北京一零一中学2019年高考查缺补漏卷一数学理试题

北京市一零一中学2019年高考查缺补漏卷（一）理科数学试题本试卷共6页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题卡一并交回。第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。.已知i为虚数单位，则i+i2+i3++i2019等于（ ）A.i B.1 C.-i D.-1.按文献记载，《百家姓》成文于北宋初年，表1记录了《百家姓》开头的24大姓氏：表1赵钱孙李周吴郑王冯陈褚卫蒋沈韩杨朱秦尤许何口口施张表2记录了2018年中国人口最多的前25大姓氏:表21:李2:王3:张4:刘5:陈6:杨7:赵8:黄9:周10:吴11滁12:孙13:胡14侏15:高16林17何18:郭19:马20:罗21:梁22:宋23:郑24:谢25:韩

从《百家姓》开头的24大姓氏中随机选取1个姓氏，则该姓氏是2018年中国人口最多的前24大姓氏的概率为A・— B.— C.—则1叫+aj的值为（）.已知数列｛a｝是等差数列，且a+a+a则1叫+aj的值为（）.函数f（x）=±e：的图像大致为（X25.X25.我国古代数学名著《数书九章》中有，米谷粒分”问题：“开仓受纳，有甲户米一千五百三十四每勺三百，今欲知米内杂谷多少.”其大意是，粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米153石154石169石170石内夹谷，抽样取米一把，数得153石154石169石170石4 4A.4 4A.(-,4] B.[-,4)C.[2,4)D.(2,4]6.已知函数f（x）=AsinQx+中）-e」丈（A>0,3>0,0<。<兀）的图象如图所示，则A①的可能取值为（）x-y+1Q0的取值范围是（）.设实数x,y满足L>0 厕

的取值范围是（）2 2.已知椭圆Q号+'ia>b>0),F1,F2为其左、右焦点，P为椭圆C上除长轴端点外的任一点，△F1PF2的重心为6,内心/，且有IG二三(其中入为实数)，椭圆C的离心率e=( )第二部分(非选择题共110第二部分(非选择题共110分)二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。.在△ABC中，M为AC中点，BC=CD,MD=xAB+yAC,则x+y=.f1+1+-](l+x2)展开式中x2的系数为Ixx2).我国南北朝时期数学家祖暅，提出了著名的祖暅原理：“缘幕势既同，则积不容异也”.“幕”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高几何体，若在每一等高处的截面积都相等，则两几何体体积相等.已知某不规则几何体与右侧三视图所对应的几何体满足“幕势既同”，其中俯视图中的圆弧为1圆周，则该不规则几何体的体积为4.已知如图所示的程序框图是为了求出使加<5000的n最大值，那么在①和②处可以分别填入.若函数/(x)=ax3-fx2+1存在唯一的零点0,且x。>0，则实数a的取值范围是.已知正方形ABCD的边长为2的，将4ABC沿对角线AC折起，使平面ABC，平面ACD,得到如图所示的三棱锥B-ACD,若O为AC边的中点，M,N分别为DC,BO上的动点(不包括端点)，且BN=CM,设BN=x，则三棱锥N-AMC的体积取得最大值时，三棱锥N-ADC的内切球的半径为.BD三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。.(本小题满分13分)已知△ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c,sinA=\"(1—cosA).⑴求A；.. . 13再(2)若a=7,sinB+sinC=4，求△ABC的面积.16.(本小题满分13分)已知数列｛aj的首项a1=3,an虫=41aH，n金⑼)nA1 1,_.,,(1)求证：数列小一2|为等比数列；an(2)记S=1+1+…+=，若S<100,求n的最大值.naaan1 2 n17.（本小题满分13分）已知某中学高三文科班学生共有800人参加了数学与地理的水平测试，学校决定利用随机数表法从中抽取100人进行成绩抽样调查，先将800人按001,002,…，800进行编号.（1）如果从第8行第7列的数开始向右读，请你依次写出最先检查的3个人的编号;（下面摘取了第7行到第9行）84 42 17 53 3121 76 33 50 2563 01 63 78 5912 86 73 58 0733 21 12 34 2984 42 17 53 3121 76 33 50 2563 01 63 78 5912 86 73 58 0733 21 12 34 2915 51 00 13 4257 24 55 06 8883 92 12 06 7616 95 55 67 1944 39 52 38 7978 64 56 07 8299 66 02 79 54770474476798105071755242074438⑵抽取的100人的数学与地理的水平测试成绩如下表:人数数学优秀良好及格地理优秀7205良好9186及格a4b成绩分为优秀、良好、及格三个等级；横向，纵向分别表示地理成绩与数学成绩,例如：表中数学成绩为良好的共有20+18+4=42.①若在该样本中，数学成绩优秀率是30%,求a,b的值;

②在地理成绩及格的学生中，已知a>11,bN7,求数学成绩优秀的人数比及格的人数少的概率.18.(本小题满分13分)如图所示，三棱锥P—ABC中，PA，平面ABC,PA=1,AB=1,AC=2,/BAC=60°.(1)求三棱锥P—ABC的体积;⑵证明：在线段PC⑵证明：在线段PC上存在点M,使得AC±BM,.PM.并求MM的值.19.(本小题满分14分)已知椭圆上+F=1(a>b>0)的离心率为L点f1,31在椭圆上.a2b2 2I2)(1)求椭圆的方程；(2)过椭圆的右焦点F作互相垂直的两条直线八/2,其中直线l1交椭圆于P、Q两点,直线12交直线x=4于M点，求证：直线OM平分线段PQ.20.(本小题满分14分)已知函数f(x)=9-a-alnx.xx(1)当a=0时，求函数f(x)的单调区间;

（2）若函数f（x）在x=1处取得极大值，求实数a的取值范围.北京市一零一中学2019年高考查缺补漏卷（一）理科数学试题参考答案及评分标准一.选择题题号12345678答案DDACCBAB二.填空题9-210.151n一+—36S<5000?;S=S^2妙14.2--T"三.解答题15.（本小题满分三.解答题15.（本小题满分13分）AA AA，.包(1)由于sinA=\j3(1—cosA),所以2sm2cos]=2可3sm号,tan]=手.n因为0<4(n故A=3.a14 14 14(2)根据正弦定理得备工=7T|，b=TT^sinB,c=-^sinC.

因为sin5+sin。=耳W，所以Z?+c=13.71由余弦定理得a2=b2~\~c2—2Z?ccos^,得Z?c—40.因此/MB。的面积为:反sin4=104.16.（本小题满分13分）14 1⑴证明.・.「巧+犷“+1 nr1 i 1 1・・・数列/一2是首项为一千公比为彳的等比数列.a D DInJ⑵解由⑴可求得J—2=一i,1__13?7+1 1।1■J-2〃 n-2n-2+2^,1-311若SvlOO,贝lj2〃一5+寸＜100,：.n=50.n ZZ・5rl max17.（本小题满分13分）解（1）在随机数表中，从第8行第7列的数开始向右三位三位的读数，依次可得抽取的个体的编号为785,567,199.（2）①由题意得7，；，"=30%,解得〃=14,所以b=100—30—(20+18+4)—(5+6)=17.故a,b的值分别为14,17.②由题意得a+b=100—(7+20+5)—(9+18+6)—4=31,因为a>11,bN7,所以a,b搭配的所有情况有：(11,20),(12,19),(13,18),(14,17),(15,16),(16,15),(17,14),(18,13),(19,12),(20,11),(21,10),(22,9),(23,8),(24,7),共14种.设“a>11,b>7时，数学成绩优秀的人数比及格的人数少”为事件A，即a+5<b.则事件A包含的基本事件有：(11,20),(12,19),共2个.TOC\o"1-5"\h\z2 1所以尸(A)=14=7,即数学成绩优秀的人数比及格的人数少的概率为；..(本小题满分13分)解(1)：AB=1,AC=2,/BAC=60°,1 3,SAa5=o-AB-AC-sin60°=片.△ABC2 2由PA，平面ABC可知，PA是三棱锥P—ABC的高，且PA=1,一…，…一 1 3・•・三棱锥P—ABC的体积V=3-S△ABC-PA=*.⑵在平面ABC内，过点B作BN±AC,垂足为N，在平面PAC内，过点N作MN〃PA交PC于点M,连接BM.:PA，平面ABC,ACu平面ABC・•.PA±AC

又：BNLAC,BNCMN=N,BN,MNu平面BMN,.\ACL平面MBN.又：BMu平面MBN,.\ACLBM.在RtABAN中，AN=AB-cosZBAC=2，3从而NC=AC—AN=2，由MN仙，得M=N=1..(本小题满分14分)(1)由e=£=1得a=2c，所以b2=3c2a293、，一1由点1,3在椭圆上得—+4-=1解得c=1,I2) 4c23c2b=、，a2—c2=<3所求椭圆方程为宁+号=1(2)解法一：当直线l的斜率不存在时，直线OM平分线段PQ成立1当直线l的斜率存在时，设直线l方程为y=k(x-1),'y=k(x-1) ()联立方程得《x2y2 ，消去y得(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=联立方程得《—十—=1[4 3因为l过焦点，所以A>0恒成立,1设P(x,y),Q(x,y),8k24左2-8k2 ,XX= -2)=」4k2+3 124k2-2)=」y+y=k^x一1)+左(x—1)=左(x+x

1 2 1 2 1 2所以PQ的中点坐标为、止+3'4^2+3J直线，2方程为一*」)，加4%)所以直线0M方程为了=--x，4k14左2+3，4^2+3)满足直线0M方程，即0M平分线段尸所以直线0M方程为了=--x，4k14左2+3，4^2+3)满足直线0M方程，即0M平分线段尸Q综上所述，直线平分线段尸。(2)解法二：因为直线/与x=4有交点，所以直线/的斜率不能为0,

2 1可设直线/方程为1=叫+1,

1联立方程得＜x=my+1%2V25消去％—+—=114 3得(3机2+4)y2+6my-9=0因为/过焦点，所以A,。恒成立，设P(x,y),g(x,y),

1 11 2 26my+y=-- ；，yyi2 3m2+4 i293ni2+4x+x=m1 2'+y)+2=--—

1 2 3m2+4所以尸Q的中点坐标为3m,3m2+4/直线/方程为y=-根(％-1)，M(4,y),由题可得M(4,-3机),所以直线OM方程为y=-3mx,4满足直线OM方程，即OM平分线段PQ综上所述，直线OM平分线段PQ20.(本小题满分14分)解：(I)f(x)定义域为(0,+s),当a=0时，f(x)=上， ex(x-1),xf'(x)=」一)x2令f'(x)