二次函数平行四边形存在性问题例题

二次函数平行四边形存在性问题例题一.解答题(共8小题).如图，抛物线经过A(-1,0),B(5,0),C(0,誓)三点.2(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上有一点P,使PA+PC的值最小，求点P的坐标；(3)点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N,使以A,C,M,N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由..如图，在平面直角坐标系中，直线y=-3x-3与x轴交于点A,与y轴交于点C.抛物线y=x2+bx+c经过A,C两点，且与x轴交于另一点B(点B在点A右侧).(1)求抛物线的解析式及点B坐标；(2)若点M是线段BC上一动点，过点M的直线EF平行y轴交x轴于点F,交抛物线于点E.求ME长的最大值；(3)试探究当ME取最大值时，在x轴下方抛物线上是否存在点P,使以M,F,B,P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，试说明理由..已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线厂等肝§与x轴、y轴的交点分别为A、B两点，将NOBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x轴于点C.(1)直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式；(2)若(1)中抛物线的顶点为D,在直线BC上是否存在点P,使得四边形ODAP为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；(3)若把(1)中的抛物线向左平移3.5个单位，则图象与x轴交于F、N(点F在点N的左侧)两点，交y轴于E点，则在此抛物线的对称轴上是否存在一点Q,使点Q到E、N两点的距离之差最大？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由..已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线厂得H+8与x轴、y轴的交点分别为A、B,将NOBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x轴于点C.(1)直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式；(2)若抛物线的顶点为D,在直线BC上是否存在点P,使得四边形ODAP为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；(3)设抛物线的对称轴与直线BC的交点为T,Q为线段BT上一点，直接写出|QA-QO|的取值范围..如图，RtAOAB如图所示放置在平面直角坐标系中，直角边OA与x轴重合，NOAB=90°,OA=4,AB=2,把RtAOAB绕点O逆时针旋转90°,点B旋转到点C的位置，一条抛物线正好经过点O,C,A三点.(1)求该抛物线的解析式；(2)在x轴上方的抛物线上有一动点P,过点P作x轴的平行线交抛物线于点M,分别过点P,点M作x轴的垂线，交x轴于E,F两点，问：四边形PEFM的周长是否有最大值？如果有，请求出最值，并写出解答过程；如果没有，请说明理由.(3)如果x轴上有一动点H,在抛物线上是否存在点N,使O(原点)、C、H、N四点构成以OC为一边的平行四边形？若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由.c c.如图，直线y=--x+3与x轴交于点C,与y轴交于点B,抛物线y=ax2+反x+c经过B、C两点.(1)求抛物线的解析式；(2)如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当ABEC面积最大时，请求

出点E的坐标和4BEC面积的最大值？(3)在(2)的结论下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M,连接AM,点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P的坐标;如果不存在，.如图，抛物线y=ax2+bx+2与坐标轴交于A、B、C三点，其中B(4,0)、C(2,0),连接AB、AC,在第一象限内的抛物线上有一动点D,过D作DE±x轴，垂足为E,交AB于点F.(1)求此抛物线的解析式；(2)在DE上作点G,使G点与D点关于F点对称，以G为圆心，GD为半径作圆，当。G与其中一条坐标轴相切时，求G点的横坐标;(3(3)过D点作直线DH〃AC交AB于H,当△DHF的面积最大时，在抛物线和直线AB上分别取M、N两点，并使D、H、M、N四点组成平行四边形，请你直接写出符合要求的M、N两点的横坐标.DD8.已知直线y=kx+b(k=0)过点F(0,1),与抛物线y=i-x2相交于B、C两M J*REs点. w 室二(1)如图1,当点C的横坐标为1时，求直线BC的解析式；(2)在(1)的条件下，点M是直线BC上一动点，过点M作y轴的平行线，与抛物线交于点D，是否存在这样的点M，使得以M、D、0、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图2,设B(m.n)(m<0),过点E(0.-1)的直线l〃x轴，BR±l于R,CS±l于S,连接FR、FS.试判断^RFS的形状，并说明理由.参考答案与试题解析一.解答题(共8小题)(2016•安顺)如图，抛物线经过A(-1,0),B(5,0),C(0,3)三点.2(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上有一点P,使PA+PC的值最小，求点P的坐标；(3)点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N,使以A,C,M,N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理

【解答】解：(1)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c(a=0),•A(-1,0),B(5,0),C(0,三)三点在抛物线上，2a-b-l-c=0.25什5b+《二。•• ,5I2ra-2解得b=-2.5r- 2・•・抛物线的解析式为：y=Lx2-2x-旦2 2(2)二•抛物线的解析式为:y=-x(2)二•抛物线的解析式为:y=-x2-2x--,

2 2，其对称轴为直线x=-^亳2,连接连接BC,如图1所示，•B(5,0),C(0,-里)，2・•・设直线BC的解析式为y=kx+b(k/0),"5k+b=05,解得b=解得b=4・♦.直线BC的解析式为・♦.直线BC的解析式为y=1x-当x=2时，y=1--：2・・.P(2,-金)；2(3)存在.如图2所示，图2①当点图2①当点N在x轴下方时，•・•抛物线的对称轴为直线x=2,C（0,.•.N1（4,-1~）；②当点N在x轴上方时，如图，过点N2作N2D±x轴于点D,在^ANzD与AM2co中，2电虹二*an2=cm2Zan2d=Zn2co.•.△an2d2Am2co（ASA）,・・.N2D=OC得，即N2点的纵坐标为_|..1r55..—x2-2x--=^-,2 22解得x=2+.14或x=2-14,.N2（2+二五$）,N3（2--五$）.2 2 3 2综上所述，符合条件的点N综上所述，符合条件的点N的坐标为（4--）,（2+；下，$）或（2- 8）.2 2 2(2016•十堰一模)如图，在平面直角坐标系中，直线y=-3x-3与x轴交于点A,与y轴交于点C.抛物线y=x2+bx+c经过A,C两点，且与x轴交于另一点B(点B在点A右侧).(1)求抛物线的解析式及点B坐标；(2)若点M是线段BC上一动点，过点M的直线EF平行y轴交x轴于点F,交抛物线于点E.求ME长的最大值；(3)试探究当ME取最大值时，在x轴下方抛物线上是否存在点P,使以M,F,B,P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，试说明理由.【解答】解：(1)当y=0时，-3x-3=0,x=-1・・A(-1,0)当x=0时，y=-3,AC(0,-3),・・•…0lc=-3•4 ,Ic=-3抛物线的解析式是：y=x2-2x-3.当y=0时，x2-2x-3=0,解得：x1=-1,x2=3AB(3,0).(2)由(1)知B(3,0),C(0,-3)直线BC的解析式是：y=x-3,设M(x,x-3)(0WxW3),则E(x,x2-2x-3)TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"，ME=(x-3)-(x2-2x-3)=-x2+3x=-(x--)2+—；2 4.••当x=l时，ME的最大值为生.2 4(3)答：不存在.由(2)知ME取最大值时ME=@,E(—,-—),M(&,-W)4 2 4 2 2.•・MF=2,BF=OB-OF=&.2 2设在抛物线x轴下方存在点P,使以P、M、F、B为顶点的四边形是平行四边形，则BP〃MF,BF〃PM.沁(0,-_1)或P2(3,-1-)当P1(0,->|)时，由(1)知y=x2-2x-3=-3=-看AP1不在抛物线上.当P2(3,-卷)时，由(1)知y=x2-2x-3=0=-5AP2不在抛物线上.综上所述：在x轴下方抛物线上不存在点P,使以P、M、F、B为顶点的四边形是平行四边形.(2016•义乌市模拟)已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线厂得工+6与x轴、y轴的交点分别为A、B两点，将NOBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x轴于点C.(1)直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式；(2)若(1)中抛物线的顶点为D,在直线BC上是否存在点P,使得四边形ODAP为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；(3)若把(1)中的抛物线向左平移3.5个单位，则图象与x轴交于F、N(点F在点N的左侧)两点，交y轴于E点，则在此抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使点Q到E、N两点的距离之差最大？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.【解答】解：(1)连接CH由轴对称得CH±AB,BH=BO,CH=CO••在4CHA中由勾股定理，得AC2=CH2+AH2・•直线产得H+8与x轴、y轴的交点分别为A、B两点••当x=0时，y=6,当y=0时，x=8AB(0,6),A(8,0)・・OB=6,OA=8,在RtAAOB中，由勾股定理，得AB=10设C(a,0),・OC=aACH=a,AH=4,AC=8-合，在RtAAHC中，由勾股定理，得(8-a)2=a2+42解得a=3C(3,0)设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c,由题意，得r6=c[0=64a+Sb+c10=9a+3b+c

1a=7解得：「11b-41211ir产了工一^肝&、c1211ir产了工一^肝&・•・抛物线的解析式为:.一1111J25(2)由(1)的结论，得D(旦，Z)2 16adf=-^16设BC的解析式为：y=kx+b,则有(6=b10=3k+b解得’『6lk=-2直线BC的解析式为：y=-2x+6设存在点P使四边形ODAP是平行四边形，P(m,n)作PE±OA于E,HD交OA于F.・・・NPEO=NAFD=90°,PO=DA,PO〃DA・・・NPOE=NDAF.^△ope^Aadf，PE=DF=n=空16・2516=-2x+6・2516=-2x+6义再32P义再32P①，至）2 16当x=l时，2y=-2X互+6=1/延2 16・••点P不再直线BC上，即直线BC上不存在满足条件的点P.(3)由题意得，平移后的解析式为:尸卜-2)2系，对称轴为：x=2,当x=0时，当y=0时，v_-9y=吟k-2)22516解得:(3)由题意得，平移后的解析式为:尸卜-2)2系，对称轴为：x=2,当x=0时，当y=0时，v_-9y=吟k-2)22516解得:VF在N的左边F(上，0),E(0,2连接EF交x=2于Q,包)，N(九，0)16 2设EF的解析式为：y=kx+b，则有解得：k=4b=^解得：，Q(2解得：，Q(2,45

产16里).16

4.(2016•深圳模拟)已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线厂得肝^与x轴、y轴的交点分别为A、B,将NOBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x轴于点C.(1)直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式；(2)若抛物线的顶点为D,在直线BC上是否存在点P,使得四边形ODAP为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；(3)设抛物线的对称轴与直线BC的交点为T,Q为线段BT上一点，直接写出|QA-QO|的取值范围.【解答】解：（1）点C的坐标为（3,0）.（1分）•・,点A、B的坐标分别为A（8,0）,B（0,6）,・•・可设过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=a（x-3）（x-8）.将x=0,y=6代入抛物线的解析式，得号（2分）・••过A、B、C三点的抛物线的解析式为"/今,+6.（3分）25、正）,（2）可得抛物线的对称轴为直线篁吟，顶点D的坐标为吟,设抛物线的对称轴与x轴的交点为25、正）,直线BC的解析式为y=-2x+6.4分）设点P的坐标为（x,-2x+6）.解法一：如图，作OP〃AD交直线BC于点P,连接AP,作PM±x轴于点M.：OP〃AD,，NPOM=NGAD,tanZPOM=tanZGAD.PMDG•二,OMGA25nn-2x+6 16即 =~7T.解得炉曲.7经检验富占是原方程的解.7此时点P的坐标为（红，①）.（5分）■7 77但此时0后华，GA二,，OM<GA.•「Ok一头二，由二一桨H，ZPOM=ZGAE，cosZPOMcosZGAD・・・OP<AD,即四边形的对边OP与AD平行但不相等，・•・直线BC上不存在符合条件的点P（6分）解法二：如图，取OA的中点E,作点D关于点E的对称点P,作PN±x轴于点N.则NPEO=NDEA,PE=DE.可得ApensAdeg.由比梨二4,可得E点的坐标为（4,0）.NE=EG=—,ON=OE-NE=2,NP=DG=—.2 2 16••点P的坐标为百■,年!）.（5分）:x=f"时，一立肝6二-2父-|_+6=1卢2，••点P不在直线BC上.•・直线BC上不存在符合条件的点P.（6分）|QA-QO|的取值范围是区如妪&（8分）当Q在OA的垂直平分线上与直线BC的交点时，（如点K处），此时OK=AK,则|QA-QO|=0,当Q在AH的延长线与直线BC交点时，此时|QA-QO|最大，直线AH的解析式为：y=-^x+6,直线BC的解析式为：y=-2x+6,4联立可得：交点为（0,6）,・・OQ=6,AQ=10,・・|QA-QO|=4,・・|qa-qo|的取值范围是：0W|QA-QO|W4.（2016•山西模拟）如图，RtAOAB如图所示放置在平面直角坐标系中，直角边OA与x轴重合，NOAB=90°,OA=4,AB=2,把RtAOAB绕点O逆时针旋转90°,点B旋转到点C的位置，一条抛物线正好经过点O,C,A三点.（1）求该抛物线的解析式；（2）在x轴上方的抛物线上有一动点P,过点P作x轴的平行线交抛物线于点M,分别过点P,点M作x轴的垂线，交x轴于E,F两点，问：四边形PEFM的周长是否有最大值？如果有，请求出最值，并写出解答过程；如果没有，请说明理由.（3）如果x轴上有一动点H,在抛物线上是否存在点N,使O（原点）、C、H、N四点构成以OC为一边的平行四边形？若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由.

【解答】解：（1）因为OA=4,AB=2,把4AOB绕点O逆时针旋转90°,可以确定点C的坐标为（2,4）；由图可知点A的坐标为（4,0）,又因为抛物线经过原点，故设y=ax2+bx把（2,4）,（4,0）代入,r0=L6a+4b,4=4a+2b解得"a=-l解得"a=-l3所以抛物线的解析式为y=-X2+4x；（2）四边形PEFM的周长有最大值，理由如下:由题意，如图所示，设点P的坐标为P（a,-a2+4a）则由抛物线的对称性知OE=AF,，EF=PM=4-2a,PE=MF=-a2+4a,则矩形PEFM的周长L=2[4-2a+(-a2+4a)]=-2(a-1)2+10,・••当a=1时，矩形PEFM・••当a=1时，矩形PEFM的周长有最大值，Lmax=10；（3）在抛物线上存在点N,使O（原点）、C、H、N四点构成以OC为一边的平行四边形，理由如下:(2,4),Vy=-x2+4x=-(x-2)2+4可知顶点坐标・♦・知道C点正好是顶点坐标，知道C点到x轴的距离为4个单位长度，过点C作x轴的平行线，与x轴没有其它交点，过y=-4作x轴的平行线，与抛物线有两个交点，这两个交点为所求的N点坐标所以有-x2+4x=-4解得x1=2+2,；2,x2=2-"用AN点坐标为*（2+2/2-4）,N2（2-2(2,4),（2015•葫芦岛）如图，直线y=-&x+3与x轴交于点C,与y轴交于点B,抛4物线y=ax2+-1-x+c经过B、C两点.（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当4BEC面积最大时，请求出点E的坐标和4BEC面积的最大值？（3）在（2）的结论下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M,连接AM,点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P,使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P的坐标;如果不存在，【解答】解：（1）・・•直线y=-当+3与x轴交于点C,与y轴交于点B,4・••点B的坐标是（0,3）,点C的坐标是（4,0）,•・•抛物线y=ax2+-1x+c经过B、C两点，

3.16a+-X4+c=0..( 4ic=3解得.方L灯二M，y=--x2+—x+3.8 4(2)如图1,过点E作y轴的平行线EF交直线BC于点M,EF交x轴于点F,•・•点E是直线BC上方抛物线上的一动点，・•・设点E的坐标是(x,-22+3x+3),8 4则点M的坐标是(x,--1x+3),4.・.・.EM=-老x2+Wx+3-3 4(-—x+3)=-—x2+—x,

4 g2•,SaBEC-SaBEM+SaMEC二1w。。J_X(-Wx2+3x)X48 2尺=--x2+3x4=-((x-2)2+3,4••当x=2时，即点E的坐标是(2,3)时，^BEC的面积最大，最大面积是3.(3)在抛物线上存在点P,使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形.①如图2, 宴二 ，由（2）,可得点M的横坐标是2,・•点M在直线y=-3x+3上，••点M的坐标是（2,呈），2又•・•点A的坐标是（-2,0）,AAM='..1[2-（-2）]2+（1-0）=^Y~,TOC\o"1-5"\h\z|--0 3AAM所在的直线的斜率是：^；2-C-2）3y=--x2+—x+3的对称轴是x=1,\o"CurrentDocument"4A设点Q的坐标是（1,m）,点P的坐标是（x,-&x2+&x+3）,8 4"323则I工2 2「产+《芯+》3f）专7二-M Cy=5解得1 21或1 21,Vx<0,A点P的坐标是（-3,-骂）.8

②如图3, 图3由（2）,可得点M的横坐标是2,・•点M在直线y=-&x+3上，4••点M的坐标是（2,W）,2又•・•点A的坐标是（-2,0）,AAM=.：［2-（-2）］2+（1—0）=~Y~,AAM所在的直线的斜率是：J^=A；TOC\o"1-5"\h\zy=-&X2+Wx+3的对称轴是x=1,8 4•・设点Q的坐标是（1,m）,点P的坐标是（X,-&X2+&x+3）,8 4323甘宜肝31rl3K-1\o"CurrentDocument"2 2■）%登+十〜'）岑解得戈二521,V= 解得戈二521,V= 5 821或y= -SVx>0,••点P的坐标是（5,-骂）.由（2）,可得点M的横坐标是2,・•点M在直线y=-3x+3上，••点M的坐标是（2,呈），2又•・•点A的坐标是（-2,0）,AAM=.：［2-（-2）］2+（1-0）=^Y~,TOC\o"1-5"\h\zy=-&X2+Wx+3的对称轴是x=1,8 4•・设点Q的坐标是（1,m）,点P的坐标是（X,-&X2+3x+3）,\o"CurrentDocument"8 4「 23/ 3石耳+铲今了 50则^-2直+1，-2丁丁7二-1解得15,卡丁・••点P的坐标是（-1,匹）.8综上，可得在抛物线上存在点P,使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形，点P的坐标是（-3,-骂）、（5,-9）、（-1,正）.8 8 87.（2015•梧州）如图，抛物线y=ax2+bx+2与坐标轴交于A、B、C三点，其中B（4,0）、C（-2,0）,连接AB、AC,在第一象限内的抛物线上有一动点D,过

D作DE±x轴，垂足为E,交AB于点F.(1)求此抛物线的解析式；(2)在DE上作点G,使G点与D点关于F点对称，以G为圆心，GD为半径作圆，当。G与其中一条坐标轴相切时，求G点的横坐标；(3)过D点作直线DH〃AC交AB于H,当△DHF的面积最大时，在抛物线和直线AB上分别取M、N两点，并使D、H、M、N四点组成平行四边形，请你直接写出符合要求的M、N两点的横坐标.【解答】解：(1)：B,C两点在抛物线y=ax2+bx+2上，.ri6aMb+2=0••4 ,「_1A/口RR解得：.・•・所求的抛物线为：y=.//4肝『(2)抛物线y=一/6叶2,则点A的坐标为(0,2),设直线AB的解析式为y=kx+b,」,14k+b=0rk-A解得：厂2.』二2・•・直线AB的解析式为y=-1x+2,设F设F点的坐标为(x,上x+2),则D点的坐标为(x,2VG点与D点关于F点对称，・・・G点的坐标为・・・G点的坐标为(x,若以G为圆心，GD为半径作圆，使得。G与其中一条坐标轴相切，①若。G与x轴相切则必须由DG=GE,即-_Lx2+Lx+2-(L/£)=—v2 2,4 2 4 2 4 2解得：x=2,x=4(舍去)；3②若。G与y轴相切则必须由DG=OE,解得：