(完整版)北师大三年级奥数全面典型试题汇集

(完整版)北师大三年级奥数全面典型试题汇集北师大三年级奥数全面典型题汇集智巧趣题：做煎饼妈妈要做3个煎饼，每制作一个煎饼必须把这个煎饼正反两面各煎3分钟。现在有两个炉子，每个炉子每次只能煎1个煎饼的某一面。要想煎好所有的煎饼，最少需要花多少时间？解析：首先，要煎好3个煎饼，必须要煎6个面，每个面需要煎6分钟。如果只有一个炉子，那么最少需要煎18分钟。但是现在有两个炉子，我们可以利用两个炉子同时煎两个面的特点，将6分钟缩短为3分钟。所以，最少需要花费的时间是9分钟。智巧趣题：蜡烛问题有两根粗细不同但长度相同的蜡烛，把它们同时点燃，1小时后细蜡烛缩短了15厘米，而粗蜡烛只缩短了3厘米，此时粗蜡烛长度正好是细蜡烛的3倍。请问：粗蜡烛还能烧多久？解析：设粗蜡烛的长度为3x，细蜡烛的长度为y。由题意可得：3x-3=y-15，即3x-y=12；3x=y+3。将第二个式子代入第一个式子，得到6x=21，即x=3.5。所以，粗蜡烛现在的长度为10.5厘米，还能烧2.5小时。智巧趣题：三个自然数有三个连续的自然数，后面两个数的积与前面两个数的积之差是114，那么这三个数中最小的数是多少？解析：设三个数分别为x、x+1和x+2。根据题意，可以列出方程：(x+1)(x+2)-x(x+1)=114。化简后得到x^2+3x-113=0。解这个方程，得到x=8。所以，这三个数是8、9和10，最小的数是8。盈亏问题（一）：划船问题有一个班的同学去划船，他们算了一下，如果增加一条船，正好每条船坐6人；如果减少一条船，正好每条船坐9人。问这个班共有多少名同学？解析：设班级中原来有x个同学，共有y条船。根据题意，可以列出两个方程：x=6y-6，x=9y+9。将两个方程联立，得到y=15，x=84。所以，这个班共有84名同学。盈亏问题（二）：苹果问题幼儿园将一筐苹果给小朋友，如果分给大班的小朋友每人10个则少6个；分给小班的小朋友每人4个余4个，已知大班比小班少2个小朋友。问这一筐苹果共有多少个？解析：设这一筐苹果共有x个，大班有y个小朋友。根据题意，可以列出两个方程：x-6=10y-6，x=4(y+2)+4。将两个方程联立，得到x=92，y=7。所以，这一筐苹果共有92个。鸡兔同笼问题（一）一只鸡有1个头2条腿，一只兔子有1个头4条腿。如果笼子里的鸡和兔子共有10个头和26条腿，你知道鸡和兔子各有几只吗？解析：设鸡的数量为x，兔子的数量为y。根据题意，可以列出两个方程：x+y=10，2x+4y=26。将两个方程联立，得到x=2，y=8。所以，笼子里有2只鸡和8只兔子。松鼠妈妈采松籽问题松鼠妈妈采松籽，晴天每天可以采20个，雨天每天只能采12个，它一连几天采了112个松籽，平均每天是14个。问这几天当中有几天雨天？解析：设晴天的天数为x，雨天的天数为y。根据题意，可以列出两个方程：20x+12y=112，(20x+12y)/(x+y)=14。将第二个方程化简，得到8x=2y。将这个式子代入第一个方程，得到x+y=7。所以，这几天当中有2天是雨天。间隔与方阵问题（一）某小学3年级有学生120，排成一个三层空心方阵。这个方阵外层每边有多少人？解析：由于这个方阵是三层空心的，所以每层的人数都是相同的。设每层的人数为x，则有x^2=120，解得x=10。因为外层每边有4段，所以外层每边有4个人，即外层共有16个人。间隔与方阵问题（二）有一根180厘米的绳子，从一端开始每3厘米作一记号，每4厘米也作一记号，然后将有记号的地方剪短，绳子共被剪成了多少段？解析：从一端开始，每3厘米作一记号，共作了60个记号；每4厘米作一记号，共作了45个记号。因为最后剪成的绳子段数比记号数少1，所以绳子共被剪成了104段。平均数问题有六个数，它们的平均数是25，前三个数的平均数是21，后四个数的平均数是32，那么第三个数是多少？解析：设第三个数为x。根据题意，可以列出三个方程：(a+b+c+d+e+f)/6=25，(a+b+c)/3=21，(d+e+f+g)/4=32。将第一个方程化简，得到a+b+c+d+e+f=150。将第二个方程化简，得到a+b+c=63-x。将第三个方程化简，得到d+e+f+g=128。将这三个方程联立，得到x=18。所以，第三个数是18。小敏期末考试问题小敏期末考试，数学92分，语文90分，英语成绩比这三门的平均成绩高4分。问：英语得了多少分？解析：设英语成绩为x。根据题意，可以列出方程：(92+90+x)/3=x+4。解这个方程，得到x=86。所以，英语得了86分。应用题：叠罗汉问题一群动物在一起玩叠罗汉游戏。每只动物的重量都是整千克数，其中，最轻的重1千克，最重的重60千克。叠罗汉规定每只动物上面的总重量不能超过自己的重量。在重1～60千克的动物都有的情况下，它们最多能叠几层？（叠一个动物算一层）解析：先考虑最重的动物。如果只放一只60千克的动物，那么它只能叠一层。如果放两只60千克的动物，那么它们可以叠两层。如果放三只60千克的动物，那么它们可以叠三层。但是如果再放一只60千克的动物，它们就不能叠了，因为上面的动物总重量会超过60千克。所以，最多可以叠三层。同理，最多可以叠4层50千克的动物、5层42千克的动物、6层36千克的动物……最多可以叠16层1千克的动物。因此，它们最多能叠16层。甲、乙、丙、丁每人只会两种语言，其中有一种语言只有一人会说。他们之间的交谈很有趣：⑴乙不会说英语，但当甲与丙交谈时，却请他当翻译；⑵甲会日语，丁不会日语，但他们却能相互交谈；⑶乙、丙、丁找不到三人都会的语言；⑷没有人同时会日、法两种语言。请问：甲、乙、丙、丁各会哪两种语言？速算与巧算：(1)117+229+333+471+528+622=229+471+622+117+333+528=2200(2)399+403+297-501=598和差倍小：设爸爸今年x岁，则妈妈今年(72-x)岁。由题意得：x+(72-x)=72，x+5=(72-x)+11解得：x=38，72-x=34所以，今年爸爸38岁，妈妈34岁。和差倍小：设明明有x个香蕉，则聪聪有2x-2个香蕉。由题意得：x+2x-2=28解得：x=10，2x-2=18所以，聪聪有18个香蕉，明明有10个香蕉。周期问题：数列的周期为6，第58个数是第4个周期的第4个数，即为5。前58个数的和为(1+4+2+8+5+7)×9+1+4+2+8+5=198。行程问题：小白去学校的距离为15×2=30千米。去书店的距离为15×1=15千米，回家的距离为9×1=9千米。所以，小白总共骑行30+15+9=54千米，用时3小时，平均速度为18千米/小时。追及问题：设两人相遇的时间为t分钟，则甲行驶的距离为600t米，乙行驶的距离为500t米。由题意得：600t+500t=500解得：t=1所以，两人相遇的时间为1分钟。追及问题：设家到公园的距离为x米，则原来需要走x/50分钟，现在需要走x/75分钟。由题意得：x/50-x/75=10解得：x=750所以，家到公园的距离为750米。数阵图：100在第9行第8列和第10行第6列。前两行的和为1+3=4。前三行的和为1+3+2+8=14。数列与周期：数列的通项公式为an=an-1+an-3，其中a1=a2=a3=1。由递推公式可得：a22=105，105÷3的余数为0。盈亏问题：设小猴的数量为x，则大猴共采到的桃子数为2x+8。由题意得：x+6+2(x-2)=2x+8-6-4(x-1)解得：x=10，2x+8=28所以，大猴共采到28个桃子，小猴共有10只。逻辑推理：选项B）酒精并不总是让人醉，能够被甲用来接着阐述、解释自己的观点。计算问题：正方形的对角线长为边长的√2倍，所以铺两条对角线需要的瓷砖数量为2。因此，铺黑色瓷砖的数量是正方形总瓷砖数量的一半，即为2。所以，正方形地面需要铺4块瓷砖。1.题目：有一个地面，其中一部分是黑色的，其它地方是白色的。如果铺满这块地面共用101块黑色瓷砖，那么白色瓷砖用了多少块？解：不知道黑色瓷砖和白色瓷砖的大小和形状是否相同，也不知道黑色瓷砖和白色瓷砖的数量之和是否等于地面的总块数。因此无法回答该问题。2.题目：甲、乙二人练习跑步，若甲让乙先跑10米，则甲跑5秒钟可追上乙；若甲让乙先跑2秒钟，则甲跑4秒钟就能追上乙。问：甲、乙二人的速度各是多少？解：根据题目所给条件，无法确定甲、乙二人的速度。3.题目：计算：306＋298＋301＋294＋299＋303＋302＋295＝______解答：2398解：计算正确。4.题目：学校组织学生们去划船，如果每条船坐3人，有16人没船划，如果每条船坐5人，则有一条船上差4人。共租了多少条船？共有学生多少人？解：假设共有x条船，共有y名学生。根据题意可列出方程：3x+16=y5(x-1)+4=y化简得：2x=25x=12.5由于船的数量必须是整数，因此x=12。代入第一个方程可得：y=52因此共租了12条船，共有52名学生。5.题目：用一根绳子测量池水深，如果绳子两折时，多60厘米；如果绳子三折时，还差40厘米。求绳长和池水深？解：假设绳长为x，池水深为y。根据题意可列出方程组：2y+60=x3y-40=x化简得：y=50x=160因此绳长为160厘米，池水深为50厘米。6.题目：24×25、56×125、125×5×32×5的计算结果分别为多少？解：24×25=600，56×125=7000，125×5×32×5=100000。因此计算结果分别为600、7000、100000。7.题目：下图中的线段表示的是汽车所能经过的所有马路，这辆汽车从A走到B处共有多少条最短路线？解：无法回答该问题，因为没有给出图示。8.题目：三年级一班少先队员参加学校搬砖劳动。如果每人搬4块砖，还剩7块；如果每人搬5块，则少2块砖。这个班少先队有几个人？要搬的砖共有多少块？解：假设班级人数为x，要搬的砖数为y。根据题意可列出方程组：4x+7=y5x-2=y化简得：x=9y=43因此这个班少先队有9个人，要搬的砖共有43块。9.题目：菜站运来的白菜是萝卜的3倍，卖出白菜1800千克，萝卜300千克，剩下的两种蔬菜的重量相等，菜站运来的白菜和萝卜各是多少千克？解：设白菜和萝卜的重量分别为x和y。根据题意可列出方程组：x=3yx+y=2250-1800-300=150化简得：x=450y=150因此菜站运来的白菜是450千克，萝卜是150千克。10.题目：有一个正方形水池（图中阴影部分），在它的周围修一个宽是8米的草地，草地的面积为480平方米，求水池的边长？解：设水池的边长为x。根据题意可列出方程：(x+16)²-x²=480化简得：x=8因此水池的边长为8米。11.题目：小丽计划用35元买每支2元、3元、4元三种不同价格的圆珠笔，每种至少买1支。她最多能买()支，最少能买()支。解：小丽最多能买17支圆珠笔，最少能买10支圆珠笔。最多的情况是买8支4元的圆珠笔，9支3元的圆珠笔，没有2元的圆珠笔。最少的情况是买3支4元的圆珠笔，3支3元的圆珠笔，4支2元的圆珠笔。12.题目：学习改变命运这六个字要用6种不同颜色来写，现只有6种不同颜色的笔，问共有多少种不同的写法？解：共有720种不同的写法，即6的阶乘。3只猴子3天吃3个桃子，6只猴子6天吃几个桃子？9只猴子要吃9个桃子，需要多少天？对于第一个问题，可以使用比例的方法求解。3只猴子3天吃3个桃子，那么1只猴子3天吃1个桃子。6只猴子6天吃几个桃子呢？可以设猴子数量为x，天数为y，桃子数量为z，则有3x=yz，即yz/3=x。代入6只猴子6天吃几个桃子的问题中，得到6yz/3x=6z/x，即2y=6z/x。因为9只猴子要吃9个桃子，所以可以设9只猴子需要y天吃完9个桃子，则有9x=9yz，即yz=x。代入2y=6z/x中，得到2y=6(x/y)，即y^2=3x。因为y是整数，所以x必须是3的倍数，且y必须是整数平方的一半。因此，6只猴子6天吃18个桃子，9只猴子需要3天吃完9个桃子。白兔和灰兔分20个胡萝卜，请问：（1）如果每只兔子最少分到5个胡萝卜，一共有多少种不同的分法？（2）如果每只兔子最多分到16个胡萝卜，一共有多少种不同的分法？对于第一个问题，可以使用插板法求解。因为每只兔子最少分到5个胡萝卜，所以可以先给每只兔子分5个胡萝卜，然后剩下的10个胡萝卜可以使用插板法分给4只兔子。即将10个胡萝卜放在5个盒子中，其中4个盒子放有插板，表示分给4只兔子，另一个盒子放有剩余的胡萝卜。所以一共有14个位置可以放插板，选取4个位置放插板的组合数为C(14,4)。对于第二个问题，同样使用插板法，先给每只兔子分16个胡萝卜，然后剩下的4个胡萝卜可以使用插板法分给4只兔子。即将4个胡萝卜放在5个盒子中，其中4个盒子放有插板，表示分给4只兔子，另一个盒子放有剩余的胡萝卜。所以一共有8个位置可以放插板，选取4个位置放插板的组合数为C(8,4)。有25个苹果，分别放在6个抽屉里。如果每个抽屉至少有1个苹果，并且每个抽屉里的苹果数都不相同，问：一共有多少种放法？对于这个问题，可以使用插板法求解。因为每个抽屉至少有1个苹果，所以可以先将6个苹果放在6个抽屉中，然后剩下的19个苹果可以使用插板法分给6个抽屉。即将19个苹果放在7个盒子中，其中6个盒子放有插板，表示分给6个抽屉，另一个盒子放有剩余的苹果。所以一共有25个位置可以放插板，选取6个位置放插板的组合数为C(25,6)。根据下图中前三幅图的规律，在第四幅图的空缺处填上合适的数：根据前三幅图的规律，第四幅图中每个小正方形的数字都等于其上方和左方的小正方形的数字之和。因此，将第四幅图中空缺处的数字分别填写为6、10、16、26、42即可。有8个相同玻璃球，要分成两堆，一共有几种不同的分法？对于这个问题，可以使用组合数学的方法求解。因为8个球是相同的，所以将它们分成两堆的方案数等于将8个球放入两个盒子中的方案数。因此，一共有C(8+2-1,2-1)=C(9,1)=9种不同的分法。小明觉得要游览A，B，C三个景点。每个地方都一定要去，请问一共有多少种不同的游览方式？对于这个问题，可以使用排列组合的方法求解。因为小明必须依次游览A、B、C三个景点，所以一共有3!=6种不同的游览方式。如下图，如果在空格内填入合适的数字，可以使竖式成立，那么所有空格内填写的数字之和是多少？因为百位数乘以个位数的结果最多是81，所以百位数和个位数的和最多是9+9=18。因此，十位数的进位至多为1。根据竖式的规则，各个位置上的数字相加得到的结果应该是相同的，因此可以先将百位数和个位数的和填写为8，然后根据进位情况填写十位数。经过尝试，可以得到百位数为3，十位数为6，个位数为5，所以所有空格内填写的数字之和为3+6+5=14。在下图的竖式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字。请求出每个汉字分别代表什么数字。因为乘数和被乘数都是两位数，所以积最多是三位数。因此，可以根据积的个位数和十位数推出被乘数和乘数的十位数和个位数。根据竖式的规则，可以得到千位数为1，百位数为3，十位数为4，个位数为5。因此，第一个汉字代表1，第二个汉字代表3，第三个汉字代表4，第四个汉字代表5。计算：1000-1-2-3-4-……-20将1到20的数相加，得到(1+20)+(2+19)+……+(10+11)=11*10/2*21=231。因此，1000-1-2-3-4-……-20=1000-231-20=749。有一串数，第1个数是5，以后每个数都比前一个数大5，最后一个数是90.这串数连加，和是多少？因为这串数是等差数列，所以可以使用等差数列求和公式求解。设这串数共有n个，首项为a1，公差为d，则有a1=5，d=5，an=90。根据等差数列求和公式，这串数的和为S=n/2*(a1+an)=n/2*(5+90)=47.5n。因为最后一个数是90，所以可以得到n=(90-5)/5+1=18。因此，这串数的和为S=47.5*18=855。如右图，有6个杯子放成一排。前三个杯子中盛了些水，而后三个杯子是空的。要使得盛水的杯子和空杯子相互交叉排成一排，最少要动几个杯子？因为要使得盛水的杯子和空杯子相互交叉排成一排，所以可以将前三个杯子中的水倒入后三个杯子中，得到空-水-空-空-水-空的排列。因此，最少要动2个杯子。池塘里生长着一种浮萍。这种植物在水面上繁殖，而且每天都能增长一倍。如果10天后，池塘里刚好长满这种浮萍，那么多少天后，池塘里的浮萍会正好占据了一半的水面？因为这种浮萍每天都能增长一倍，所以10天后它的面积是原来的2^10倍，即2^10=1024倍。设这种浮萍刚开始占据的水面积为x，则半个池塘的水面积为2x。因为这种浮萍每天都能增长一倍，所以要使它占据一半的水面积，需要增长的天数为log2(2x)。因为10天后它的面积是1024倍，所以x=1/1024。代入log2(2x)中，得到需要增长的天数为log2(2048)=11天。甲、乙、丙三人中只有一人会开车。甲说：“我会开。”乙说：“我不会开。”丙说：“甲不会开。”三人说的话只有一句是真话，请问会开车的是________。因为只有一句话是真话，所以可以分别考虑三种情况。如果甲说的是真话，那么乙和丙说的都是假话，所以乙会开车；如果乙说的是真话，那么甲和丙说的都是假话，所以甲会开车；如果丙说的是真话，那么甲和乙说的都是假话，所以甲会开车。因此，会开车的是甲或乙。口袋里有黑、白、黄色袜子各10只，不