专题1-4 空间向量及其运算的坐标表示【八大题型】（举一反三）（原卷版）

专题1.4空间向量及其运算的坐标表示【八大题型】【人教A版（2019）】TOC\o"1-3"\h\u【题型1求空间点的坐标】 1【题型2空间向量运算的坐标表示】 2【题型3空间向量数量积运算的坐标表示】 3【题型4根据空间向量的坐标运算求参数】 3【题型5空间向量模长的坐标表示】 4【题型6空间向量平行的坐标表示】 6【题型7空间向量垂直的坐标表示】 7【题型8空间向量夹角余弦的坐标表示】 8【知识点1空间直角坐标系】1．空间直角坐标系(1)空间直角坐标系及相关概念①空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(i，j，k))，以O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系O-xyz.②相关概念：O叫做原点，i，j，k都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它们把空间分成八个部分．(2)右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．2．空间一点的坐标在空间直角坐标系O-xyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量eq\o(OA,\s\up6(→))，且点A的位置由向量eq\o(OA,\s\up6(→))唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使eq\o(OA,\s\up6(→))＝xi＋yj＋zk.在单位正交基底{i，j，k}下与向量eq\o(OA,\s\up6(→))对应的有序实数组(x，y，z)叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标．【题型1求空间点的坐标】【例1】（2023春·山东青岛·高二校联考期中）空间直角坐标系中，已知A−1,1,3，则点A关于yOz平面的对称点的坐标为（

）A．1,1,−3 B．−1,−1,−3 C．1,1,3 D．−1,−1,3【变式1-1】（2023秋·陕西宝鸡·高二统考期末）已知点A(3,−1,0)，若向量AB=−1,6,−3，则点B的坐标是（A．(1,−6,3) B．(5,4,−3) C．(−1,6,−3) D．(2,5,−3)【变式1-2】（2023秋·北京怀柔·高二统考期末）若点A1,2,3，点B4,−1,0，且AC=2CB，则点A．3,0,1 B．2,1,2C．32,−3【变式1-3】（2023·高二单元测试）在空间直角坐标系中，已知点P(x,y,z)下列叙述中正确的是（

）①点P关于x轴的对称点是P②点P关于yOz平面的对称点是P③点P关于y轴的对称点是P④点P关于原点的对称点是PA．①② B．①③ C．②④ D．②③【知识点2空间向量的坐标运算】1．空间向量的坐标在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系O-xyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z)．2．空间向量的坐标运算设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有向量运算向量表示坐标表示加法a＋ba＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)减法a－ba－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)数乘λaλa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R数量积a·ba·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3【题型2空间向量运算的坐标表示】【例2】（2023春·全国·高二校联考开学考试）已知向量a=3,−4,2，b=2,−3,1，则A．7,−10,4 B．5,−7,3 C．1,−1,1 D．−1,2,0【变式2-1】（2023秋·江西吉安·高二校考期末）已知向量AB=2,A．−2,−2,−2 B．（8，15，3）【变式2-2】（2022·全国·高二专题练习）已知向量a=2,3,−4,b=A．0,3,−6 B．0,6,−20 C．0,6,−6 D．6,6,−6【变式2-3】（2022秋·河南信阳·高二校考阶段练习）在空间四边形ABCD中，若向量AB=（﹣3，5，2），CD=（﹣7，-1，﹣4），点E，F分别为线段BC，AD的中点，则EF的坐标为（

）A．（2，3，3） B．（﹣2，﹣3，﹣3）C．（5，﹣2，1） D．（﹣5，2，﹣1）【题型3空间向量数量积运算的坐标表示】【例3】（2022·全国·高二专题练习）若A(2,−4,−1)，B(−1,5,1)，C(3,−4,1)，则CA⋅CB=A．-11 B．3 C．4 D．15【变式3-1】（2023春·高二课时练习）若a=2,3,2,b=A．−1 B．0 C．1 D．2【变式3-2】（2023春·山东济宁·高三校考阶段练习）已知棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1的上底面A．-1 B．0 C．1 D．2【变式3-3】（2022春·广西桂林·高二校考期中）已知正六棱柱ABCDEF−A1B1C1DA．(−12,C．(−12,1)【题型4根据空间向量的坐标运算求参数】【例4】（2022秋·广东江门·高二校考期中）a=(2，-1，3)，b=(-1，4，-2)，c=(3，2，λ)，若c=2a+b，则实数A．2 B．3 C．4 D．5【变式4-1】（2022秋·广西南宁·高二校考期中）已知a=−3,2,5，b=1,x,−1，且A．6 B．5 C．4 D．3【变式4-2】（2023秋·北京丰台·高二校考期末）若向量a=(1,−1,λ),b=(1,−2,1),c=(1,1,1)，满足条件(A．−1 B．−2 C．1 D．2【变式4-3】（2023秋·河南郑州·高二校考阶段练习）已知点A1,−1,2，B2,−1,1，C3,3,2，又点Px,7,−2在平面ABC内，则A．11 B．9 C．1 D．−4【知识点3用空间向量的坐标运算解决相关的几何问题】1．空间向量的平行、垂直及模、夹角设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则有当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))；cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2)＋b\o\al(2,3))).2．空间两点间的距离公式设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，则P1P2＝|eq\o(P1P2,\s\up6(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12＋z2－z12).3．利用空间向量基本定理解决几何问题的思路:(1)平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题；(2)几何中的求夹角、证明垂直都可以转化为向量的夹角问题，解题中要注意角的范围；(3)几何中求距离(长度)都可以转化为向量的模，用空间向量的坐标运算可以求得．【题型5空间向量模长的坐标表示】【例5】（2023春·高二课时练习）如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG=14CD，H为C1G【变式5-1】（2023春·福建龙岩·高二校联考期中）如图，在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AB//CD，AB⊥AD，AA1=AB=2AD=2CD=4

(1)求线段FG的长度；(2)求CG⋅【变式5-2】（2023春·福建龙岩·高二校考阶段练习）如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，CA=CB=1，∠BCA=90°，AA(1)求M,N的距离；(2)求cosB【变式5-3】（2022秋·福建·高二校联考阶段练习）已知空间三点，A0,2,3，B−(1)求以AB,AC为边的平行四边形的面积；(2)若AD=7，且∠DAB=∠DAC=60°，点P【题型6空间向量平行的坐标表示】【例6】（2023春·高二课时练习）已知空间三点A(−2,0,2)，B(−1,1,2)，C(−3,0,4)，设a=AB,b=【变式6-1】（2022·高二课时练习）已知A(3,4,0),B(2,5,5),C(0,3,5)，且ABCD是平行四边形，求顶点D的坐标．【变式6-2】（2023春·上海浦东新·高二统考期末）已知a=1,4,−2，(1)若c=12(2)若ka+b【变式6-3】（2022·高二课时练习）正方体ABCD­A1B1C1D1中，E是棱D1D的中点，P、Q分别为线段B1D1，BD上的点，且3B1P＝PD1，若PQ⊥AE，BD【题型7空间向量垂直的坐标表示】【例7】（2023春·高二单元测试）已知空间三点A(−2,0,2),B(−1,1,2)，C(−3,0,4)，设a=AB,b=AC.若m(a【变式7-1】（2023春·江苏连云港·高二校考阶段练习）已知a=3,2,−1，(1)求a−(2)当a−b⊥【变式7-2】（2023春·江苏连云港·高二校联考期中）已知空间中三点A2,0,−2，B1,−1,3，C3,0,1，设a(1)若c=3，且c∥BC(2)已知向量a+kb与b【变式7-3】（2023秋·江西吉安·高二校考期末）已知a=1,−4,5，b=−2,3,2，点(1)求2a(2)在线段AB上，是否存在一点E，使得OE⊥b？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．（【题型8空间向量夹角余弦的坐标表示】【例8】（2023春·高二课时练习）如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG=14CD【变式8-1