图形的相似19个题

图形的相似19个题（共26页）-本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-2018年10月23日151****0104的初中数学组卷一.选择题（共5小题）1.如图，点A,B,C,D的坐标分别是（1,7）,（1,1）,（4,1）,（6,1）,以C,D,E为顶点的三角形与^ABC相似，则点E的坐标不可能是5°一…I * ； 1 = ? 7 ……卜……国iiq⑺01234567，A.(6,0) B.(6,3) C.(6,5) D.(4,2).如图，在平行四边形ABCD中，E是CD上的一点，DE：EC=2：3,连接AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则S^ef：S^：S.二( )A.2：5：25B.4：9：25C.2：3：5D.4：10：25.已知^ABC的三边长分别为20cm,50cm,60cm,现要利用长度分别为30cm和60cm的细木条各一根，做一个三角形木架与^ABC相似，要求以其中一根为一边，将另一根截成两段（允许有余料）作为另外两边，那么另外两边的长度（单位：cm）分别为（ ）A.10,25 B.10,36或12,36C.12,36 D.10,25或12,36.如图，分别以直角三角形ABC的三边作正三角形，已知AC=6,AB=10,阴影部分的面积分别记为S,s,S,则s+s-s的值为（ ）

A.24 B.48 C.25;q D.50/3-24TOC\o"1-5"\h\z.如图，已知点P是边长为5的正方形ABCD内一点，且PB=3,BFLBP于B,若在射线BF上找一点M,使以点B,M,C为顶点的三角形与4ABP相似，BM的值为（ ）A.3 B.变 C.3或变 D.3或53 3二.填空题（共5小题）.如图，直线y=1x+1与x轴，y轴分别交于A、B两点，4BOC与43B'O'C'是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1：2,则点B'的坐标为..如图，在直角坐标系中，每个小方格的边长均为1,4人08与AA/OB'是以原点0为位似中心的位似图形，且相似比为3：2,点A,B都在格点上，则点B'的坐标是..如图，在4ABC中，D、E分别是AB和AC的中点，F是BC延长线上一点,DF平分CE于点G,CF=1，则BC=，^ADE与4ABC的周长之比为，ACFG与4BFD的面积之比为..如图，正三角形△人平£的边长为1,取△A1B1C1各边的中点A、B2、与，作第二个正三角形^A?2c2,再取△.2c2各边的中点4、B3、C3,作第三个正三角形^AF3c3,…用同样的方法作正三角形则第10个正三角形△8/10cl°的面积三.解答题(共11小题).设x1,x2是关于x的方程X2-4x+k+1=0的两个实数根.请问：是否存在实数k,使得\力＞5+*2成立试说明理由..已知关于x的一元二次方程x2-3x+m=0有两个不相等的实数根x1、x2.(1)求m的取值范围；(2)当x1=1时，求另一个根x2的值..已知关于x的方程kx2+(2k+1)x+2=0.(1)求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根.(2)是否存在实数k使方程两根的倒数和为2若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由..已知：关于x的方程x2-(k+1)+Lk2+1=0的两根是一个矩形两邻边的长.k取何值时，方程有两个实数根；(2)当矩形的对角线长为京时，求k的值；(3)当k为何值时，矩形变为正方形.如图，4ABC是等边三角形，CE是外角平分线，点D在AC上，连接BD并延长与CE交于点E.(1)求证：△ABDs^CED.(2)若AB=6,AD=2CD,求BE的长..已知豆二卜■二工，且3a—2b+c=9,求2a+4b—3c的值.573.探究题:(1)在正4ABC中(图1),AB=2,ADLBC于D,求S*.(2)在正4ABC中(图2),BC=2,AB，BC于B,以AB为边作正^ABC,AC、B2c2交于%以AB3为边作正^AB3c3，依此类推.①写出第n个正三角形的周长；(用含n的代数式表示)②写出第n个正三角形的面积.(用含n的代数式表示)图1图2图1图25.如图，在Rt^ABC中，NC=90°,翻折NC,使点C落在斜边AB上某一点D处，折痕为EF(点E、F分别在边AC、BC上)(1)若^CEF与4ABC相似，且当AC=BC=2时，求AD的长；(2)若4CEF与4ABC相似，且当AC=3，BC=4时，求AD的长；(2)当点D是AB的中点时，4CEF与4ABC相似吗请说明理由.A BA B.如图①，矩形ABCD的两条边在坐标轴上，点D与原点重合，对角线BD所在直线与y轴的夹角为60°,AB=8.矩形ABCD沿DB方向以每秒1个单位长度运动，同时点P从点A出发沿矩形ABCD的边以每秒1个单位长度做匀速运动，经过点B到达点C,设运动时间为t.(1)求出矩形ABCD的边长BC；(2)如图②，图形运动到第6秒时，求点P的坐标；(3)当点P在线段BC上运动时，过点P作x轴，y轴的垂线，垂足分别为E,F,则矩形PEOF是否能与矩形ABCD相似若能，求出t的值；若不能，说明理由..如图1,在Rt^ABC中，NB=90°,BC=2AB=8,点D、E分别是边BC、AC的中点，连接DE,将^EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为a.图1图二6备用图图1图二6备用图(1)问题发现①当a=0°时，&匚；②当a=180°时，型工.BD BD(2)拓展探究试判断：当0°WaV360°时，处的大小有无变化请仅就图2的情形给出证BD明.(3)问题解决当4EDC旋转至A,D,E三点共线时，直接写出线段BD的长..已知正方形ABCD,点P是边AD上一点(不与点A、D重合).F3 ② ③(1)在图①中用直尺和圆规求作一点P,使得NAPB=60°(保留作图痕迹，不写作法).(2)如图②，CELBP,交AB于点E,垂足为0、M、N分别是BE、CP的中点，MN交BP、CE于点H、G.求证：0G=0H.(3)如图③，若正方形ABCD的边长为4,点P为AD中点，连接BP并延长，与CD的延长线交于点F,在线段CF上找一点Q,使得4PFQ为等腰三角形，求DQ的长，直接写出结论.2018年10月23日151****0104的初中数学组卷参考答案与试题解析一.选择题(共5小题).如图，点A,B,C,D的坐标分别是(1,7),(1,1),(4,1),(6,1),以C,D,E为顶点的三角形与4ABC相似，则点E的坐标不可能是( )A.(6,0) B.(6,3) C.(6,5) D.(4,2)【解答】解：4ABC中，NABC=90°,AB=6,BC=3,AB：BC=2.A、当点E的坐标为(6,0)时，NCDE=90°,CD=2,DE=1,则AB：BC=CD：DE,^CDEs^ABC,故本选项不符合题意；B、当点E的坐标为(6,3)时，NCDE=90°,CD=2,DE=2,则AB：BCHCD：DE,^CDE与^ABC不相似，故本选项符合题意；C、当点E的坐标为(6,5)时，NCDE=90°,CD=2,DE=4,则AB：BC=DE：CD,^EDCs^ABC,故本选项不符合题意；D、当点E的坐标为(4,2)时，NECD=90°,CD=2,CE=1,则AB：BC=CD：CE,^DCEs^ABC,故本选项不符合题意；故选：B..如图，在平行四边形ABCD中，E是CD上的一点，DE：EC=2：3,连接AE、BE、BD,且AE、BD交于点F,则S^ef：S^：S.=( )DEDEA.2：5：25B.4：9：25C.2：3：5D.4：10：25【解答】解：根据图形知：2EF的边DF和ABFE的边BF上的高相等，并设这个高为h,.「四边形ABCD是平行四边形，/.DC=AB,DC〃AB,■/DE：EC=2：3,/.DE：AB=2：5,/DC〃AB,/.△DEF^ABAF,二.也照理「二上DE=DF=2,SAABF 25ABBF5 s saebfyXBFXh=DF_2_4BF510「'△def：SAEBF：Saabf=4：10：25,故选：D.3.已知^ABC的三边长分别为20cm,50cm,60cm,现要利用长度分别为30cm和60cm的细木条各一根，做一个三角形木架与^ABC相似，要求以其中一根为一边，将另一根截成两段（允许有余料）作为另外两边，那么另外两边的长度（单位：cm）分别为（ ）A.10,25 B.10,36或12,36C.12,36 D.10,25或12,36【解答】解：（1）当以30cm的一根为边时.①30cm的边与4ABC中的20cm是对应边时，根据相似三角形的对应边成比例，可求得另两边长是75cm和90cm，它们的和大于60cm应舍去.②30cm的边与4ABC中的50cm是对应边时，根据相似三角形的对应边成比例，可求得另两边长是12cm和36cm,它们的和小于60cm符合条件.③30cm的边与4ABC中的60cm是对应边时，根据相似三角形的对应边成比例，可求得另两边长是10cm和25cm,它们的和小于60cm符合条件.(2)当以60cm的一根为边时，不论与哪一条边是对应边是对应边都不满足条件.故选：D.4.如图，分别以直角三角形ABC的三边作正三角形，已知AC=6,AB=10,阴影部分的面积分别记为S1,S2,53，则51+53-52的值为( )A.24 B.48 C.25/医 D.50/3-24【解答】解：如图，巡血［乂1。葭s齿61r=25・超同理可求：SA.二9月，立r江二16••0设SAACD=a，*B，JAB?， _则S+S-S=9-a+-p-(25>/~3-a-3-y)=9y3-a+16-,--3-p-25；3+a+p+y=Y;Y=1X6X8=24.2故选：A.10

10 BTOC\o"1-5"\h\z5.如图，已知点P是边长为5的正方形ABCD内一点，且PB=3,BFLBP于B,若在射线BF上找一点M,使以点B,M，C为顶点的三角形与4ABP相似，BM的值为（ ）A.3 B.变 C.3或变 D.3或53 3【解答】解：.「四边形ABCD是正方形，/.ZABC=90°,AB=BC=5；又.「NPBF=90°,/.ZABP=ZCBF=90°-ZCBP；若以点B,M,C为顶点的三角形与^ABP相似，则：①胆型，即反理，解得BM卫士PBBC35 3②叫普，即5二工，解得BM=3；BPBN3BM11二.填空题（共5小题）6.如图，直线y=工x+1与x轴，y轴分别交于A、B两点，4BOC与4B'O'C'是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1：2,则点B'的坐标为（3,2）或（-9,-2）【解答】解：；y=ax+1与x轴，y轴分别交于A、B两点,令x=0可得y=1；令y=0可得x=-3,二点A和点B的坐标分别为（-3,0）；（0,1）,・「△BOC与△B'O'C'是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1：2,,- =_<^1O'A0; 2/.O'B'=2,AO'=6,二当点B在第一象限时，B'的坐标为（3,2）；当点B'在第三象限时，B'的坐标为（-9,-2）.・•.B’的坐标为（-9,-2）或（3,2）.故答案为：（-9,-2）或（3,2）.7.如图，在直角坐标系中，每个小方格的边长均为1,4人。8与△A'OB’是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为3：2,点A,B都在格点上，则点B'的坐标是 （-2,1）.12【解答】解：由题意得：^A/OB'与4AOB的相似比为2：3,又TB（3,-2）・•.B'的坐标是［3X（上），-2乂（上）］，即B'的坐标是（-2,包）；故答案为：（-2,2）.3.如图，在4ABC中，D、E分别是AB和AC的中点，F是BC延长线上一点，DF平分CE于点G,CF=1,则BC=2,4ADE与4ABC的周长之比为1：2,ACFG与4BFD的面积之比为1：6.【解答】解：二益E分别是AB和AC的中点，DE〃BC,DE=1BC2/.△ADE^AABC,AGED^AGCF/.DE=CF=1/.CF=J-BC,2「.△ADE与^ABC的周长之比为DE：BC=1：2；.「△ADE与^ABC的面积之比为1：4；二△ADE与四边形DECB的面积之比为1：3；「△ADE与ADEG的面积之比为2：1；二△CFG与4BFD的面积之比为1：6.13R CZ.如图，正三角形△人平£的边长为1,取△A1B1C1各边的中点A、B2、与，作第二个正三角形△A2B2C2,再取△a^m各边的中点仆B3、叫作第三个正三角形^AF3c3,…用同样的方法作正三角形则第10个正三角形△8/10cl°的面积1 20L是—（S=--【解答】解：第一个三角形的面积s=£1,TOC\o"1-5"\h\z第二个三角形的面积S=ilxl,4 4第三个三角形的面积S=Ex（1）2,4 4所以第十个三角形的面积s=上1x（工）9='4 4 21 20L故答案为：（―••三.解答题（共11小题）.设x1,x2是关于x的方程X2-4x+k+1=0的两个实数根.请问：是否存在实数k,使得\力＞5+*2成立试说明理由.【解答】解：.「方程有实数根,「加2-4ac20,/.(-4)2-4(k+1)20,即kW3.14.士'k，二叼+工『(2+,有)+(2—.百)二4，⑵4^)，(2—=k+1，若xjX2AX1+X2,即k+1>4,/.k>3.而kW3,因此，不存在实数k,使得xj*2>\+冬成立..已知关于x的一元二次方程X2-3x+m=0有两个不相等的实数根x、X.1 2(1)求m的取值范围；(2)当x1=1时，求另一个根x2的值.【解答】解：(1)由题意得：△=(-3)2-4X1Xm=9-4m>0，解得：mV旦4(2)Vx1+x2=-^-=3，x1=1，/.x2=2..已知关于x的方程kx2+(2k+1)x+2=0.(1)求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根.(2)是否存在实数k使方程两根的倒数和为2若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由.【解答】解：(1)当k=0时，方程变形为x+2=0,解得x=-2；当kH0时，△=(2k+1)2-4・k・2=(2k-1)2,■/(2k-1)220,「.△20,，当kH0时，方程有实数根，,无论k取任何实数时，方程总有实数根；(2)存在，设方程两根为X1、X2,贝ljX1+X2=-2心,X1X2二1,151 Ki+Kn・「上+」^2,即I」一班2,H]戈2 K2*K22k+1二^^-二2,即一峪二2,_±_ zk解得：k二-22故存在实数k使方程两根的倒数和为2.13.已知：关于x的方程X2-(k+1)+^k2+1=0的两根是一个矩形两邻边的长.(1)k取何值时，方程有两个实数根；(2)当矩形的对角线长为，亏时，求k的值；(3)当k为何值时，矩形变为正方形【解答】解：(1)△=[-(k+1)]2-4X1X(lk2+1)=2k-3,4.「方程有两个实数根，「.△20,即2k-320,解得：k2工2，当k2g时，方程有两个实数根.2(2)设方程X2-(k+1)+Lk2+1=0的两根分别为a、b,则a+b=k+1,ab=1^2+1,4.「矩形的对角线长为其即a2+b2=5,/.a2+b2=(a+b)2-2ab=(k+1)2-2X(-l-k2+1)=5,4整理得：k2+4k-12=0,解得：k=2或k=-6(舍去).，当矩形的对角线长为。时，k的值为2.(3)当矩形为正方形时，方程两根相等，/.△=2k-3=0,解得：k二金.216

，当k为I■时，矩形变为正方形.连接BD并.如图，4ABC是等边三角形，CE是外角平分线，点D在AC上,延长与CE连接BD并(1)求证：△ABDs^CED.(2)若AB=6,AD=2CD,求BE的长.【解答】(1)证明：.「△ABC【解答】(1)证明：.「△ABC是等边三角形,「.NBAC=NACB=60°,NACF=120°；「CE是外角平分线，/.ZACE=60°；/.ZBAC=ZACE；又「/ADB=NCDE,/.△ABDs△CED；(2)解：作BMLAC于点M,AC=AB=6,在Rt^ABM中/AM=CM=3,BM=ABsin60°=3*；「AD=2CD,/CD=2,AD=4,MD=1；在Rt^BDM中，BD=\/辰西萨2二斤；由(1)^ABDs^CED得，或萼L,JLilEDCDED/.ED=「，/BE=BD+ED=3斤.CF17CF17.已知且二足工，且3a-2b+c=9,求2a+4b-3c的值.578【解答】解：设色="Uk（kH0）,578则a=5k，b=7k，c=8k,代入3a-2b+c=9得，15k-14k+8k=9,解得k=1,所以，a=5,b=7,c=8,所以，2a+4b-3c=2X5+4X7-3X8=10+28-24=14.16.探究题:（1）在正^ABC中（图1）,AB=2,ADLBC于D,求S*.（2）在正^ABC中（图2）,BC=2,AB，BC于B,以AB为边作正^ABC,AC、B2c2交于,以AB3为边作正^AB3c3，依此类推.①写出第n个正三角形的周长；（用含n的代数式表示）②写出第n个正三角形的面积.（用含n的代数式表示）【解答】解：(1)在正4ABC中，AB=2,ADLBC于D,/.BD=1,，AD二AB2-BD2=1-^，/.s=1bcAD=Lx2X号反；△ABCg 2(2)由(1)可知AB二.”2.\C=3X2X(2Jl)0,2S总X2X2X停；.「等边三角形AB2c2的边长为时，AB什B2c2，「*18

.\C=2X3X(-J1)i,S=1x2X-JLx2X-JLX-Jl=1x22X(-JL)3,2 22 2 2 22 2・「等边三角形AB3c3的边长为*ABy3c3,，C=3X2X(丑)2,S=Lx2Xii^X丑X2X_Jlx丑X_JUx22X3 32 2 2 2 2 22依此类推,刺瞪一第”个正三角形的面积是2号2n一S=2（二）2n-1第”个正三角形的面积是2号2n一故第n个正三角形的周长为6（二I）n-1,21・17.如图，在Rt^ABC中，NC=90°,翻折NC,使点C落在斜边AB上某一点D处，折痕为EF（点E、F分别在边AC、BC上）（1）若^CEF与4ABC相似，且当AC=BC=2时，求AD的长；（2）若4CEF与4ABC相似，且当AC=3,BC=4时，求AD的长；（2）当点D是AB的中点时，4CEF与4ABC相似吗请说明理由.【解答】解：（1）若4CEF与4ABC相似，且当AC=BC=2时,△ABC为等腰直角三角形，如答图1所示.智图n此时智图n此时D为AB边中点,AD=噂AC=\：2.19(2)若4CEF与4ABC相似，且当AC=3,BC=4时，有两种情况:(I)若CE：CF=3：4,如答图2所示.普图2/CE：CF=AC：BC,，EF〃BC.由折叠性质可知，CD±EF,「.CD^AB,即此时CD为AB边上的高.在Rt^ABC中，AC=3,BC=4,「BC=5,■cosA--^-.5AD-ACcosA=3X』=；5(II)若CF：CE=3：4,如答图3所示./△CEF^ACAB,「NCEF-NB.由折叠性质可知，NCEF+NECD=90XVZA+ZB=90°,「NA-NECD,「AD-CD.同理可得：NB-NFCD,CD-BD,「此时ad=Xab=1x5=.2 220综上所述，当AC=3,BC=4时，AD的长为或.(3)当点D是AB的中点时，4CEF与4ABC相似.理由如下：如答图3所示，连接CD,与EF交于点Q.,「CD是Rt^ABC的中线,.\cd=db=1ab,2/.ZDCB=ZB.由折叠性质可知，NCQF=NDQF=90°,/.ZDCB+ZCFE=90°,「NB+NA=90°,/.ZCFE=ZA,又「NC=NC,/.△CEF^ACBA.18.如图①，矩形ABCD的两条边在坐标轴上，点D与原点重合，对角线BD所在直线与y轴的夹角为60°,AB=8.矩形ABCD沿DB方向以每秒1个单位长度运动，同时点P从点A出发沿矩形ABCD的边以每秒1个单位长度做匀速运动，经过点B到达点C,设运动时间为t.(1)求出矩形ABCD的边长BC；(2)如图②，图形运动到第6秒时，求点P的坐标；(3)当点P在线段BC上运动时，过点P作x轴，y轴的垂线，垂足分别为E,F,则矩形PEOF是否能与矩形ABCD相似若能，求出t的值；若不能，说明理由.【解答】解：（1）在RtADBC中，「NBDC=60°,CD=AB=8/.BC=CD',tan60c，=8/3；21

（2）当图形运动到第6秒时，此时点P在AB上，OD=6,AP=6,而NBDA=30°,二.D点坐标为（3.3：凯，点A坐标为（11,3，3）,，点P的坐标为3，M（3）当点P在BC边运动时，即年,而DO=t,NBOA=30°,，点D的坐标为（卷1t），点C的坐标为，点D的坐标为（卷1t），点C的坐标为193y-t+8)二点P的坐标为年比：M-t+导,y-t+8)，即PF二科t，PE=yt+S，若矩形PEOF与矩形ABCD相似,①若落嘿,解得若矩形PEOF与矩形ABCD相似,①若落嘿,解得t=8,②若器妾-yt+S解得t蝮理.V3-1因为「驶字＞8+8.阿，此时点P不在BC边上，舍去.73T因此当t=8时，点P到达点B,矩形PEOF与矩形BADC相似.2219.如图1,在Rt^ABC中，NB=90°,BC=2AB=8,点D、E分别是边BC、AC

的中点，连接DE,将^EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为a.(1)问题发现①当a=0°时，勇二三；②当a=180°时，追近.BD~2- BD~2~(2)拓展探究试判断：当0°WaV360°时，处的大小有无变化请仅就图2的情形给出证BD明.(3)问题解决当4EDC旋转至A,D,E三点共线时，直接写出线段BD的长.【解答】解：(1)①当a=0°时，,「RSABC中，NB=90°,，AC=:；杷2+凯2二”日+2)；5，.「点D、E分别是边BC、AC的中点，/.AE=4,5^2=2.,BD=84-2=4,-AE_2V5_V5■ = = .BD4 223A当a=180°时，可得AB〃DE,■AC_BC,AEBD■ - - ■BDBCE22 2故答案为：,冬、■L.2 2(2)如图2,图二 ，当0°WaV360°时，岖的大小没有变化,BD「NECD=NACB,/.ZECA=ZDCB,又■■EC