2022-2023学年海南省琼海市高一下学期7月期末考试数学试题【含答案】

2022-2023学年海南省琼海市高一下学期7月期末考试数学试题一、单选题1．复数的虚部为（

）A．3 B．2 C． D．【答案】C【分析】根据复数的定义，即可求解．【详解】的虚部为．故选：C．2．嫦娥五号的成功发射，实现了中国航天史上的五个“首次”，某中学为此举行了“讲好航天故事”演讲比赛.若将报名的30位同学编号为01，02，…，30，利用下面的随机数表来决定他们的出场顺序，选取方法是从随机数表第1行的第3列和第4列数字开始由左到右依次选取两个数字，重复的跳过，则选出来的第5个个体的编号为（

）45

67

32

12

12

31

02

01

04

52

15

20

01

12

51

2932

04

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23

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69

69

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81A．23 B．20 C．15 D．12【答案】C【分析】根据随机数表法的概念直接得解.【详解】根据随机数表法可得选出的个体编号依次为：12，02，01，04，15，第5个个体编号为15，故选：C.3．一组数据按从小到大的顺序排列为2，3，4，，7，8（其中），若该组数据的中位数是极差的，则该组数据的60%分位数是（

）A．4 B．4.5 C．5 D．6【答案】D【分析】先求出中位数，进而求得极差，由条件列方程求，再由百分位数的求法求解即可.【详解】由题意知，中位数是，极差为，由已知，解得，又，则第60百分位数是6.故选：D.4．已知，，，则（

）A． B． C． D．5【答案】D【分析】得到即可求出m再写出的坐标.【详解】故选：D5．已知，，是三条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列结论正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】D【分析】以正方体为例，举例即可说明A、B、C错误；根据线面垂直的性质定理以及平行线的传递性，即可得出D项.【详解】

对于A项，如图正方体中，平面平面，平面，但是，平面，故A错误；对于B项，如图正方体中，平面，平面，，，但是，平面，故B错误；对于C项，如图正方体中，平面平面，平面平面，但是，平面平面，故C错误；对于D项，因为，，根据线面垂直的性质定理可知，.又，所以，故D项正确.故选：D.6．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用诱导公式，平方关系和商关系即可求解.【详解】.故选：D7．如图，圆锥的底面半径为1，侧面展开图是一个圆心角为的扇形.把该圆锥截成圆台，已知圆台的下底面与该圆锥的底面重合，圆台的上底面半径为，则圆台的侧面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知可得出圆锥的母线，进而根据圆锥、圆台的轴截面，即可得出答案.【详解】假设圆锥半径，母线为，则.设圆台上底面为，母线为，则.由已知可得，，所以.如图，作出圆锥、圆台的轴截面则有，所以.所以圆台的侧面积为.故选：C.8．分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设“第一枚正面朝上”为事件A，“第二枚反面朝上”为事件，“两枚硬币朝上的面相同”为事件，则（

）A． B．事件A与事件相互独立C．事件与事件对立 D．事件A与事件互斥【答案】B【分析】根据古典概型的概率公式即可判断A，根据相互独立事件的概率关系即可判断B，根据互斥事件以及对立事件的定义即可判断DC.【详解】对A：由题意可知：一枚硬币有两个等可能结果：正面朝上、反面朝上，则，两枚硬币有两个等可能结果：正正、正反、反正、反反，则，A错误；对B：,故事件与相互独立，B正确．对C：事件对立事件包含两种情况：正反、反正，事件仅有一种情况：正反，故事件与事件不对立，C错误；对于D，事件与事件可以同时发生，即事件与事件不是互斥，D错误；故选：B．二、多选题9．随着互联网的发展，网上购物几乎成为了人们日常生活中不可或缺的一部分，这也使得快递行业市场规模呈现出爆发式的增长.渝北区的陈先生计划在家所在的小区内开一家菜鸟驿站，为了确定驿站规模的大小，他统计了隔壁小区的菜鸟驿站和小兵驿站一周的日收件量（单位：件），得到折线图如下，则下列说法正确的是（

）A．菜鸟驿站一周的日收件量的极差小于小兵驿站一周的日收件量的极差B．菜鸟驿站星期三的日收件量小于小兵驿站星期六的日收件量C．菜鸟驿站日收件量的平均值大于小兵驿站的日收件量的平均值D．菜鸟驿站和小兵驿站的日收件量的方差分别记为、，则【答案】ABC【分析】利用极差的定义可判断A选项；利用折线图可判断B选项；利用平均数公式可判断C选项；利用方差公式可判断D选项.【详解】对于A选项，菜鸟驿站一周的日收件量的极差为，小兵驿站一周的日收件量的极差为，所以，菜鸟驿站一周的日收件量的极差小于小兵驿站一周的日收件量的极差，A对；对于B选项，菜鸟驿站星期三的日收件量为，小兵驿站星期六的日收件量为，所以，菜鸟驿站星期三的日收件量小于小兵驿站星期六的日收件量，B对；对于C选项，菜鸟驿站日收件量的平均值为，小兵驿站的日收件量的平均值为，所以，菜鸟驿站日收件量的平均值大于小兵驿站的日收件量的平均值，C对；对于D选项，，，所以，，D错.故选：ABC.10．已知复数（为虚数单位）在复平面内对应的点为，复数满足，则下列结论正确的是（

）A．点的坐标为B．（为的共轭复数）C．的最大值为D．的最小值为【答案】ABC【分析】利用复数的几何意义可判断A选项；利用共轭复数的定义可判断B选项；利用复数的几何意义可判断CD选项.【详解】对于A选项，因为，则，A对；对于B选项，由共轭复数的定义可得，B对；对于CD选项，设在复平面内的点，由复数满足，，的轨迹为以为圆心，1为半径的圆上.故的最大值为到的距离与半径的和为，最小值为到的距离与半径的差为，故C对，D错.故选：ABC.三、单选题11．已知函数的图象如图所示，则正确的是（

）

A．B．函数在上单调递增C．直线是函数的一条对称轴D．，使得【答案】BC【分析】先根据给定函数图象，利用“五点法”求出函数的解析式，再结合正弦函数的性质逐一分析各个选项即可得解.【详解】观察函数的图象得：，令的周期为，则，故，又，则，所以，因为，所以，则，即，因为，所以，于是，对于A，，故A不正确；对于B，因为所以，即在上单调递增，故B正确；对于C，因为，所以是函数的一条对称轴，故C正确；对于D，由得，解得：，令，解得与矛盾，故D不正确.故选：BC.四、多选题12．如图所示，已知四棱锥的底面为矩形，平面，，O为的中点，则下列说法正确的是（

）

A．B．过点O且与平行的平面截该四棱锥，截面可能是五边形C．若平面平面，则D．四棱锥外接球的表面积为【答案】ACD【分析】根据线面垂直即可得线线垂直判断A；利用平面的性质，作四棱锥的截面即可判断选项B,结合线面平行求证线线平行，进而即可判断选项C；利用正方体的外接球即可求解D.【详解】对于A,因为平面，平面，所以，又四边形为矩形，,故四边形为正方形，所以，又，平面，，所以平面，又平面，所以，故A正确；对于B，连接，记，连接，因为，，所以，设过点且与平行的平面为，则平面必过直线，设平面与交于点，若点与点重合，此时截面为，当点与点重合时，连接，，此时截面为，当点在线段上，且不为端点时，连接，直线与线段交于点，过点作交于，连接，，此时截面为四边形，易得几何体关于平面对称，所以当截面与线段相交（不含端点）时，所得截面也是四边形，

综上，截面图形是三角形或四边形，不可能是五边形，故选项B错误；对于C，因为，而平面，平面，所以平面，又平面平面，平面，所以，故C正确；对于D，不妨将四棱锥放入正方体中，如图，则该四棱锥与正方体的外接球为同一个外接球，由于正方体的棱长为2，体对角线长度为，所以外接球的半径为,故球的表面积为,故D正确，故选：ACD

【点睛】方法点睛：作截面的常用方法：直接法，截面的定点在几何体的棱上；平行线法，截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；延长交线得交点，截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上.五、填空题13．某单位有名职工，其中女职工有名，男职工有名，现要从中抽取名进行调研座谈，如果用比例分配的分层随机抽样的方法进行抽样，则应抽女职工名．【答案】9【分析】利用分层抽样的比例关系列式求解．【详解】根据分层抽样的定义和方法，设应抽女职工x名，则，解得．故答案为：9．14．在长方体中，，则异面直线与所成的角为.【答案】/【分析】由题意得即为直线与所成的角，在中，求得、的长度，求得其正切值，即可得答案.【详解】因为长方体，所以，所以异面直线与所成的角即为直线与所成的角，即为，因为平面，所以，在中，，所以，因为，所以，即异面直线与所成的角为.故答案为：六、双空题15．利用分层随机抽样的方法，调研某校高二年级学生某次数学测验的成绩（满分分），获得样本数据的特征量如下表：人数平均成绩方差男生女生则总样本的平均分为，方差为．参考公式：个数的平均数为，方差为参考数据：．【答案】【分析】由可计算得到总样本的平均数；利用男生和女生数学测验成绩的方差可计算得到和，代入方差公式可求得结果.【详解】总样本的平均分；设名男生数学测验的成绩分别为，名女生数学测验的成绩分别为；男生数学测验成绩的方差，女生数学测验成绩的方差，，，总样本的方差为.故答案为：；.七、填空题16．已知梯形ABCD中，,，，，，点P，Q在线段BC上移动，且，则的最小值为.【答案】【分析】建立直角坐标系，利用坐标法求解.【详解】以B为坐标原点,BC所在的直线为x轴,建立平面直角坐标系,如图所示：则.不妨设,则.所以所以.所以当时，的最小值为.故答案为：.八、解答题17．在一次知识竞答活动中，共有10道题，两名同学独立作答，甲同学答对了6个，乙同学答对了4个．假设答对每道题都是等可能的，设事件为“任选一道题，甲答对”，事件为“任选一道题，乙答对”．(1)任选一道题，记事件为“恰有一个人答对”，求事件发生的概率；(2)任选一道题，记事件为“甲、乙至少有一个人答对”，求事件发生的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）先求出,则事件发生的概率，由此能求出事件发生的概率．（2）甲、乙至少有一个人对的对立事件是“甲、乙均没有对”，由此能求出事件发生的概率．【详解】（1）设事件为“任选一道题，甲猜对”，事件为“任选一道题，乙猜对”．则，，任选一道题，记事件为“恰有一个人答对”，则事件发生的概率．（2）任选一道题，记事件为“甲、乙至少有一个人答对”，甲、乙至少有一个人答对的对立事件是“甲、乙均没有答对”，则事件发生的概18．在中，内角，，所对的边分别为，，，且满足.（1）求角；（2）若，的外接圆半径为，试求的边上的高.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用三角形内角和以及正弦定理，结合两角和公式化简已知条件，可得角；（2）由正弦定理求出，利用余弦定理和三角形面积公式可得的边上的高．【详解】（1）由，得，即，由正弦定理，得，即.又，所以，即.又，所以.（2）由正弦定理得，由余弦定理得，所以，设的边上的高为，因为的面积，所以的边上的高.19．某中学为研究本校高一学生市联考的语文成绩，随机抽取了100位同学的语文成绩作为样本，按分组，，，，，，整理后得到如下频率分布直方图.(1)求图中的值；(2)请用样本数据估计本次联考该校语文平均成绩（同一组数据用该组区间的中点值代替）；(3)用分层随机抽样的方法，从样本内语文成绩在，的两组学生中抽取5名学生，再从这5名学生中随机选出2人，求选出的两名学生中恰有一人语文成绩在的概率.【答案】(1)(2)107.4分(3)【分析】（1）根据频率分布直方图中小矩形面积和为1，求得x；（2）用每一组区间的中点值代替该组数据，计算平均数；（3）计算分层抽样每层抽取人数，列出所有选出2人的基本事件，求出概率.【详解】（1）由频率分布直方可知，，解得；（2）由图可知，语文成绩在，，，，，，的频率分别为0.12，0.22，0.28，0.18，0.10，0.08，0.02，设样本数据中语文平均成绩为，则故估计本次联考该校语文平均成绩为107.4分；（3）由题知，样本内语文成绩在，的学生分别有8名和2名，按分层随机抽样抽取的5名学生中，分数在的学生有4名，记为A，B，C，D，在的学生有1名，记为e，从这5名学生中随机选出2人，所有的情况有10种：AB，AC，AD，Ae，BC，BD，Be，CD，Ce，De，其中恰有一人语文成绩在的有4种：Ae，Be，Ce，De，则这5名学生中随机选出2人，恰有一人语文成绩在的概率为.20．直三棱柱中，为正方形，，，M为棱上任意一点，点D、E分别为AC、CM的中点．(1)求证：平面；(2)当点M为中点时，求三棱锥的体积．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）取BC中点为，连接，，由面面平行的判断定理证明平面平面，从而即可证明平面；（2）证明平面，即平面，从而有，根据三棱锥的体积公式即可求解.【详解】（1）证明：取BC中点为，连接，，因为点、分别为，的中点，所以，，因为平面，平面，所以平面，同理可得平面，又，平面，所以平面平面，因为平面，所以平面；（2）因为三棱柱为直三棱柱，所以平面，所以，又为正方形，，，所以，且，，，又，所以平面，即平面，所以当点为中点时，三棱锥的体积.21．如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，平面ABCD，M为AD的中点且.(1)证明：；(2)若，求二面角的平面角的正切值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由线面垂直的性质可得，再根据线面垂直的判定定理可得平面PAC，再根据线面垂直的性质即可得证；（2）设AC与BM交于点O，过O作交PA于点E，连接BE，证明平面OEB，则有，则为二面角的平面角，根据三角形相似求出即可得解.【详解】（1）证明：∵底面ABCD，平面ABCD，∴，又∵，，平面PAC，∴平面PAC，∵平面PAC，∴；（2）解：由（1）得，∴，又∵，，代入上式解得：，∴，，，设AC与BM交于点O，∵，所以，∴，，，过O作交PA