2021年秋季高一新生入学分班考试数学试卷（全国）02

2021年秋季高一新生入学分班考试数学试卷（全国）02

一、选择题

1.如图所示几何体的左视图是（）

B.

D.

2.如图，AB//CD,AABE=60°,ZD=50°,则N0EP的度数为（）

A.110°B.30°C.20°D.10°

3.下列运算正确的是（）

A.J（—5）2=—5B.（—―）-2=16C.人丁_X2D.（。=

4.如图，数轴上点P表示的数可能是（

P

1I_____I_____I_____I・1

-2-10123

A.72B.74C.75D.Vio

5.下列四个数中，最大的数是（）

A.1B.0C.|-2|D.-3

6.4月24日是中国航天日，1970年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星

“东方红一号”成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道，距地球最近点4

39000米，将439000用科学记数法表示应为（）

A.0.439x106B.4.39x106C.4.39x105D.439x1（）3

7.某企业车间有50名工人，某一天他们生产的机器零件个数统计如表：

零件个数（个）678

人数（人）152213

表中表示零件个数的数据中，众数、中位数分别是（）

A.7个，7个B.7个，6个C.22个，22个D.8个，6个

2x

8.小明把分式方程一=——去分母后得到整式方程X?-2x-8=（）,由此他判断该分式方

xx-4

程只有一个解.对于他的判断，你认为下列看法正确的是（）

A.小明的说法完全正确B.整式方程正确，但分式方程有2个解

C.整式方程不正确，分式方程无解D.整式方程不正确，分式方程只有1个解

9.如图，△ABC的三个顶点分别为A（l,2）、B（4,2）、C（4,4）.若反比例函数y=七在第

X

一象限内的图象与△ABC有交点，则k的取值范围是（）

10.如图，在RQABC中，ZACB=90°,AC=8,BC=15,将△ABC绕点B顺时针旋转

60°,得到ABDE,连结DC交AB于点F,则△ACF与△BDF的周长之和为（）

B.50C.55D.60

二、填空题

11.分解因式：a2-l=―-

12.不透明袋子中装有除颜色外都相同的8个小球，其中白球5个，黑球3个.从中任意摸

出一球恰为白球的概率为.

尤24

13.计算：—+——=.

x—22—x

14.“鸡兔同笼”是我国古代数学名著《孙子算经》上的一道题：今有鸡兔同笼，上有四十三

头，下有一百零二足，问鸡兔各几何？若设笼中有鸡x只，兔y只，则可列出的二元一次方

程组为.

15.如图所示，在10x10的正方形网格中有一半径为5的圆，一条折线将它分成甲、乙两

部分.S甲表示甲的面积，则5甲=.

16.己知，如图，AABC中，ZB=30°,BC=6,AB=1,。是BC上一点，BD=4,

E为BA边上一动点,以OE为边向右侧作等边三角形.

A

(1)当尸在A3上时，BF长为；

(2)连结CE,则CF的取值范围为

三、解答题

17.(1)计算：V12-(4-^)0+cos60o-|^-3|

+4m+2广

（2）先化简，再求值:m-\----R---'其中加=&一2

m

18.如图，AD与BC交于。点,NA=NC,A0=4,CO=2,CD=3,求A5的长.

19.完全相同的4个小球，上面分别标有数字1,-1,2,-2,将其放入一个不透明的盒

子中摇匀，在从中随机摸球两次（第一次摸出球后放回摇匀）.把第一次，第二次摸到的球

上标有的数字分别记作〃?，n,以机，〃分别作为一个点的横坐标与纵坐标，求点（m,〃）

不在第二象限的概率.（用树状图或列表法求解）

20.如图，将。ABCD的边AB延长到点E,使BE=AB,连接DE,交边BC于点F.

(1)求证：△BEF^ACDF；

(2)连接BD、CE,若NBFD=2NA,求证：四边形BECD是矩形.

21.在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=gx与双曲线>=：的一个交点是A(2,a).

(1)求女的值；

(2)设点P(m,〃)是双曲线丁=:上不同于A的一点，直线Q4与X轴交于点89,0).

①若〃2=1,求。的值；

②若PB=2AB，结合图象，直接写出b的值.

22.已知抛物线y=Y—（2，〃-2）x+/-2w（其中优为常数）

（1）求证：不论加为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点；

⑵若（2人乂），（2加+1,%）两点在抛物线上，试比较X—%与0的大小；

（3）若该抛物线在的部分与直线y=-2/nx+/”2+1有两个公共点，试求出用的

取值范围.

23.

（问题情境）已知矩形的面积为。（。为常数，a>0）,

当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少？

（数学模型）设该矩形的长为x,周长为y,则y与x的函数表达式为y=>0）.

（探索研究）小彬借鉴以前研究函数的经验，先探索函数y=x+1的图象性质.

X

（1）结合问题情境，函数y=x+，的自变量x的取值范围是x>0,

X

下表是y与工的几组对应值.

£1

X123m.・・

435

y4-3-2-22-3-4-

432234

①m=_____

②画出该函数图象，结合图象，得出当元=时，y有最小值，为小=:

（解决问题）

（2）直接写出“问题情境”中问题的结论.

0\i234X

24.给出如下定义：有一组对角互余的凸四边形叫对余四边形.

证明:

(1)如图1,MN是0。的直径，点A、B、。在上，AM，CN相交于点。.求

图2

(2)如图2,在对余四边形ABCD中，AB=BC,BD、AC为对角线，BD=6BC，

试探究线A。、AC和CO之间的数量关系，并说明理由.

拓展：

(3)已知，在AABC中，AB=AC=4,ZA=90°,。为AABC外一点，且四边形ABC。

为对余四边形，试求出对角线3。的最大值.

2021年秋季高一新生入学分班考试数学试卷（全国）02

一、选择题

1.如图所示几何体的左视图是（）

正面

【答案】c

图中几何体的左视图如图所示:

因

故选C.

2.如图，AB//CD,ZABE=60°,ZD=50°,则ZDER的度数为（）

A.110°B.30°C.20°D.10°

【答案】D

解：•.•AB//C。，ZABE=60°,

?CFE?ABE60?,

=50°,且NCTE为尸的外角，

NDEF=ACFE-ZD=10°,

故选：D.

3.下列运算正确的是()

A.J(一5)2=-5B.(-1)-2=16C.X64-X3=X2D.(x3)2=x5

【答案】B

A.J(—5)2=后=5，故A错误：

B.(-1)-2=16,故B正确；

c.x6+x3=v，故C错误；

D.(d)2=j6,故D错误；

故选B.

4.如图，数轴上点P表示的数可能是()

■■■■■P■,

-2-10123

A.6B.74C.括D.V10

【答案】C

解：1V0＜2,故A选项不符合题意；

74=2,故B选项不符合题意：

2〈逐＜3,故C选项符合题意；

3＜加＜4,故D选项不符合题意；

故选C.

5.下列四个数中，最大的数是()

A.1B.0C.|-2|D.-3

【答案】C

最大的数是卜2|=2,

故选C.

6.4月24日是中国航天日，1970年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星

“东方红一号”成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道，距地球最近点4

39000米，将439000用科学记数法表示应为()

A.0.439x106B.4.39x106C.4.39X105D.439x1O3

【答案】C

解：将439000用科学记数法表示为4.39X105.

故选：C.

7.某企业车间有50名工人，某一天他们生产的机器零件个数统计如表:

零件个数（个）678

人数（人）152213

表中表示零件个数的数据中，众数、中位数分别是（）

A.7个，7个B.7个，6个C.22个，22个D.8个，6个

【答案】A

根据题意，这组数据中的7出现22次，且次数最多，故这组数据的众数是7个，

这组数据中共有15+22+13=40个数据，居中的两个数分别是7和7,

故这组数据的中位数是=7个，

2

故选：A.

2x

8.小明把分式方程一=一:去分母后得到整式方程/一2彳一8=0,由此他判断该分式方

xx-4

程只有一个解.对于他的判断，你认为下列看法正确的是（）

A.小明的说法完全正确B.整式方程正确，但分式方程有2个解

C.整式方程不正确，分式方程无解D.整式方程不正确，分式方程只有1个解

【答案】C

2x

解：•••分式方程一=--去分母后得到整式方程X2-2X+8=0.

xx-4

•.•△=4—32=-28<0,

二方程V—2x+8=0无实数根，

2x

...方程一=——无解，

xx-4

故整式方程不正确，分式方程无解，

故选：C.

9.如图，△ABC的三个顶点分别为A(l,2)、B(4,2)、C(4,4).若反比例函数y=人在第

X

一象限内的图象与△ABC有交点，则k的取值范围是()

B.2<k<8C.2<k<16D.8<k<16

【答案】C

k

由于AABC是直角三角形，所以当反比例函数>=一经过点A时k最小，进过点C时k最

x

大，据此可得出结论.

•.•△ABC是直角二角形，.•.当反比例函数y=4经过点A时k最小，经过点C时k最大，

x

；.k*/=1x2=2,k"氏=4x4=16,.•.2WkW16.故选C.

10.如图，在RtAABC中，ZACB=90°,AC=8,BC=15,将△ABC绕点B顺时针旋转

60°,得到ABDE,连结DC交AB于点F,则△ACF与△BDF的周长之和为()

A.48B.50C.55D.60

【答案】C

：AC=8,BC=15,/ACB=90°,

.".AB=7AC2+BC2=17'

:将AABC绕点B顺时针旋转60°,得到ABDE,

ZCBD=60°,BC=BD,

.,.△BCD是等边三角形，

；.CD=BC=I5,

.'.△ACF-^ABDF的周长之和=AC+CF+DF+AF+BF+BD=AC+CD+AB+BD=55.

故选：C.

二、填空题

11.分解因式：«2-1=

【答案】(a+l)(a—1).

解：a?-1=(a+l)(a—1).

故答案为：(a+l)(a—1)

12.不透明袋子中装有除颜色外都相同的8个小球，其中白球5个，黑球3个.从中任意摸

出一球恰为白球的概率为.

【答案】|

解：••,不透明袋子中装有除颜色外都相同的8个小球，其中白球5个，黑球3个..•.搅匀后

从中任意摸出1个球，摸到黑球的概率为：|,

故答案为：一.

8

尤24

13.计算：—+—=.

x—22,-x

【答案】x+2

V24X24_X2-4_(x+2)(x-2)

解：—+—x+2,

X—22-xx~~2,x—2,x—2,x—2,

故答案为：x+2.

14.“鸡兔同笼”是我国古代数学名著《孙子算经》上的一道题：今有鸡兔同笼，上有四十三

头，下有一百零二足，问鸡兔各几何？若设笼中有鸡x只，兔》只，则可列出的二元一次方

程组为

x+y=43

【答案】《

2x+4y=102

x+y=43

解：根据题意可得：＜

2x+4y=102

%+y=43

故答案为:

2x+4y=102

15.如图所示，在10x10的正方形网格中有一半径为5的圆，一条折线将它分成甲、乙两

部分.S甲表示甲的面积，则$=

■——■25K

【答案】—.

2

解：如图示，各个交点分别用AB,C,D,E,F,G,”表示,

=

则，正方形网格中,%=%'SQ=SRE,SVM；=S'GAB,S7GBe~^VGFC，^VFCE^VECD，

S甲=S旃++SyAHG+SVGFC+SVFCE,S乙=S次+S*+S\，GNB+SyGBC+5V£CD,

S甲-；卯旨2=*

故答案是：.

2

16.己知，如图，△ABC中，ZB=30°,BC=6,AB=7,。是8c上一点，BD=4,

E为BA边上一动点、,以。E为边向右侧作等边三角形△£>£/.

A

(1)当尸在AB上时，BF长为；

(2)连结CT,则CT的取值范围为

【答案】1<CF<277

(1)如图1,当F在AB上时，

,:ADEF为等边三角形,

4DFE=&)。.

ZB=30°，

/BDF=90°，

.口口2石Rn2石.8石

・・BF=-----BD=------x4=---

333

故答案是：见I.

(2)如图，以CO为边作等边ACDG,连接CF、EG

•••ADEF和△DCG都是等边三角形

DE=DF,DC=DG,ZEDG=ZFDC

：.4EDGQAFDC

:.EG=FC

A

BDC

•••E在48上运动

，当E点与B点重合时，EG最大，即FC最大，如图2

当EGLAB时，EG最小，即尸C最小，如图3

在图2中，过F点作由

•.・△BOE是等边三角形，FH±BC

BH=HD,NFDH=60°

BD=4

BH=DH=2,FH=DHxtan60。=26

\BC=6

；.CH=BC-BH=4

：.CF=>JFH2+CH2=2不

在图3中EG，A3即CE_LA3

BC=6,ZB=30°

:.CE=BCxsin3Q0=3

•••△DCG是等边三角形，BD=4

:.CG=CD=BC—BD=2

:.EG=CE—CG=1

CF=\

・^.CF的取值范围是：14C尸42近

故答案是：IWCFW2币.

,A

三、解答题

17.(1)计算：Vi2-(4-^)(，+cos60o-|V3-3|

(2)先化…简.'再求,值_：(Sf4/nH+4]+Rm+'2其…中，加=3l-2

7

【答案】(1)373--；(2)m2+2m,2-2y/2.

解：(1)原式=26—1+4-3+百=36—1；

22

nr+4m+4/n+2

(2)原式=

mm2

_(m+2)2团2

mm+2

=m(m+2)

=7772+2m

〃z=加一2时，

原式二(V^-2)+2(V^-2)=6—4^2+2-72—4=2—2>j2•

18.如图，AD与3c交于。点，ZA=ZC,AO=4,CO=2,CD=3,求AB的长.

【答案】6

VZA=ZC.ZAOB=NCOD,

:,AAOBS&COD.

.AOAB

"^O~CD

；AO=4,CO=2,CD=3,

''AB-6-

19.完全相同的4个小球，上面分别标有数字1,-1,2,-2,将其放入一个不透明的盒

子中摇匀，在从中随机摸球两次（第一次摸出球后放回摇匀）.把第一次，第二次摸到的球

上标有的数字分别记作",以"3〃分别作为一个点的横坐标与纵坐标，求点（in,n）

不在第二象限的概率.（用树状图或列表法求解）

3

【答案】--

4

解：如图所不：

n1-12-2

m

1(1,1)(-1,1)(2,1)(-2,1)

-1(1,-D(-1,-1)(2,-1)(-2,-1)

2(1,2)(-1,2)(2,2)(-2,2)

-2(1,-2)(-1,-2)(2,-2)(-2,-2)

123

根据表格可得:共有16种情况,不在第二象限的有12种情况,则P（不在第二象限）=7=

164

20.如图，将。ABCD的边AB延长到点E,使BE=AB,连接DE,交边BC于点F.

（1）求证：ABEFgACDF；

（2）连接BD、CE,若NBFD=2NA,求证：四边形BECD是矩形.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

证明：（1）•••四边形ABC。是平行四边形

J.AB^CD,AB//CD,

又

BE=DC,

又,：hEHCD、

：.四边形BECD为平行四边形：

（2）由（1）知，四边形BE8为平行四边形

：.FD=FE,FC=FB,

■：四边形ABCD为平行四边形，

NA=4CD

又YNB尸0=24,/BFD=/FCD+/FDC,

：.AFCD=ZFDC,

：.FC=FD,

：.FC+FB=FD+FE,

即BC=ED,

二平行四边形BECD为矩形.

1L

21.在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=一》与双曲线＞=一的一个交点是A（2,a）.

（1）求女的值；

（2）设点尸（加，〃）是双曲线y=：上不同于A的一点，直线Q4与大轴交于点8（仇0）.

①若加=1,求〃的值；

②若PB=2AB,结合图象，直接写出b的值.

【答案】(1)k=2.(2)®b=3；②〃=1或3.

1L

(1)•・•直线y=7rx与双曲线y=一的一个交点是A(2,a),

2x

a=x2=l,

2

AA(2,1),

k=2xl=2；

(2)①若m=l,则P(1,n),

•:点P(1,n)是双曲线y=1上不同于A的一点,

X

.,.n=k=2,

：.P(1,2),

VA(2,1),

则宜线PA的解析式为y=-x+3,

;直线PA与x轴交于点B(b,0),

/.0=-b4-3,

/.b=3；

VPB=2AB,A(2,1),

，P点的纵坐标时2,

2

代入y=一求得x=l,

x

；.P(I,2),

由①可知，此时b=3：

如图2,当P在第，三象限时，

VPB=2AB,A(2,1),

，P点的纵坐标时-2,

2

代入y=—求得X—I,

x

：.P(-1,-2),

VA(2,1)

则直线PA的解析式为y=x-l,

；.b=l,

综上，b的值为3或1.

22.已知抛物线y=f-(2加—2)X+M-2〃2(其中s为常数)

(1)求证：不论加为何值，该抛物线与％轴一定有两个公共点；

(2)若(2%y),(2〃?+1,%)两点在抛物线上，试比较%一％与0的大小；

(3)若该抛物线在的部分与直线y=-2，加+/??+1有两个公共点，试求出加的

取值范围.

333

【答案】(1)见解析；(2)当加〈一,时，弘一%>°；当加=一]时，x—%=0；当相>一/

时，又—>2<°；(3)

(I)当y=0时.，X2—(2m—2)x+/zt2-2m=0,

，判别式△=[—(2加-2)1—4(/7?2—2m)=4>0,

...不论m为何值，该抛物线与无轴一定有两个公共点.

(2)V(2m,y^,(2加+1,%)两点在抛物线上，

222

/.必=(2m)-2m(2m-2)+in'-2m,y2=(2m+1)-(2m-2)(2/n+l)+/n-2m,

yt-y2=-2m-3,

3

当—2相—3=0时，m=----，

2

V-2<0,

・・・y-必的值随m的增大而减小，

33

J当相>一5时，yy-y2<0,当机<一耳时，,一%>0,

333

综上所述：当相〈一,时，％一%>°；当根=一/时，弘一必=0；当mA-,时，

X-%<0.

（3）•.•该抛物线在-4WxW1的部分与直线y=-2mx+m2+1有两个公共点，

方程V—（2加一2万+加—2〃?=一2郎+加2+1有两个不相等的实数根，且在TWxW1

之间，

整理得：x2+2x-2m-l=0.

22-4（-2W-1）>0

.「（一4『+2x（-4）—2加-120,

12+2X1-2/M-1>0

7

解得-

2

-<

-1<m<1.

23.（问题情境）

已知矩形的面积为a（。为常数，a>0）,当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小

值是多少？

（数学模型）

设该矩形的长为”,周长为y,则y与x的函数表达式为y=2x+f（x〉o）.

（探索研究）

小彬借鉴以前研究函数的经验，先探索函数y=x+L的图象性质.

X

(1)结合问题情境，函数y=x+—的自变量x的取值范围是x>0,

x

下表是y与x的几组对应值.

j_£

X123m

432

y4-3-2-22-3-4-.・・

432234

®m=；

②画出该函数图象，结合图象，得出当％=时，y有最小值，y最小=

(解决问题)

(2)直接写出“问题情境''中问题的结论.

【答案】(1)①4;②画函数图象见解析，1,2；(2)当矩形的长为JZ时，它的周长最小,

最小值是4G.

解：(I)①令尸41，则4—=m+—,解得44；故填4；

44m

x+1—2x+1

・y=x+—=--+2=^——二

XX