矩图向上突变（沿x正向），反之则向下突变，但剪力图在该处无变化。重庆大学出版社建筑力学3）在集中力作用处（21AB2m2m2mCDP=20KNq=4KN/m重庆大学出版社建筑力学3利用荷载和内力关系作内力图AB2m2m2mCDP=20KNq=4KN/m22重庆大学出版社建筑力学重庆大学出版社建筑力学23重庆大学出版社建筑力学8.5叠加法作内力图1叠加原理的基本思想

叠加原理成立的应用条件为：

是

的一次函数关系。在梁的内力问题上，无论是剪力还是弯矩、都是外力的一次函数关系。梁受均布荷载时，弯矩图是抛物线，但这只是表明了弯矩是截面位置的二次函数关系，而弯矩与外力的关系仍然是一次函数关系。

应用叠加法作梁的内力图时，还应特别注意考虑一个实际因素，那就是：基本内力图应该是已知的。重庆大学出版社建筑力学8.5叠加法作内力图24重庆大学出版社建筑力学

2叠加法作内力图重庆大学出版社建筑力学2叠加法作内力25重庆大学出版社建筑力学8.6常用截面的惯性矩

为什么要研究平面图形的惯性矩材料力学的研究对象为杆件,杆件的横截面是具有一定几何形状的平面图形。杆件的承载能力,不仅与截面大小有关,而且与截面的几何形状有关。重庆大学出版社建筑力学8.6常用截面的惯性26重庆大学出版社建筑力学1截面图形的惯性矩图形对y轴的惯性矩图形对z轴的惯性矩zyOdAyzA定义：图形对z轴的惯性半径图形对y轴的惯性半径重庆大学出版社建筑力学1截面图形的惯性27重庆大学出版社建筑力学2简单截面的惯性矩矩形截面惯性矩hozybydy同理：重庆大学出版社建筑力学2简单截面的惯性28重庆大学出版社建筑力学圆截面惯性矩ddACyz重庆大学出版社建筑力学圆截面惯性矩ddAC29重庆大学出版社建筑力学3组合截面的惯性矩移轴定理是指图形对于互相平行轴的惯性矩之间的关系。即通过已知图形对于一对坐标的惯性矩，求图形对另一对坐标的惯性矩。zcycyzOadA是截面图形的形心轴重庆大学出版社建筑力学3组合截面30重庆大学出版社建筑力学轴过截面图形的形心，所以同理重庆大学出版社建筑力学轴过截面图形的形心，31重庆大学出版社建筑力学求组合截面图形的惯性矩图示T形截面由上翼板1与腹板组2合而成。形心坐标：重庆大学出版社建筑力学求组合截面图形的惯性32重庆大学出版社建筑力学上翼板1对其本部分形心轴

轴的惯性矩：腹板2对其本部分形心轴

轴的惯性矩：上翼板1对整体形心轴

轴的惯性矩：腹板2对整体形心轴

轴的惯性矩：重庆大学出版社建筑力学上翼板1对其本部分形33重庆大学出版社建筑力学T形截面对整体形心轴轴的惯性矩：重庆大学出版社建筑力学T形截面对整体形心轴34重庆大学出版社建筑力学8.7梁的正应力计算1纯弯曲与横力弯曲纯弯曲：横截面上弯矩为常量，而剪力为零。横力弯曲：横截面上既有弯矩，又有剪力。重庆大学出版社建筑力学8.7梁的正应力计算35重庆大学出版社建筑力学

梁弯曲变形后，其横截面仍保持为一平面，并仍与变形后梁的轴线垂直，只是转了一个角度。

平面假设

单向受拉、压假设

设各纵向纤维之间互不挤压，每一根纵向纤维均处于单向拉伸、或压缩。2平面假设与单向受拉、压假设重庆大学出版社建筑力学梁弯36重庆大学出版社建筑力学

中性层与横截面的交线称为中性轴。梁弯曲时，梁横截面绕各自中性轴旋转。3中性层、中性轴

由连续性假设，存在着一层既不伸长，也不缩短的纵向纤维层，称为中性层。重庆大学出版社建筑力学中性层与横截37重庆大学出版社建筑力学4

纯弯曲时梁的正应力重庆大学出版社建筑力学4纯弯曲时梁的正38重庆大学出版社建筑力学MZ:横截面上的弯矩y:到中性轴的距离IZ:截面对中性轴的惯性矩重庆大学出版社建筑力学MZ:横截面上的弯矩39重庆大学出版社建筑力学

例题计算梁中间C截面上

、

、

点的正应力。梁中间

截面上的弯矩为：横截面的惯性矩：各点的正应力：重庆大学出版社建筑力学例题计算梁中40重庆大学出版社建筑力学5梁内的最大正应力令：抗弯截面模量重庆大学出版社建筑力学5梁内的最41重庆大学出版社建筑力学

反映截面形状和尺寸对弯曲正应力强度的影响。对矩形截面对圆形截面对各类型钢截面，

可通过查型钢表得到。重庆大学出版社建筑力学反42重庆大学出版社建筑力学8.8梁的切应力假设：1）横截面上的τ方向与FQ平行

2）τ沿截面宽度是均匀分布的1切应力的计算公式切应力的计算公式FQ–横截面上的剪力；IZ–截面对中性轴的惯性矩；b–截面的宽度；

SZ＊–宽度线一侧的面积对中性轴的静矩.

重庆大学出版社建筑力学8.8梁的切应力假设43重庆大学出版社建筑力学对于矩形截面的

2矩形截面梁的切应力最大切应力在中性轴上重庆大学出版社建筑力学对于矩形截面的44重庆大学出版社建筑力学例：矩形截面简支梁，加载于梁中点C，如图示。求σmax,τmax。重庆大学出版社建筑力学例：矩形截面简支梁，45重庆大学出版社建筑力学zydDdA为圆环形截面面积3圆形和圆环形截面梁的最大切应力重庆大学出版社建筑力学zydDdA为圆环形46重庆大学出版社建筑力学4工字形截面梁的切应力t对于图中阴影部分面积对中性轴的静矩近似计算公式:重庆大学出版社建筑力学4工字形47重庆大学出版社建筑力学8.9梁的变形挠曲线1弯曲变形的基本概念挠曲线重庆大学出版社建筑力学8.9梁的变形挠曲线48重庆大学出版社建筑力学挠度和转角规定：向下的挠度为正

顺时针的角为正挠曲线方程：转角方程：重庆大学出版社建筑力学挠度和转角规定：向下49重庆大学出版社建筑力学2梁的挠曲线近似微分方程式

曲线的曲率为重庆大学出版社建筑力学2梁的挠50重庆大学出版社建筑力学重庆大学出版社建筑力学51重庆大学出版社建筑力学重庆大学出版社建筑力学52重庆大学出版社建筑力学4利用积分法求梁变形（1）建立坐标系（一般：坐标原点设在梁的左端），求支座反力，分段列弯矩方程；分段的原则:①凡载荷有突变处（包括中间支座），应作为分段点；②凡截面有变化处，或材料有变化处，应作为分段点；③中间铰视为两个梁段间的联系，此种联系体现为两部分之间的相互作用力，故应作为分段点；重庆大学出版社建筑力学4利用积分法求梁变53重庆大学出版社建筑力学(2)分段列出梁的挠曲线近似微分方程，并对其积分两次对挠曲线近似微分方程积分一次，得转角方程：再积分一次，得挠曲线方程：重庆大学出版社建筑力学(2)分段列出梁的挠54重庆大学出版社建筑力学(3)利用边界条件、连续条件确定积分常数

①积分常数的数目——取决于的分段数

M(x)——n段积分常数——2n个举例：分2段，则积分常数2x2=4个重庆大学出版社建筑力学(3)利用边界条件、55重庆大学出版社建筑力学②积分常数的确定——边界条件和连续条件：边界条件：梁在其支承处的挠度或转角是已知的，这样的已知条件称为边界条件。

连续条件：梁的挠曲线是一条连续、光滑、平坦的曲线。因此，在梁的同一截面上不可能有两个不