2022中考数学模拟试题分类汇编26矩形菱形正方形2

2022年中考数学试题分类汇编26矩形、菱形、正方形一、选择1.（2022浙江省舟山，10，3分）如图，①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30°内角的菱形EFGH（不重叠无缝隙）．若①②③④四个平行四边形面积的和为14cm2，四边形ABCD面积是11cm2，则①②③④四个平行四边形周长的总和为（）（A）48cm （B）（C）24cm （D）（第（第10题）①②③④⑤【答案】A2.（2022山东德州8,3分）图1是一个边长为1的等边三角形和一个菱形的组合图形，菱形边长为等边三角形边长的一半，以此为基本单位，可以拼成一个形状相同但尺寸更大的图形（如图2），依此规律继续拼下去（如图3），……，则第n个图形的周长是图1图1图2图3……（A）（B）（C）（D）【答案】C3.（2022山东泰安，17，3分）如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1+S2的值为.17C【答案】B4.（2022山东泰安，19，3分）如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，若BC=3，则折痕CE的长为eq\r(3)B.eq\f(3eq\r(3),2)C.eq\r(3)【答案】A5.（2022浙江杭州，10，3）在矩形ABCD中，有一个菱形BFDE(点E，F分别在线段AB，CD上)，记它们的面积分别为．现给出下列命：（）①若，则．②若则．则:A．①是真命，②是真命B．①是真命，②是假命C．①是假命，②是真命D，①是假命，②是假命【答案】A6.（2022浙江衢州，1,3分）衢州市新农村建设推动了农村住宅旧貌变新颜，如图为一农村民居侧面截图，屋坡分别架在墙体的点、点处，且,侧面四边形为矩形，若测得，则()A.35°B.40°C.55°D.70°（第5题）（第5题）【答案】C7.（2022浙江温州，6，4分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．已知∠AOB=60°，AC＝16，则图中长度为8的线段有()A．2条 B．4条 C．5条 D．6条【答案】D8.2022四川重庆，10，4分）如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG＝GC；③AG∥CF；④S△FGC＝3．其中正确结论的个数是()A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C9.（2022浙江省嘉兴，10，4分）如图，①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30°内角的菱形EFGH（不重叠无缝隙）．若①②③④四个平行四边形面积的和为14cm2，四边形ABCD面积是11cm2，则①②③④四个平行四边形周长的总和为（）（A）48cm （B）（C）24cm （D）（第（第10题）①②③④⑤【答案】A10．（2022台湾台北，29）如图(十二)，长方形ABCD中，E为中点，作的角平分线交于F点。若＝6，＝16，则的长度为何？A．4B．5C．6D．【答案】C11.（2022湖南邵阳，7，3分）如图（二）所示，中，对角线AC，BD相交于点O，且AB≠AD，则下列式子不正确的是（）⊥BD ＝CD C.BO=OD D.∠BAD=∠BCD【答案】A.提示：当且仅当为菱形时，AC⊥BD。12.（2022湖南益阳，7，4分）如图2，小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A和B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D，则直线CD即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形AACD图2BB【答案】B13.（2022山东聊城，7，3分）已知一个菱形的周长是20cm，两条对角线的比是4∶3，则这个菱形的面积是（）A．12cm2B．24cm2C．48cm2D．96cm【答案】B14.（2022四川宜宾,7,3分）如图，矩形纸片ABCD中，已知AD=8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF=3，则AB的长为（）A．3B．4C（第7题图）（第7题图）【答案】D15.（2022天津，5,3分）如图，将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、CB均落在对角线BD上，得折痕BE、BF，则∠EBF的大小为（）°°°°答案：C16.（2022江苏淮安，5，3分）在菱形ABCD中，AB=5cmA.5cmB.15cmC.20【答案】C17.（2022山东临沂，11，3分）如图，△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、AB于点D、F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∩A＝30°，BC＝2，AF＝BF,则四边形BCDE的面积是（）A．2B．3C．4D．4【答案】A18.（2022四川绵阳7，3）下列关于矩形的说法中正确的是A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相平分的四边形是矩形C．矩形的对角线互相垂直且平分D．矩形的对角线相等且互相平分【答案】D19.（2022四川乐山9，3分）如图（5），在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD的中点，AE交BF于点H，CG∥AE交BF于点G。下列结论：①tan∠HBE=cot∠HEB②③BH=FG④.其中正确的序号是A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④【答案】D20．（2022江苏无锡，5，3分）菱形具有而矩形不一定具有的性质是()A．对角线互相垂直B．对角线相等C．对角线互相平分D．对角互补【答案】A21.（2022湖北武汉市，12，3分）如图，在菱形ABCD中，AB=BD，点E，F分别在AB，AD上，且AE=DF．连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H．下列结论：

①△AED≌△DFB；

②S四边形

BCDG=

CG2；③若AF=2DF，则BG=6GF．其中正确的结论A．只有①②．

B．只有①③．C．只有②③．

D．①②③．AABCDEFGH第12题图【答案】D22.（2022广东茂名，5，3分）如图，两条笔直的公路、相交于点O，村庄C的村民在公路的旁边建三个加工厂A．B、D，已知AB＝BC＝CD＝DA＝5公里，村庄C到公路的距离为4公里，则村庄C到公路的距离是A．3公里 B．4公里C．5公里 D．6公里【答案】B23.（2022湖北襄阳，10，3分）顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是菱形，则四边形ABCD一定是A.菱形 B.对角线互相垂直的四边形 C.矩形 D.对角线相等的四边形【答案】D24.（2022湖南湘潭市，5，3分）下列四边形中，对角线相等且互相垂直平分的是A.平行四边形 B.正方形 C.等腰梯形 D.矩形【答案】B25.（2022湖北襄阳，10，3分）顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是菱形，则四边形ABCD一定是A.菱形 B.对角线互相垂直的四边形 C.矩形 D.对角线相等的四边形【答案】D26.（2022广东佛山，6，3）依次连接菱形的各边中点，得到的四边形是A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.梯形【答案】A27.（2022山东莱芜，10，3分）如图，E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，且AB=CD，下列结论：①EG⊥FH②四边形EFGH是矩形③HF平分∠EHG④EG=（BC-AD）⑤四边形EFGH是菱形其中正确的个数是（）1B.2C.3D.【答案】C28.（2022广东清远，10，3分）如图3，若要使平行四边形ABCD成为菱形，则需要添加的条件是（）A．AB＝CD＝BC＝BC＝BD【答案】C29.（2022湖南娄底，6,3分）下列命中，是真命的是A.两条对角线互相平分的四边形是平行四边形B.两条对角线相等的四边形是矩形C.两条对角线互相垂直的四边形是菱形D.两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形【答案】A30.（2022湖北省随州市，3，4分）如图：矩形ABCD的对角线AC=10，BC=8，则图中五个小矩形的周长之和为第3图.16C【答案】D31.（2022江西b卷，8,3分）如图,将矩形ABCD对折，得折痕PQ，再沿MN翻折，使点C恰好落在折痕PQ上的点C′处，点D落在D′处，其中M是BC的中点.连接AC′，BC′，则图中共有等腰三角形的个数是（）.A.1.2CAABD′PCDMNEC′QF第8题【答案】C32.（2022江苏徐州，9,2分）如图将边长为的正方形与原正方形ABCD沿对角线AC平移，使点A移至线段AC的中点A′处，的新正方形A′B′C′D′，新正方形与原正方形重叠部分（图中阴影部分）的面积是（）A.B.C.1D.（第9）【答案】二、填空1.（2022山东滨州，17，4分）将矩形ABCD沿AE折叠，得到如图所示图形。若∠CED′=56°,则∠AED的大小是_______.（第1（第17题图）【答案】62°2.（2022山东德州16,4分）长为1，宽为a的矩形纸片（），如图那样折一下，剪下一个边长等于矩形宽度的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的矩形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去．若在第n此操作后，剩下的矩形为正方形，则操作终止．当n=3时，a的值为_____________．第一次操作第一次操作第二次操作【答案】或3.（2022湖北鄂州，5，3分）如图：矩形ABCD的对角线AC=10，BC=8，则图中五个小矩形的周长之和为_______．AABCD

第5题图【答案】284.（2022山东烟台，17,4分）如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1、O2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是.【答案】25.(2022浙江湖州，16，4)如图，甲类纸片是边长为2的正方形，乙类纸片是边长为1的正方形，丙类纸片是长、宽分别为2和1的长方形．现有甲类纸片1张，乙类纸片4张，则应至少取丙类纸片张，才能用它们拼成一个新的正方形．【答案】46.(2022浙江绍兴，15，5分)取一张矩形纸片按照图1、图2中的方法对折，并沿图3中过矩形顶点的斜线（虚线）剪开，那剪下的①这部分展开，平铺在桌面上，若平铺的这个图形是正六边形，则这张矩形纸片的宽和长之比为.【答案】7.（2022甘肃兰州，20，4分）如图，依次连结第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连结菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去。已知第一个矩形的面积为1，则第n个矩形的面积为。…………【答案】8.（2022江苏泰州，18，3分）如图，平面内4条直线L1、L2、L3、L4是一组平行线，相邻2条平行线间的距离都是1个单位长度，正方形ABCD的4个顶点A、B、C、D都在这些平行线上，其中点Ａ、Ｃ分别在直线L1和L4上，该正方形的面积是平方单位．【答案】5或99.（2022山东潍坊，16，3分）已知线段AB的长为a，以AB为边在AB的下方作正方形ACDB.取AB边上一点E，以AE为边在AB的上方作正方形AENM.过E作EF⊥CD，垂足为F点.若正方形AENM与四边形EFDB的面积相等，则AE的长为_________________.【答案】10．（2022山东潍坊，17，3分）已知长方形ABCD，AB=3cm，AD=4cm，过对角线BD的中点O做BD的垂直平分线EF，分别交AD、BC于点E、F，则【答案】11.（2022四川内江，16，5分）如图，点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、BD、BC、CA的中点，当四边形ABCD的边至少满足条件时，四边形EFGH是菱形．AABCDEFGH【答案】AB=CD12.(2022重庆綦江，14，4分)如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC＝8，BD＝6，过点O作OH⊥AB，垂足为H，则点O到边AB的距离OH＝．【答案】：13.（2022江苏淮安，17，3分）在四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC.请再添加一个条件，使四边形ABCD是矩形.你添加的条件是.(写出一种即可)【答案】∠A=90°或∠B=90°或∠C=90°或∠D=90°或AC=BD(答案不唯一，写出一种即可)14.(2022江苏南京，12，2分)如图，菱形ABCD的连长是2㎝，E是AB中点，且DE⊥AB，则菱形ABCD的面积为_________㎝2．(第12题)(第12题)BADCE【答案】15.（2022江苏南通，15，3分）如同，矩形纸片ABCD中，AB＝2cm，点E在BC上，且AE＝EC.若将纸片沿AE折叠，点B恰好与AC上的点重合，则AC＝▲cm.【答案】416.（2022四川绵阳17，4）如图，将长8cm，宽4cm的矩形纸片ABCD折叠，使点A与C重合，则折痕EF的长为_____cm.【答案】2EQ\r(,5)17.（2022四川凉山州，17，4分）已知菱形ABCD的边长是8，点E在直线AD上，若DE=3，连接BE与对角线AC相交于点M，则的值是。【答案】或18.（2022湖北黄冈，5，3分）如图：矩形ABCD的对角线AC=10，BC=8，则图中五个小矩形的周长之和为_______．AABCD

第5题图【答案】2819.（2022湖北黄石，13，3分）有甲乙两张纸条，甲纸条的宽是乙纸条宽的2倍，如图（4）.将这两张纸条交叉重叠地放在一起，重合部分为四边形ABCD，则AB与BC的数量关系为。【答案】AB=2BC20．（2022山东日照，16，4分）正方形ABCD的边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，且始终保持AM⊥MN．当BM=时，四边形ABCN的面积最大．【答案】2;21.（2022河北，14，3分）如图6，已知菱形ABCD，其顶点A，B在数轴对应的数分别为-4和1，则BC=__．【答案】522.（2022湖北孝感，16，3分）已知正方形ABCD，以CD为边作等边△CDE，则∠AED的度数是.【答案】15°或75°23.(2022山东淄博，17，4分)如图，正方形ABCD的边长为2，点E是BC边的中点，过点B作BG⊥AE，垂足为G，延长BG交AC于点F，则CF=．【答案】24.（2022山东青岛，14，3分）如图，已知正方形ABCD的边长为1，若以正方形ABCD的边AB为对角线作第二个正方形AEBO1，再以边BE为对角线作第三个正方形EFBO2，如此作下去，…，则所作的第n个正方形的面积Sn=.【答案】25.（2022广西贵港，16，2分）如图所示，将两张等宽的长方形纸条交叉叠放，重叠部分是一个四边形ABCD，若AD＝6cm，∠ABC＝60°，则四边形ABCD的面积等于cm2。AABCD60°【答案】26.（2022湖南岳阳，15,3分）将边长分别为，，，…的正方形的面积记作，，，，…，计算，，，…若边长为（n为正整数）的正方形面积记作，根据你的计算结果，猜想．【答案】三、解答1.（2022浙江省舟山，23，10分）以四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E、F、G、H，顺次连结这四个点，得四边形EFGH．（1）如图1，当四边形ABCD为正方形时，我们发现四边形EFGH是正方形；如图2，当四边形ABCD为矩形时，请判断：四边形EFGH的形状（不要求证明）；（2）如图3，当四边形ABCD为一般平行四边形时，设∠ADC=（0°＜＜90°），①试用含的代数式表示∠HAE；②求证：HE=HG；③四边形EFGH是什么四边形？并说明理由．（第23题图（第23题图2）（第23题图3）（第23题图1）【答案】（1）四边形EFGH是正方形．(2)①∠HAE=90°＋a．在□ABCD中，AB∥CD，∴∠BAD=180°－∠ADC=180°－a；∵△HAD和△EAB都是等腰直角三角形，∴∠HAD=∠EAB=45°，∴∠HAE=360°－∠HAD－∠EAB－∠BAD＝360°－45°－45°－（180°－a）＝90°＋a．②∵△AEB和△DGC都是等腰直角三角形，∴AE=AB，DG=CD，在□ABCD中，AB=CD，∴AE=DG，∵△HAD和△GDC都是等腰直角三角形，∴∠DHA=∠CDG=45°，∴∠HDG=∠HAD＋∠ADC＋∠CDG＝90°＋a＝∠HAE．∵△HAD是等腰直角三角形，∴HA=HD，∴△HAE≌△HDG，∴HE=HG．③四边形EFGH是正方形．由②同理可得：GH=GF，FG=FE，∵HE=HG（已证），∴GH=GF=FG=FE，∴四边形EFGH是菱形；∵△HAE≌△HDG（已证），∴∠DHG=∠AHE，又∵∠AHD=∠AHG＋∠DHG=90°，∴∠EHG=∠AHG＋∠AHE＝90°，∴四边形EFGH是正方形．2.（2022安徽，23，14分）如图，正方形ABCD的四个顶点分别在四条平行线、、、上，这四条直线中相邻两条之间的距离依次为、、（＞0，＞0，＞0）．（1）求证：=；ll1l2l3l4h1h2h3ABCD（2）设正方形ABCD的面积为S，求证：S=；（3）若，当变化时，说明正方形ABCD的面积S随的变化情况．l1l1l2l3l4h1h2h3ABCDEFG1423【答案】（1）过A点作AF⊥l3分别交l2、l3于点E、F，过C点作CG⊥l3交l3于点G，∵l2∥l3，∴∠2=∠3，∵∠1+∠2=90°，∠4+∠3=90°，∴∠1=∠4，又∵∠BEA=∠DGC=90°,BA=DC，∴△BEA≌△DGC，∴AE=CG，即=；（2）∵∠FAD+∠3=90°，∠4+∠3=90°，∴∠FAD=∠4，又∵∠AFD=∠DGC=90°,AD=DC，∴△AFD≌△DGC，∴DF=CG，∵AD2=AF2+FD2，∴S=；(3)由意，得，所以，又，解得0＜h1＜∴当0＜h1＜时，S随h1的增大而减小；当h1=时，S取得最小值；当＜h1＜时，S随h1的增大而增大.3.（2022福建福州，21，12分）已知,矩形中,,,的垂直平分线分别交、于点、,垂足为.(1)如图10-1,连接、.求证四边形为菱形,并求的长；(2)如图10-2,动点、分别从、两点同时出发,沿和各边匀速运动一周.即点自→→→停止,点自→→→停止.在运动过程中,=1\*GB3①已知点的速度为每秒5,点的速度为每秒4,运动时间为秒,当、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时,求的值.=2\*GB3②若点、的运动路程分别为、(单位:,),已知、、、四点为顶点的四边形是平行四边形,求与满足的数量关系式.图图10-1图10-2备用图【答案】(1)证明:①∵四边形是矩形∴∥∴,∵垂直平分,垂足为∴∴≌∴∴四边形为平行四边形又∵∴四边形为菱形②设菱形的边长,则在中,由勾股定理得,解得∴(2)=1\*GB3①显然当点在上时,点在上,此时、、、四点不可能构成平行四边形;同理点在上时,点在或上,也不能构成平行四边形.因此只有当点在上、点在上时,才能构成平行四边形 ∴以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时,∵点的速度为每秒5,点的速度为每秒4,运动时间为秒∴,∴,解得∴以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时,秒.=2\*GB3②由意得,以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时,点、在互相平行的对应边上.分三种情况:=1\*romani)如图1,当点在上、点在上时,,即,得=2\*romanii)如图2,当点在上、点在上时,,即,得=3\*romaniii)如图3,当点在上、点在上时,,即,得综上所述,与满足的数量关系式是 图图1图2图34.（2022广东广州市，18，9分）如图4，AC是菱形ABCD的对角线，点E、F分别在边AB、AD上，且AE=AF．求证：△ACE≌△ACF．图4A图4ABCDEF【答案】∵四边形ABCD为菱形∴∠BAC=∠DAC又∵AE=AF，AC=AC∴△ACE≌△ACF（SAS）5.（2022山东滨州，24，10分）如图，在△ABC中，点O是AC边上（端点除外）的一个动点，过点O作直线MN∥BC.设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F，连接AE、AF。那么当点O运动到何下时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论。（第24题图）（第24题图）【答案】当点O运动到AC的中点（或OA=OC）时，四边形AECF是矩形………………2分证明：∵CE平分∠BCA,∴∠1=∠2，………………3分又∵MN∥BC,∴∠1=∠3，∴∠3=∠2，∴EO=CO.………………5分同理，FO=CO………………6分∴EO=FO又OA=OC,∴四边形AECF是平行四边形………………7分又∵∠1=∠2，∠4=∠5，∴∠1+∠5=∠2+∠4.………………8分又∵∠1+∠5+∠2+∠4=180°∴∠2+∠4=90°………………9分∴四边形AECF是矩形………………10分6.（2022山东济宁，22，8分）数学课上，李老师出示了这样一道目：如图，正方形的边长为，为边延长线上的一点，为的中点，的垂直平分线交边于，交边的延长线于.当时，与的比值是多少？经过思考，小明展示了一种正确的解思路：过作直线平行于交，分别于，，如图，则可得：，因为，所以.可求出和的值，进而可求得与的比值.(1)请按照小明的思路写出求解过程.(2)小东又对此作了进一步探究，得出了的结论.你认为小东的这个结论正确吗？如果正确，请给予证明；如果不正确，请说明理由.(第22题)(第22题)（1）解：过作直线平行于交，分别于点，，则，，.∵，∴. 2分∴，.∴. 4分（2）证明：作∥交于点， 5分则，.∵，∴.∵，，∴.∴. 7分∴. 8分(第22题)(第22题)7.（2022福建泉州，25，12分）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（0，8），点B（）在直线上运动，点D、E、F分别为OB、OA、AB的中点，其中是大于零的常数.（1）判断四边形DEFB的形状，并证明你的结论；（2）试求四边形DEFB的面积与的关系式；（3）设直线与轴交于点C，问：四边形DEFB能不能是矩形？若能，求出的值；若不能，说明理由.【答案】（1）四边形DEFB是平行四边形证明：∵D、E分别是OB、OA的中点，∴DE∥AB，同理，EF∥OB，∴四边形DEFB是平行四边形.（2）解法一：由（1）得EF∥OB，∴△AEF～△AOB，∴∴.同理，∴，即.解法二：如图，连结BE，.∵E、F分别为OA、AB的中点，∴.同理，∴，即.（3）解法一：以E为圆心、OA长为直径的圆记为⊙E.①当直线与⊙E相切或相交时，若点B是切点或交点，则∠ABO=90°，由（1）知，四边形DEFB是矩形.此时可得△AOB～△OBC，故.即（注：本式也可以由三角函数值得到）.在Rt△OBC中，，∴,∴.解得：.②当直线与⊙E相离时，∠ABO≠90°，∴四边形DEFB不是矩形，此时，∴当时，四边形DEFB不是矩形.综上所述，当，四边形DEFB是矩形，这时；当时，四边形DEFB不是矩形.解法二：由（1）知，当∠ABO=90°，四边形DEFB是矩形，此时Rt△OBC～Rt△ABO，∴，又，∴，∴.当时，解得，这时四边形DEFB是矩形.当，无实数解，这时四边形DEFB不是矩形.综上所述，当时，四边形DEFB是矩形，此时.解法三：如图，过点A作AM⊥BC于点M，在Rt△AMB中，在Rt△OCB中，.在△OAB中，当，∠ABO=90°，则四边形DEFB是矩形.∴，化简得，配方得：.其余同解法二.8.（2022山东烟台，24,10分）已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，CD⊥AD，AD2＋CD2＝2AB2．（1）求证：AB＝BC；ABCDE（2）当BE⊥AD于E时，试证明：BE＝ABCDE【答案】（1）证明：连接AC，∵∠ABC＝90°，∴AB2＋BC2＝AC2.∵CD⊥AD，∴AD2＋CD2＝AC2.∵AD2＋CD2＝2AB2，∴AB2＋BC2＝2AB2，∴AB＝BC.（2）证明：过C作CF⊥BE于F.∵BE⊥AD，∴四边形CDEF是矩形.∴CD＝EF.∵∠ABE＋∠BAE＝90°，∠ABE＋∠CBF＝90°，∴∠BAE＝∠CBF，∴△BAE≌△CBF.∴AE＝BF.∴BE＝BF＋EF＝AE＋CD.9.(2022浙江湖州，22，8)如图已知E、F分别是□ABCD的边BC、AD上的点，且BE=DF．(1)求证：四边形AECF是平行四边形；(2)若BC＝10，∠BAC＝90°，且四边形AECF是菱形，求BE的长．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，且AD=BC，∴AF∥EC，∵BE=DF，∴AF=EC，∴四边形AECF是平行四边形.（2）∵四边形AECF是，∴AE＝CE，∴∠1＝∠2，∵∠BAC＝90°，∴∠3＝∠90°－∠2，∠4＝∠90°－∠1，∴∠3＝∠4，∴AE＝BE，∴BE＝AE＝CE＝BC＝5.10．（2022宁波市，23，8分）如图，在□ABCD中，E、F分别为边ABCD的中点，BD是对角线，过A点作AGDB交CB的延长线于点G．（1）求证：DE∥BF；（2）若∠G＝90，求证四边形DEBF是菱形．解：（1）□ABCD中，AB∥CD，AB＝CD∵E、F分别为AB、CD的中点∴DF＝eq\f(1,2)DC，BE＝eq\f(1,2)AB∴DF∥BE，DF＝BE∴四边形DEBF为平行四边形∴DE∥BF(2)证明：∵AG∥BD∴∠G＝∠DBC＝90°∴DBC为直角三角形又∵F为边CD的中点．∴BF＝eq\f(1,2)DC＝DF又∵四边形DEBF为平行四边形∴四边形DEBF是菱形11.（2022浙江衢州，22,10分）如图，中，是边上的中线，过点作，过点作与分别交于点、点，连接求证：;当时，求证：四边形是菱形；在（2）的条件下，若，求的值.（第22题）（第22题）【答案】.证明：(1)解法1：因为DE解法2：又(2)解法1：证明是斜边上的中线又四边形是平行四边形四边形是菱形解法2证明：又四边形是平行四边形四边形是菱形解法3证明：四边形是平行四边形又四边形是菱形解法1解：四边形是菱形的中位线，则解法2解：四边形是菱形12.（2022广东珠海，15，6分）（本满分6分）如图，在正方形ABC1D1中，AB=1.连结AC1，以AC1为边作第二个正方形AC1C2D2；连结AC2，以AC2为边作第三个正方形AC2C3D（1）求第二个正方形AC1C2D2和第三个正方形AC2C3D（2）请直接写出按此规律所作的第7个正方形的边长.【答案】解：（1）∵四边形ABC1D1是正方形，∴∠B=90°，BC1=AB=1，∴AC1==.即第二个正方形AC1C2D2边长为.同理，AC2==2.即第三个正方形AC2C3D3的边长为2.（2）第7个正方形的边长是8.13.（2022福建泉州，21，9分）如图，将矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1(1)证明：△A1AD1≌△CC1B；(2)若∠ACB＝30°，试问当点C1在线段AC上的什么位置时，四边形ABC1D1是菱形.（直接写出答案）【答案】∵矩形ABCD∴BC=AD,BC∥AD∴∠DAC=∠ACB∵把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1∴∠A1=∠DAC,A1D1=AD,AA1=CC1∴∠A1=∠ACB，A1D1=CB。CCBADA1C1D1（第21题）∴△A1AD1≌△CC1B（SAS）。……………6分当C1在AC中点时四边形ABC1D1是菱形，……………9分14.（2022甘肃兰州，27，12分）已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD>AB），将纸片折叠一次，使点A与点C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，分别连结AF和CE。（1）求证：四边形AFCE是菱形；（2）若AE=10cm，△ABF的面积为24cm2，求△ABF的周长；（3）在线段AC上是否存在一点P，使得2AE2=AC·AP？若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由。AABCDEFO【答案】（1）由折叠可知EF⊥AC，AO=CO∵AD∥BC∴∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO∴△AOE≌△COF∴EO=FO∴四边形AFCE是菱形。（2）由（1）得AF=AE=10设AB=a，BF=b，得a2+b2=100①，ab=48②①+2×②得(a+b)2=196，得a+b=14（另一负值舍去）∴△ABF的周长为24cm（3）存在，过点E作AD的垂线交AC于点P，则点P符合意。AABCDEFOP证明：∵∠AEP=∠AOE=90°，∠EAP=∠OAE∴△AOE∽△AEP∴，得AE2=AO·AP即2AE2=2AO·AP又AC=2AO∴2AE2=AC·AP15.（2022广东株洲，23，8分）如图，矩形ABCD中，点P是线段AD上一动点，O为BD的中点，PO的延长线交BC于Q.（1）求证：OP=OQ；（2）若AD=8厘米，AB=6厘米，P从点A出发，以1厘米/秒的速度向D运动（不与D重合）.设点P运动时间为t秒，请用t表示PD的长；并求t为何值时，四边形PBQD是菱形．【答案】（1）证明：四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠PDO=∠QBO，又OB=OD，∠POD=∠QOB，∴△POD≌△QOB，∴OP=OQ。（2）解法一：PD=8-t∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，∵AD=8cm，AB=6cm，∴BD=10cm，∴OD=5cm.当四边形PBQD是菱形时，PQ⊥BD，∴∠POD=∠A，又∠ODP=∠ADB，∴△ODP∽△ADB，∴，即，解得,即运动时间为秒时，四边形PBQD是菱形.解法二：PD=8-t当四边形PBQD是菱形时，PB=PD=(8-t)cm，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，在RT△ABP中，AB=6cm，∴，∴，解得,即运动时间为秒时，四边形PBQD是菱形.16.（2022江苏苏州，28,9分）（本满分9分）如图①，小慧同学吧一个正三角形纸片（即△OAB）放在直线l1上，OA边与直线l1重合，然后将三角形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转120°，此时点O运动到了点O1处，点B运动到了点B1处；小慧又将三角形纸片AO1B1绕B1点按顺时针方向旋转120°，点A运动到了点A1处，点O1运动到了点O2处（即顶点O经过上述两次旋转到达O2处）.小慧还发现：三角形纸片在上述两次旋转过程中，顶点O运动所形成的图形是两段圆弧，即弧OO1和弧O1O2，顶点O所经过的路程是这两段圆弧的长度之和，并且这两端圆弧与直线l1围成的图形面积等于扇形AOO1的面积、△AO1B1的面积和扇形B1O1O2的面积之和.小慧进行类比研究：如图②，她把边长为1的正方形纸片OABC放在直线l2上，OA边与直线l2重合，然后将正方形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转90°，此时点O运动到了点O1处（即点B处），点C运动到了点C1处，点B运动到了点B1处；小慧又将正方形纸片AO1C1B1绕B1点按顺时针方向旋转90°，……，按上述方法经过若干次旋转后，她提出了如下问问①：若正方形纸片OABC按上述方法经过3次旋转，求顶点O经过的路程，并求顶点O在此运动过程中所形成的图形与直线l2围成图形的面积；若正方形OABC按上述方法经过5次旋转，求顶点O经过的路程；问②：正方形纸片OABC按上述方法经过多少次旋转，顶点O经过的路程是π？请你解答上述两个问.【答案】解问①：如图，正方形纸片OABC经过3次旋转，顶点O运动所形成的图形是三段弧，即弧OO1、弧O1O2以及弧O2O3，∴顶点O运动过程中经过的路程为.顶点O在此运动过程中所形成的图形与直线l2围成图形的面积为=1+π.正方形OABC经过5次旋转，顶点O经过的路程为.问②：∵方形OABC经过4次旋转，顶点O经过的路程为∴π=20×π+π.∴正方形纸片OABC经过了81次旋转.17.（2022江苏泰州，24，10分）如图，四边形ABCD是矩形，直线L垂直平分线段AC，垂足为O，直线L分别与线段AD、CB的延长线交于点E、F．（1）△ABC与△FOA相似吗？为什么？（2）试判定四边形AFCE的形状，并说明理由．【答案】(1)相似.由直线L垂直平分线段AC，所以AF=FC，∴∠FAC=∠ACF，又∵∠ABC=∠AOF=90°，∴△ABC∽FOA．（2）四边形AFCE是菱形。理由：∵AE∥CF，∴∠EAO=∠FCO，又∵AO＝CO，∠AOE=∠COF，∴△AOE≌△COF，∴AE=CF，又AE∥CF，∴四边形AFCE为平行四边形，又AF=FC，所以平行四边形AFCE为菱形．18.（2022江苏泰州，28，12分）在平面直角坐标系xoy中，边长为a（a为大于0的常数）的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点P，顶点A在x轴正半轴上运动，顶点B在y轴正半轴上运动（x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O），顶点C、D都在第一象限．（1）当∠BAO=45°时，求点P的坐标;(2)求证：无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动，点P都在∠AOB的平分线上；（3）设点P到x轴的距离为h，试确定h的取值范围，并说明理由．【答案】解：（1）当∠BAO=45°时，∠PAO=90°，在Rt⊿AOB中，OA＝AB＝，在Rt⊿APB中，PA＝AB＝。∴点P的坐标为（，）（2）过点P分别作x轴、y轴的垂线垂足分别为M、N，则有∠PMA=∠PNB=∠NPM=∠BPA=90°，∴∠MPA=∠NPB，又PA＝PB，∴△PAM≌△PBN，∴PM=PN，于是，点P都在∠AOB的平分线上；（3）＜h≤。当点B与点O重合时，点P到AB的距离为，然后顶点A在x轴正半轴上向左运动，顶点B在y轴正半轴上向上运动时，点P到AB的距离逐渐增大，当∠BAO=45°时，PA⊥x轴，这时点P到AB的距离最大为，然后又逐渐减小到，∵x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O，∴点P到x轴的距离的取值范围是＜h≤。19.（2022山东济宁，17，5分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作直线EF⊥BD，分别交AD、BC于点E和点F，求证：四边形BEDF是菱形．第17题第17题【答案】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，OB=OD，…………1分∴∠EDO=∠FBO，∠OED=∠OFB，…………2分∴△OED≌△OFB，∴DE=BF，………3分又∵DE∥BF，∴四边形BEDF是平行四边形，………………4分∵EF⊥BD，∴四边形BEDF是菱形．………5分20．（2022山东聊城，25，12分）如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝8cm，点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动，点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t秒时，△EFG的面积为S（cm2）．（1）当t＝1秒时，S的值是多少？（2）写出S和t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围．（3）若点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以点E、B、F为顶点的三角形与以F、C、G为顶点的三角形相似？请说明理由．【答案】（1）如图甲，当t＝1秒时，AE＝2，EB＝10，BF＝4，FC＝4，CG＝2，由S＝S梯形EGCG－SEBF－SFCG＝(10＋2)×8－×10×4－×4×2＝24(2)如图（甲），当0≤t≤2时，点E、F、G分别在AB、BC、CD上移动，此时AE＝2t，EB＝12－2t，BF＝4t，FC＝8－4t，S＝8t2－32t＋48（0≤t≤2）（3）如图乙，当点F追上点G时，4t＝2t＝8，解得t＝4，当2＜t≤4时，CF＝4t－8，CG＝2t，FG＝CG－CF＝8－2t，即S＝－8t＋32(2＜t≤4)，(3)如图（甲），当点F在矩形的边BC上移动时，0≤t≤2，在EFF和FCG中，B＝C＝90，，①若，即，解得t＝，又t＝满足0≤t≤2，所以当t＝时△EBF∽△GCF②若，即，解得t＝，又t＝满足0≤t≤2，所以当t＝时△EBF∽△GCF，综上知，当t＝或时，以点E、B、F为顶点的三角形与以F、C、G为顶点的三角形相似21.（2022山东潍坊，18，8分）已知正方形ABCD的边长为a，两条对角线AC、BD相交于点O，P是射线AB上任意一点，过P点分别做直线AC、BD的垂线PE、PF，垂足为E、F.（1）如图1，当P点在线段AB上时，求PE+PF的值；（2）如图2，当P点在线段AB的延长线上时，求PE－PF的值.【解】（1）∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD.∵PF⊥BD，∴PF∴四边形PFOE为矩形，故PE=OF.又∵∠PBF=45°，∴PF=BF.∴PE+PF=OF+FB=OB=.（2）∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD.∵PF⊥BD，∴PF∴四边形PFOE为矩形，故PE=OF.又∵∠PBF=45°，∴PF=BF.∴PE－PF=OF－BF=OB=.22.（2022四川广安，23，8分）如图5所示，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，DE∥AC交BC的延长线于点E．求证：DE=BE图5图5【答案】证明：∵ABCD是菱形，∠ABC=60°∴BC=AC=AD又∵DE∥AC∴ACED为平行四边形∴CE=AD=BCDE=AC∴DE=CE=BC∴DE=BE23.(2022江苏南京，21，7分)如图，将□ABCD的边DC延长到点E，使CE=DC，连接AE，交BC于点F．⑴求证：△ABF≌△ECF⑵若∠AFC=2∠D，连接AC、BE．求证：四边形ABEC是矩形．AABCDEF(第21题)【答案】证明：⑴∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD,AB=CD．∴∠ABF=∠ECF.∵EC=DC,∴AB=EC．在△ABF和△ECF中，∵∠ABF=∠ECF，∠AFB=∠EFC，AB=EC，∴⊿ABF≌⊿ECF．（2）解法一：∵AB=EC，AB∥EC，∴四边形ABEC是平行四边形．∴AF=EF，BF=CF．∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠D，又∵∠AFC=2∠D，∴∠AFC=2∠ABC．∵∠AFC=∠ABF+∠BAF，∴∠ABF=∠BAF．∴FA=FB．∴FA=FE=FB=FC,∴AE=BC．∴口ABEC是矩形．解法二：∵AB=EC，AB∥EC，∴四边形ABEC是平行四边形．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠D=∠BCE．又∵∠AFC=2∠D，∴∠AFC=2∠BCE，∵∠AFC=∠FCE+∠FEC，∴∠FCE=∠FEC．∴∠D=∠FEC．∴AE=AD．又∵CE=DC，∴AC⊥DE．即∠ACE=90°．∴口ABEC是矩形．24.（2022江苏南通，26，10分）（本体满分10分） 已知：如图1，O为正方形ABCD的中心，分别延长OA到点F，OD到点E，使OF＝2OA，OE＝2OD，连结EF，将△FOE绕点O逆时针旋转α角得到△（如图2）.探究AE′与BF'的数量关系，并给予证明；当α＝30°时，求证：△AOE′为直角三角形.【答案】（1）AE′＝BF证明：如图2，∵在正方形ABCD中，AC⊥BD∴∠＝∠AOD＝∠AOB＝90°即∠AOE′＋∠AOF′＝∠BOF′＋∠AOF′∴∠AOE′＝∠BOF′又∵OA＝OB＝OD，OE′＝2OD，OF′＝2OA∴OE′＝OF′∴△OAE′≌△OBF′∴AE′＝BF（2）作△AOE′的中线AM，如图3. 则OE′＝2OM＝2OD＝2OA ∴OA＝OM ∵α＝30° ∴∠AOM＝60° ∴△AOM为等边三角形∴ MA＝MO＝ME′，∠＝∠又∵∠＋∠＝∠AMO即2∠＝60°∴∠＝30°∴∠＋∠AOE′＝30°＋60°＝90°∴△AOE′为直角三角形.25.（2022山东临沂，22，7分）如图，△ABC中，AB＝AC，AD、CD分别是△ABC两个外角的平分线．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，＝2CD，对角线AC与BD相交于点O，线段OA，OB的中点分别为点E，F（1）求证：AC＝AD；（2）若∠B＝60°，求证：四边形ABCD是菱形；【解】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠BCA，∴∠EAC＝∠B＋∠BCA＝2∠B，∵AD平分∠FAC，∴∠FAD＝∠B，∴AD∥BC，……………………（2分）∴∠D＝∠DCE，∵CD平分∠ACE，∴∠ACD＝∠DCE，∴∠D＝∠ACD，………………（3分）∴AC＝AD；……………………（4分）（2）证明：∵∠B＝60°，∴∠ACB＝60°，∠FAC＝∠ACE＝120°，∴∠DCE＝∠B＝60°，………（5分）∴DC∥AB,∵AD∥BC，∴四边形ABCD为平行四边形，……………（6分）又由（1）知AC＝AD，∴AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形．……………………（7分）26.（2022山东临沂，25，11分)如图1，奖三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合，三角板的一边交CD于点F，另一边交CB的延长线于点G． （1）求证：EF＝EG；（2）如图2，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变．（1）中的结论是否仍然成立？若成立，情给予证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，将（2）中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且使三角板的一边经过点B，其他条件不变，若AB＝a,BC＝b，求的值．图1图2图3（1）证明：∵∠GEB＋∠BEF＝90°，∠DEF＋∠BEF＝90°，∴∠DEF＝GEB，………………（1分）又∵ED＝BE，∴Rt△FED≌Rt△GEB，…………（2分）∴EF＝EG．……………………（3分）(2)成立．……………………（4分）证明：如图，过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为H、I，则EH＝EI，∠HEI＝90°，…………………（5分）∵∠GEH＋∠HEF＝90°，∠IEF＋∠HEF＝90°，∴∠IEF＝∠GEH，……………（6分）∴Rt△FEI≌Rt△GEH,∴EF＝EG．………（7分）(3)解：如图，过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为M、N，则∠MEN＝90°，EM∥AB，EN∥AD,………（8分）∴＝＝，∴＝＝,…………（9分）∵∠GEM＋∠MEF＝90°，∠FEN＋∠MEF＝90°，∴∠FEN＝∠GEM，∴Rt△FEN∽Rt△GEM,…………（10分）∴＝＝．…………（11分）27.（2022海南省，23，10分）如图10，在菱形ABCD中，∠A=60°，点P、Q分别在边AB、BC上，且AP=BQ．（1）求证：△BDQ≌△ADP；（2）已知AD=3，AP=2，求cos∠BPQ的值（结果保留根号）．【答案】（1）∵在菱形ABCD中，∠A=60°∴∠ABC=120°，BD平分∠ABC，△ABD为等边三角形∴∠DBC=60°，AD=BD∴∠DBC=∠A∵AP=BQ∴△BDQ≌△ADP（2）过点Q作QE⊥AB交AB延长线与点E（如图）∵四边形ABCD为菱形∴AB=AD=3∵AP=2∴BP=1，BQ=AP=2∠CBE=180°－120°=60°∴BE=1，QE=∴PE=2，PQ=∴cos∠BPQ=28.（2022四川乐山20，10分）如图，E、F分别是矩形ABCD的对角线AC和BD上的点，且AE=DF。求证：BE=CF【答案】证明：∵四边形ABCD为矩形∴OA=OB=OC=OD∵AE=DF∴OE=OF在ΔBOE与ΔCOF中，∴ΔBOE≌ΔCOF(SAS)∴BE=CF29.（2022湖南衡阳，26，10分）如图，在矩形ABCD中，AD=4，AB=m(m＞4)，点P是AB边上的任意一点（不与A、B重合），连结PD，过点P作PQ⊥PD，交直线BC于点Q．(1)当m=10时，是否存在点P使得点Q与点C重合？若存在，求出此时AP的长；若不存在，说明理由；(2)连结AC，若PQ∥AC,求线段BQ的长（用含m的代数式表示）(3)若△PQD为等腰三角形，求以P、Q、C、D为顶点的四边形的面积S与m之间的函数关系式，并写出m的取值范围．【解】(1)假设当m=10时，存在点P使得点Q与点C重合（如下图），∵PQ⊥PD∴∠DPC=90°，∴∠APD＋∠BPC=90°，又∠ADP＋∠APD=90°，∴∠BPC=∠ADP，又∠B=∠A=90°，∴△PBC∽△DAP，∴，∴，∴或8，∴存在点P使得点Q与点C重合，出此时AP的长2或8．(2)如下图，∵PQ∥AC，∴∠BPQ=∠BAC，∵∠BPQ=∠ADP，∴∠BAC=∠ADP，又∠B=∠DAP=90°，∴△ABC∽△DAP，∴，即，∴．∵PQ∥AC，∴∠BPQ=∠BAC，∵∠B=∠B，∴△PBQ∽△ABC，，即，∴．(3)由已知PQ⊥PD，所以只有当DP=PQ时，△PQD为等腰三角形（如图），∴∠BPQ=∠ADP，又∠B=∠A=90°，∴△PBQ≌△DAP，∴PB=DA=4，AP=BQ=，∴以P、Q、C、D为顶点的四边形的面积S与m之间的函数关系式为：S四边形PQCD=S矩形ABCD－S△DAP－S△QBP===16（4＜≤8）．30.（2022贵州贵阳，18，10分）如图，点E是正方形ABCD内一点，△CDE是等边三角形，连接EB、EA，延长BE交边AD于点F．（1）求证：△ADE≌△BCE；（5分）（2）求∠AFB的度数．（5分）（第18图）【答案】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC=∠BCD=90°，AD=BC．∵△CDE是等边三角形，∴∠CDE=∠DCE=60°，DE=CE．∵∠ADC=∠BCD=90°，∠CDE=∠DCE=60°，∴∠ADE=∠BCE=30°．∵AD=BC，∠ADE=∠BCE，DE=CE，∴△ADE≌△BCE．（2）∵△ADE≌△BCE，∴AE=BE，∴∠BAE=∠ABE．∵∠BAE+∠DAE=90°，∠ABE+∠AFB=90°，∠BAE=∠ABE，∴∠DAE=∠AFB．∵AD=CD=DE，∴∠DAE=∠DEA．∵∠ADE=30°，∴∠DAE=75°，∴∠AFB=75°．31.（2022广东肇庆，20，7分）如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接EB、ED．（1）求证：△BEC≌△DEC；（2）延长BE交AD于点F，若∠DEB＝140，求∠AFE的度数．AABCDEF【答案】解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形∴CD＝CB，∵AC是正方形的对角线∴∠DCA＝∠BCA又CE＝CE∴△BEC≌△DEC(2）∵∠DEB＝140由△BEC≌△DEC可得∠DEC＝∠BEC＝1402＝70，∴∠AEF＝∠BEC＝70，又∵AC是正方形的对角线，∠DAB＝90∴∠DAC＝∠BAC＝902＝45，在△AEF中，∠AFE＝180—70—45＝6532.（2022广东肇庆，22，8分）如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．（1）求证：四边形OCED是菱形；（2）若∠ACB＝30，菱形OCED的面积为，求AC的长．AABCDEO【答案】解：（1）证明：∵DE∥OC，CE∥OD，∴四边形OCED是平行四边形．∵四边形ABCD是矩形∴AO＝OC＝BO＝OD∴四边形OCED是菱形．AABCDEO图8F（2）∵∠ACB＝30°∴∠DCO＝90°—30°＝60°又∵OD＝OC，∴△OCD是等边三角形过D作DF⊥OC于F，则CF＝OC，设CF＝，则OC＝2，AC＝4在Rt△DFC中，tan60°＝∴DF＝FCtan60°由已知菱形OCED的面积为得OCDF＝，即，解得＝2，∴AC＝42＝833.（2022湖北襄阳，25，10分)如图9，点P是正方形ABCD边AB上一点（不与点A，B重合），连接PD并将线段PD绕点P顺时针方向旋转90°得到线段PE，PE交边BC于点F，连接BE，DF.（1）求证：∠ADP＝∠EPB；（2）求∠CBE的度数；（3）当的值等于多少时，△PFD∽△BFP？并说明理由.图9图9【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形∴∠A＝∠PBC＝90°，AB＝AD，∴∠ADP＋∠APD＝90° 1分∵∠DPE＝90°∴∠APD＋∠EPB＝90°∴∠ADP＝∠EPB. 2分（2）过点E作EG⊥AB交AB的延长线于点G，则∠EGP＝∠A＝90° 3分又∵∠ADP＝∠EPB，PD＝PE，∴△PAD≌△EGP∴EG＝AP，AD＝AB＝PG，∴AP＝EG＝BG 4分∴∠CBE＝∠EBG＝45°. 5分（3）方法一：当时，△PFE∽△BFP. 6分∵∠ADP＝∠FPB，∠A＝∠PBF，∴△ADP∽△BPF 7分设AD＝AB＝a，则AP＝PB＝，∴BF＝BP· 8分∴，∴ 9分又∵∠DPF＝∠PBF＝90°，∴△ADP∽△BFP 10分方法二：假设△ADP∽△BFP，则. 6分∵∠ADP＝∠FPB，∠A＝∠PBF，∴△ADP∽△BPF 7分∴， 8分∴， 9分∴PB＝AP，∴当时，△PFE∽△BFP. 10分34.（2022湖南永州，25，10分）探究问：⑴方法感悟：如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠EAF=45°，连接EF，求证DE+BF=EF．感悟解方法，并完成下列填空：将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得：AB=AD,BG=DE,∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°,∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°，因此，点G，B，F在同一条直线上．∵∠EAF=45°∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°．∵∠1=∠2，∴∠1+∠3=45°．即∠GAF=∠_________．又AG=AE，AF=AF∴△GAF≌_______．∴_________=EF，故DE+BF=EF．（（第25题）①⑵方法迁移：如图②，将沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且∠EAF=∠DAB．试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想．（（第25题）②⑶问拓展：如图③，在四边形ABCD中，AB=AD，E，F分别为DC,BC上的点，满足,试猜想当∠B与∠D满足什么关系时，可使得DE+BF=EF．请直接写出你的猜想（不必说明理由）．（（第25题）③【答案】⑴EAF、△EAF、GF．⑵DE+BF=EF，理由如下：假设∠BAD的度数为，将△ADE绕点A顺时针旋转得到△ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得：AB=AD,BG=DE,∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°,∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°，因此，点G，B，F在同一条直线上．∵∠EAF=∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=∵∠1=∠2，∴∠1+∠3=．即∠GAF=∠EAF又AG=AE，AF=AF∴△GAF≌△EAF．∴GF=EF，又∵GF=BG+BF=DE+BF∴DE+BF=EF．（（第25题）②解得图⑶当∠B与∠D互补时，可使得DE+BF=EF．35.（2022江苏盐城，27，12分）情境观察将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开，得到△ABC和△A′C′D，如图1所示.将△A′C′D的顶点A′与点A重合，并绕点A按逆时针方向旋转，使点D、A(A′)、B在同一条直线上，如图2所示．观察图2可知：与BC相等的线段是▲，∠CAC′=▲°．图1图1图2问探究向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q.试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论.图3图3拓展延伸如图4，△ABC中，AG⊥BC于点G，分别以AB、AC为一边向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射线GA交EF于点H.若AB=kAE，AC=kAF，试探究HE与HF之间的数量关系，并说明理由.图4图4【答案】情境观察AD（或A′D），90问探究结论：EP=FQ.证明：∵△ABE是等腰三角形，∴AB=AE，∠BAE=90°.∴∠BAG+∠EAP=90°.∵AG⊥BC，∴∠BAG+∠ABG=90°，∴∠ABG=∠EAP.∵EP⊥AG，∴∠AGB=∠EPA=90°，∴Rt△ABG≌Rt△EAP.∴AG=EP.同理AG=FQ.∴EP=FQ.拓展延伸结论：HE=HF.理由：过点E作EP⊥GA，FQ⊥GA，垂足分别为P、Q.∵四边形ABME是矩形，∴∠BAE=90°，∴∠BAG+∠EAP=90°.AG⊥BC，∴∠BAG+∠ABG=90°，∴∠ABG=∠EAP.∵∠AGB=∠EPA=90°，∴△ABG∽△EAP，∴eq\f(AG,EP)=eq\f(AB,EA).同理△ACG∽△FAQ，∴eq\f(AG,FP)=eq\f(AC,FA).∵AB=kAE，AC=kAF，∴eq\f(AB,EA)=eq\f(AC,FA)=k，∴eq\f(AG,EP)=eq\f(AG,FP).∴EP=FQ.∵∠EHP=∠FHQ，∴Rt△EPH≌Rt△FQH.∴HE=HF.36.(20221江苏镇江,23,7分)已知:如图,在梯形ABCD中AB∥CD,BC=CD,AD⊥BD,E为AB中点,求证:四边形BCDE是菱形.答案:证明：∵AD⊥BD，∴∠ADB=90°。又E为AB中点，∴DE=AB,BE=AB,∴DE=BE∴∠DBE=∠EDB又AB∥CD,∴∠BDC=∠EDB∵BC=CD,∴∠DBC=∠DBC∴BC∥DE.∵EB∥CD∴四边形BCDE是平行四边形∵BC=CD∴四边形BCDE是菱形。37.(20221江苏镇江,25,6分)已知:如图1,图形①满足:AD=AB,MD=MB,∠A=72°,∠M=144°.图形②与图形①恰好拼成一个菱形(如图2).记作AB的长度为a,BM的长度为b.(1)图中①中∠B=___度,图中②中∠E=____度.(2)小明有两种纸片各若干张,其中一种纸片的形状及大小与图形①相同,这咱纸片称为“风筝一号”另一种纸片的形状及大小与图形②相同,这种纸片称为“飞镖一号”.①小明仅有“,风筝一号”纸片拼成一个边长为b的正十边形,需要这种纸片____张;②小明用若干张“风筝一号”和“飞镖一号”纸片拼成一个“大风筝”(如图3),其中∠P=72°,∠Q=144°,PI=PJ=a+b,IQ=JQ.庄股你在图穷匕见中画出拼接线并保留画图痕迹.(本中均为无重叠、无缝隙拼接) 【答案】（1）∠B=72°，∠E=36°（2）5个；（3）图略38.（2022贵州安顺，25，10分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，且AF=CE=AE．⑴说明四边形ACEF是平行四边形；⑵当∠B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形，并说明理由．第2第25题图【答案】（1）证明：由意知∠FDC=∠DCA=90°．∴EF∥CA∴∠AEF=∠EAC∵AF=CE=AE∴∠F=∠AEF=∠EAC=∠ECA又∵AE=EA∴△AEC≌△EAF，∴EF=CA，∴四边形ACEF是平行四边形．（2）当∠B=30°时，四边形ACEF是菱形．理由是：∵∠B=30°，∠ACB=90°，∴AC=，∵DE垂直平分BC，∴BE=CE又∵AE=CE，∴CE=，∴AC=CE，∴四边形ACEF是菱形．39.（2022河南，22，10分）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=5，∠C=30°.点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）.过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF.（1）求证：AE=DF；（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明现由.（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由.【答案】（1）在△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，DC=2t，∴DF=t.又∵AE=t，∴AE=DF.（2）能.理由如下：∵AB⊥BC，DF⊥BC，∴AE∥DF.又AE=DF，∴四边形AEFD为平行四边形.∵AB=BC·tan30°=若使□AEFD为菱形，则需即当时，四边形AEFD为菱形（3）①∠EDF=90°时，四边形EBFD为矩形.在Rt△AED中，∠ADE=∠C=30°，∴AD=2AE.即10-2t=2t，.②∠DEF=90°时，由（2）知EF∥AD，∴∠ADE=∠DEF=90°.∵∠A=90°-∠C=60°，∴AD=AE·cos60°.即③∠EFD=90°时，此种情况不存在.综上所述，当或4时，△DEF为直角三角形40.（2022湖南湘潭市，24，8分）（本满分8分）两个全等的直角三角形重叠放在直线上，如图⑴，AB=6cm，BC=8cm，∠ABC=90°，将Rt△ABC在直线上左右平移，如图⑵所示.⑴求证：四边形ACFD是平行四边形;⑵怎样移动Rt△ABC，使得四边形ACFD为菱形;⑶将Rt△ABC向左平移，求四边形DHCF的面积.图图(1)A(D)B(E)C(F)D图(2)FECBAH【答案】（1）证明：∵△ABC≌△DEF，∴AC=DF,∠ACB=∠DFE，∴AC∥DF，∴四边形ACFD是平行四边形；（2）在Rt△ABC中，由勾股定理得AC=10cm，要使四边形ACFD为菱形，则AC=CF，∴可将Rt△ABC向左平移10cm或向右平移10cm；（3）在Rt△ABC中，．∴当Rt△ABC向左平移时，EC=BC-BE=8-4=4（cm），在Rt△HEC中，．∴四边形DHCF的面积为：cm2．41.（2022湖北荆州，19，7分）（本满分7分）如图，P是矩形ABCD下方一点，将△PCD绕P点顺时针旋转60°后恰好D点与A点重合，得到△PEA，连接EB，问△ABE是什么特殊三角形？请说明理由.【答案】△ABE是等边三角形，理由如下：因为△PEA是将△PCD绕P点顺时针旋转60°后得到的所以△PEA≌△PCD，且AE与DC所夹的锐角为60°所以AE＝DC又因为四边形ABCD是矩形所以DC＝AB且DC∥AB所以AE＝AB且∠EAB＝60°所以△ABE是等边三角形.42.(湖南湘西24,10分)如图,已知矩形ABCD的两条对角线相交于O,∠ACB=30°,AB=2.(1)求AC的长.(2)求∠AOB的度数.(3)以OB、OC为邻边作菱形OBEC,求菱形OBEC的面积.解(1)在矩形ABCD中,∠ABC=90°,∴Rt△ABC中,∠ACB=30°,∴AC=2AB=4.(2)在矩形ABCD中,∴AO=OA=2,又∵AB=2,∴△AOB是等边三角形,∴∠AOB=60°.(3)由勾股定理,得BC=,.,所以菱形OBEC的面积是2.43.（2022广东深圳，21,8分）如图11,一张矩形纸片ABCD,其中AD=8cm,AB=6cm,先沿对角线BD对折,点C落在点C’的位置,BC’交AD于点(1)求证:AG=C’G(2)如图12,再折叠一次,使点D与点A重合,得折痕EN,EN交AD于点M,求EM的长.【答案】（1）如图3图3由轴对称性质可知，，又图3，故而，如图4图4设则图4在中，，，解之得；故44.（2022陕西，18,6分）如图，在正方形ABCD中，点G为BC上任意一点，连接AG，过B、D两点分别作BE⊥AG，DF⊥AG，垂足分别为E、F两点．求证：△ADF≌△BAE．【解】∵四边形ABCD是正方形，∴DA=AB，∠1+∠2=90°．又∵BE⊥AG，DF⊥AG，∴∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°．∴∠2=∠3，∠1=∠4．∴△ADF≌△BAE．45.（2022陕西，25,10分）如图①，在矩形ABCD中，将矩形折叠，使点B落在边AD（含端点）上，落点记为E，这时折痕与边BC或者边CD（含端点）交于点F，然