2021年沪教版必修二数学期末复习-上海期末真题50题（大题提升版）学生版

上海期末真题精选50题(大题提升版)

1.(2020•上海市川沙中学高一期末)某轮船以V海里/小时的速度航行，在A点测得海面

上油井尸在南偏东60度.轮船从A处向北航行30分钟后到达B处，测得油井P在南偏东15度,

且8P=1O#海里.轮船以相同的速度改为向东北方向再航行60分钟后到达C点.

(1)求轮船的速度V;

(2)求尸、C两点的距离(精确到1海里).

2.(2020•上海高一一期末)已知函数/(x)=4sin2x-4sin2(x-X),xeR.

6

(1)求函数y=/(x)的最小正周期；

（2）解三角方程/（x）=-1.

3.（2020•上海市建平中学高一期末）如图，学校门口有一块扇形空地已知半径为

TT

常数R,NMON=—,现由于防疫期间，学校要在其中圈出一块矩形场地ABCD作为体温

2

检测使用，其中点A、8在弧上，且线段平行于线段MN.取A8的中点为E,联结

OE,交线段CO于点尸.记乙4Q8=。，

（1）用。表示线段A8和A£＞的长度；

（2）当。取何值时，矩形ABCO的面积最大？最大值为多少？

4.（2020•上海高一期末）如图，矩形ABC。的四个顶点分别在矩形A'8'C'D的四条边上,

AB=3,8c=5.如果A8与A*的夹角为a,那么当a为何值时，矩形AB'C'D的周长最

大？并求这个最大值.

D'

5.(2019♦上海高一期末)已知函数f(x)=cos2x+26sinxcosx+1,xeR.

(1)把f(x)化成Asin(s+°)+B(A>0,。>0,04/<2万)的形式，并写出函数f(x)

的最小正周期和值域；

(2)求函数/(x)的单调递增区间；

⑶定义：对于任意实数为、々，max{x，x,}=['设

右>X\

g(x)=max{V§asinx,acosx},xeR(常数a>0),若对于任意％eR,总存在％eR，

使得g(%)=/(々)恒成立，求实数。的取值范围.

6.(2019•上海市文来中学高一期末)已知4，4，4是同一平面内自上而下的三条不重合

的平行直线.

（1）如图i,如果4与4间的距离是i，4与4间的距离也是1，可以把一个正三角形4％的三

顶点分别放在4，4，4上，求这个正三角形力比的边长.

（2）如图2,如果4与4间的距离是1，4与4间的距离是2,能否把一个正三角形4式的三顶

点分别放在4，12,4上，如果能放，求比和％夹角。的正切值并求该正三角形边长；如果不

能，试说明理由.

（3）如果边长为2的正三角形力式的三顶点分别在4,12,4上,设乙与4间的距离为4,4与

4间的距离为出，求4•4的取值范围.

7.（2018•上海高一期末）已知余切函数f（x）=cotx.

（1）请写出余切函数的奇偶性，最小正周期，单调区间；（不必证明）

（2）求证：余切函数〃x）=cotx在区间（0,乃）上单调递减.

jrjr

8.(2019•上海上外附中)已知函数f(x)=2sin(x+—)-2cosx,xe[―,;rl.

62

4

(1)若sinx=不，求函数/(x)的值；

(2)求函数“幻的值域.

rr——

9.(2020•上海上外附中期末)已知两个平面向量;与办的夹角为且。=1,6=2,记

—>—>—>—>—>—>

m=?>a-h,n=ta+2h-

(1)若7上;,求实数f的值；

(2)若r=2,求力与;;的夹角.

10.(2020•上海师大附中期末)在中，腹/硼中点.

c

(1)求证：CACB=\CD^-|DB|2；

（2）若AABC是等边三角形，且外接圆半径为2,圆心为。（如图），/为。。上的一动点,

试求百•丽的取值范围.

11.（2021•上海市行知中学高一期末）已知角a是第三象限角，tanc=L.

2

(1)求sina,cosa的值;

1+2sin(万-a)cos(-2%-a)

(2)求sin2(-a)-sin2(y-a)的值，

“、sinO+a)cos(2〃-a)tan(2〃-a)

、f(a)=-------------------------7----------r-----

12.(2020•上海市行知中学高一期末)已知/tan(-«-.)cos-

(1)化简：/(«)；

(2)在AABC中，内角4、B、C所对的边长分别是a、b、c,若c=2,/(C)=-1,且AASC

的面积S=6，求a、方的值.

13.(2020•上海市七宝中学高一期末)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为。，b,

c,满足yj3asinC-c(2+cosA)=0,

(1)求角A的大小；

(2)若Q=2石，的面积为逝，求sinB+sinC的值.

14.(2020•上海交大附中高一期末)已知xeR,设加=(Gcosx,sinx-cosx),

〃=(2sinx,sinx+cosx),记函数f^x)=m-n.

(1)求函数/(X)的最小值，并求出函数“X)取最小值时尤的值；

(2)设AABC的角A,B,C所对的边分别为。，b,c,若〃C)=2,c=26，求AABC

的面积S的最大值.

15.(2020•上海高一期末)今年年初新冠肺炎肆虐全球，抗击新冠肺炎的有效措施之一是

早发现、早隔离.现某地发现疫情，卫生部门欲将一块如图所示的四边形区域ABCD沿着边界

用固定高度的板材围成一个封闭的隔离区.经测量，边界A3与AO的长都是200米，

NB4D=60°,NBC£)=120°.

A

BD

C

（1）若ZADC=105。，求BC的长（结果精确到米）；

（2）围成该区域至多需要多少米长度的板材？（不计损耗，结果精确到米）.

16.（2020•上海市青浦高级中学高一期末）某体育馆拟用运动场的边角地建一个矩形的健

身室，如图所示，ABCO是一块边长为100m的正方形地皮，扇形CEF是运动场的一部分，

其半径是80"?,矩形就是拟建的健身室，其中G、M分别在A3和AQ上，〃在"

上，设矩形的面积为S,NHCF=9.

EB

（1）将S表示为。的函数；

（2）求健身室面积的最大值，并指出此时的点“在如何处？

(

17.（2020•上海交大附中高一期末）已知即0,孔sina=迪,

I2；7

COSvClf+P7=----1--4--

(1)求tan2a的值;

(2)求cos/7的值.

18.(2020•上海市进才中学高一期末)在比中，a=7,左8,cosF--

7

(1)求N4

(II)求力烈上的高.

19.(2020•上海华师大二附中高一期末)设常数aeR,函数〃x)=Gsin2x+acos2x.

(1)若〃x)(xeR)是奇函数，求a的值；

(2)已知/用=3,求函数/(力在区间0,y上的最值.

20.(2020•上海中学高一期末)解下列三角方程:

(1)4COS2X—4COSX+1=0:

(2)sin2x+3sinxcosx4-1=0;

(3)sin2x-12(sinx-cosx)+12=0.

21.(2020•上海市青浦高级中学高一期末)已知函数/(x)=cosx(sinx+6cosx)-等，

xeR.

(1)求函数/(x)的单调减区间；

(2)若存在工€[(),万],使等式"(x)]2+/(》)+机=0成立，求实数，"的取值范围.

22.（2021•上海市奉贤中学期末）在平面上，给定非零向量坂，对任意向量定义

--9•乱匚

a-a-----v-b

（1）若坂=（T,3）,£=（2,3）,求7；

（2）若坂=（2,1）,位置向量-的终点在直线*+户1=0上，求位置向量7终点轨迹方程;

（3）对任意两个向量知的,求证：a；/1al.

23.（2021•上海位育中学期末）在平面直角坐标系xOy中，已知A（-l,-2）,3（2,3）,C（-2,-1）.

（1）求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；

（2）若存在y轴上一点P满足BCLAP,求N8PC.

24.（2021•上海市建平中学期末）已知£=（3,-2）,力=（2,1）,。为坐标原点.

（1）若,Q+B与Z-2区的夹角为钝角，求实数加的取值范围；

（2）设=OB=b，求的面积.

25.（2019•上海市奉贤区奉城高级中学期末）已知a/,c是同一平面内的三个向量，其中

值=（1,2）

（1）若|C|=2指，且1//N,求£的坐标；

⑵若出背，且会与2力垂直，求间的夹角，.

26.（2018•上海期末）已知加=（cos&sin。）,运=（2+sine,2-cos。）,其中。目0,2兀），求困

的最大值，并指出|而|取得最大值时而与丽夹角的大小.

27.(2020•上海期末)在平面直角坐标系xOy中，已知向量2=(-1,2),b=(\,k).

(1)若a_L(a+B),求实数女的值；

(2)若对于平面xOy内任意向量"，都存在实数4、〃，使得二=久。+〃力，求实数&的取

值范围.

28.(2019•上海市建平中学期末)已知向量1、B的夹角为?，且1羽=1,|5|=3.

(1)求|々+5|的值；

(2)求万与d+5的夹角的余弦.

29.(2015♦上海期末)已知次，砺是不平行的两个向量，&是实数，且而=%福(ZeR).

(1)用力，丽表示丽；

(2)若|方|=2,|丽|=1,ZAOB=\,记|而|=〃々)，求/仅)及其最小值.

30.(2020•上海市金山中学期末)己知向量2=(1,6),5=(—1,6).

(1)若£+焉与Z-zlB垂直，求实数4的值；

(2)若对任意的实数处都有,£+〃)之口+囚，求实数"的取值范围；

X

(3)设非零向量C=XQ+肪(x,y£R),求；的最大值.

31.(2016•上海期末)如图,在直角坐标平面xQy内已知定点厂(1,0),动点P在丁轴上运动,

过点P作交x轴于点M,使得丽.PF=0,延长MP到点N,使得|西卜|PF|

(1)当府|=1时，求丽.而;

(2)求点N的轨迹方程.

32.(2020•上海市南洋模范中学期末)平面向量函=(1,7),砺=(5,1),/=(2,1),点0

为直线勿止的一个动点.

(1)当口彳•通取得最小值时，求证的坐标

(2)当点3荫足(1)的条件和结论时，求cosZAQB的值.

33.(2019•上海市宜川中学期末)已知点P是双曲线C:》2-21=1上的点.

4

(1)记双曲线的两个焦点为耳，耳，若PFilPF2,求点尸到x轴的距离；

(2)已知点M的坐标为(0,2),。是点尸关于原点的对称点，记2=丽.丽0,求4的取值

范围.

34.(2019•上海期末)已知-=(1,2),5=(-2,1),3=万+(f+2)5,n=ka+tb(keR).

(1)若f=l,且方P),求橄值；

(2)若fsR,且玩•无=5,求证：k<2.

35.(2019•上海期末)已知向量不、5的夹角为120°,且同=1，网=2,设

m-3a-b,n—ta+2b.

(1)试用r来表示沅•万的值；

(2)若而与五的夹角为钝角,试求实数f的取值范围.

36.（2019•上海期末）已知4=（6,1），b=（04）.

⑴求Z的单位向量可

（2）若〃+2石与日-法的夹角为锐角，求实数几的取值范围.

37.（2019•上海期末）已知向量位,n=a&R.

（1）当。=1,,求向量记与）的夹角大小.

（2）正〃日，求实数a的值.

38.（2018•上海复旦附中期末）已知空间向量行与石的夹角为arccos巴且回=」2,[E[=[3

令话=五一万‘n=a+2b-

（1）求区至为邻边的平行四边形的面积S；

（2）求沅，元的夹角9.

39.（2018•上海期末）已知向量日=（1,2）,5=（2次），c=（8,7）.

⑴当才为何值时，all（b+c].

（2）当女=1时，求满足条件三=〃必+的实数见〃的值.

40.（2020•上海期末）如图，已知点G是边长为1的正三角形ABC的中心，线段OE经过

点G,并绕点G转动，分别父边A民AC于点Z）,E,设AO=，AE=nAC>其中

0<m<l,0<n<l.

（1）求表达式L+L的值，并说明理由；

mn

（2）求AA£）E面积的最大和最小值，并指出相应的加，〃的值.

41.（2020•上海市嘉定区封浜高级中学期末）在平面直角坐标系中，。为坐标原点，已知

曲线C上任意一点P（x,y）（其中xNO）到定点尸（1,0）的距离比它到>轴的距离大1.

（1）求曲线C的轨迹方程；

(2)若过点尸(1,0)的直线/与曲线C相交于A、B不同的两点，求画•砺的值;

(3)若曲线C上不同的两点M、N满足丽.丽=0,求|丽|的取值范围.

42.(2021•上海市奉贤中学期末)已知关于x的方程x2-px+25=0(peR)的两根为占、

(1)若再=3+4/,求P的值；

(2)若归—引=1,求实数，的值.

12

43.(2021•上海市建平中学期末)已知z=(，是虚数单位)，求:

I1

2

（1）—;—（2+D的值;

z+z

(2)满足不等式|az-4>1的实数a的取值范围.

44.(2021•上海交大附中期末)已知方程V+x+p=O有两个根斗，x2,peR.

(1)若上—q=3,求实数0的值；

⑵若|xj+|引=3,求实数0的值.

45.(2020•上海格致中学期末)已