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5.2.35.2.3简单复合函数的导数2023年年人教A版高中数学选择性必修第二册教学课件★★复复习:函数的加、减、乘、除的导数运算法则:1.[/(x)±g(x)r=,(x)±g,(x);2.[/(x)g(x)y=广(x)g(x)+f(x)g'(x)特别地,[cf(x)y=心X):/(X/(X)=g(x)/\x)g(x)-/(x)gr(x)思芝如何求函数y思芝如何求函数y=ln(2x—1)的导数?函数y=ln(2x—l)不是由基本初等函数通过加、减、乘、除运算得到的,所以无法用现有的方法求它的导数.下面,我们先分析这个函数的结构特点.若设"=2x-l(x>则从而函数y=ln(2x—1河以看成是由y=Ynu和乙把y与"的关系记作y项"),"与*的关系记作w=g(x),那么这个“复合”过程可表示为y=fW=f(g(x))=ln(2x-l).复合函数:一般地,对于两个函数y项”)和"=g(x),如果通过中间变量",y可以表示成*的函数,那么称这个函数为函数y项")和"=g(x)的复合函数.记作:y寸(g(x)).例如,函#j=sin2x是由y=sinu和“=2x复合而成.u=2x-l(x>)复合|fO成的一个旻合函数.问题问题如何求复合函数的导数呢?我们先来研^j=sin2x的导数.设〃=2x,则y=sin",用y:表示y对x的导数,y:表示y对"的导数,":表示"对*的导数,贝Uy'x=(sin2x)f=(2sinxcosx)f=2(cos2x-sin2x)=2cos2x.而=cosw,u=2.可以发现y'x=2cos2x=2cosw=y:•可.复合函数的导数法则:一般地,对于由)寸(")和"=g(x)复合而成的函数j=/(g(x)),它的导数与函数尸犬"),W=g(x)的导数间的关系为艮Ry对x的导数等于7对"的导数与"对x的导数的乘积,简单的理解就是复合函数的导数等于内外函数的导数之积=E=(lnu)f(2x-l)f=x2=(2)设"=-0.05x+1,贝!Jy=e“.(3)设"=2x-l(x>1),贝!)y=Inw.2例6求下列函数的导数:(2)yf=(x\]l+x2y=xf\)l+x2+x(\)l+x2)r匚i,x2(l+2x2)\jl+x27"=i+x2-变式求下列函数的导数:(1)y=n^;(2)y=x\ll+x2;(3)y=xcos2x+T)t1sin2乂+7云t解:(3)解:(3)Vj=xcos2x+?sin2x+)=x(—sin2x)cos2x=—3xsin4x,变式求下列函数的导数:...扩=~^xsin4x'—2sm4x—2cos4x•4:;sin4x—2xcos4x.例7例7某个弹簧振子在振动过程中的位移火单位:mm)与时间《单位:s)之间的关系式为y=18sin夸,一孕.求函数y在£=3s时的导数,并解释它的实际意义.&n2nn=18cosInp7rx=f1Ineos2np..函数y在Z=3s是的导数为0.它表示当Z=3s时,弹簧振子振动的瞬时速度为0mm/s.的变化近似满足关系式S(,)=3,则下列说法正确的有()3中/相邻两次潮水高度最高的时间间距为24hC.当,=6时,潮水的高度会达到一天中最低318时潮水起落的速度为?m/h解:对于选项A,S(?_f(。)=_gm/h,故A选项错误;对于选项B,T=-7~1=24h,故B选项正确;的变化近似满足关系式S(,)=3,则下列说法正确的有()3中/相邻两次潮水高度最高的时间间距为24hC.当,=6时,潮水的高度会达到一天中最低318时潮水起落的速度为?m/h对于选项C,对于选项C,对于选项D,S(6)=3sin仔x6+甲]=—气&一3,即C选项错误;cos佥:+?,..S《18)=?,故选项D正确.例例8若曲线/(x)=ax-ln(x+l)在点(0,0)的切线方程是y=2x,则实数〃=解:因为In(工+1),所以y'=〃一,因为丫=如~ln3+l)在(0,0)处的切线方程为丫=2》,所以a~^+i=2,解得〃=3.A.x~A.x~y=OB>ex—j—e+l=OC.ex-j—e-1=0x~y—2=0(\解:Vj=ex-1—2sin豪,_(n}•\jr=exi—7tcos2X,当x=l时,y'=L曲线y=eLi-2sin[时在点(1,一1)处的切线的斜率k=lf••所求切线方程为y+l=x—l,即X—j—2=0.故选D.变云曲线j=ex1_2sin.x在点(1,—1)处的切线方程为()练习-练习-课本P81L求下列函数的导数:(l)J=;(2)y=(l—2x)3;(3)j=log2(2x+l);Y3勿(3)y=;(4)j=cos;(5)y=sin(2-3x);(6)y=22x+l.J13V3x+1(2)y=3(1一2x)2x(-2)=-6(1-2x)2.2VxVx1(2x+l)ln2(4)(4)j=cos;(5)y=sin(2-3x);(6)y=22x+l.解:⑷V=-;sin:;(5)y'=-3cos(:-3x)=3sin3x;(5)法2:••’=sin(3-3x)=-cos3x,/.y'=3sin3x;练习-课本P81L求下列函数的导数:(l)J=;(2)y=(l—2x)3;(3)j=log2(2x+l);Y3勿VVx1--课本P812.求下列函数在给定点处的导数:(1)j=e'2x+l^x=1处的导数;(2)y=ln(5x+2)在x=1处的导数.解:(1).仆-2产+1,'XIi=-2e~l+l=-2;(2).y=5,5x+2yLi=7-...,=(3x-...,=(3x-l)3x3=(3x-l)3.1解:Vj=(3x-1)3,3求.曲线/=__1在点(3,1)处的切线方程.,11-1_2:.k=yf\2=(3x-1)3=lx=33.••所求切线方程为y-1=x-,艮
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