重难点05解三角形（4种考法）（原卷版）

重难点05解三角形（4种考法）【课程安排细目表】真题抢先刷，考向提前知二、考点清单三、题型方法一、一、真题抢先刷，考向提前知一．正弦定理（共3小题）1．（2022•上海）已知在△ABC中，∠A＝，AB＝2，AC＝3，则△ABC的外接圆半径为．2．（2021•上海）已知A、B、C为△ABC的三个内角，a、b、c是其三条边，a＝2，cosC＝﹣．（1）若sinA＝2sinB，求b、c；（2）若cos（A）＝，求c．3．（2021•上海）在△ABC中，已知a＝3，b＝2c．（1）若A＝，求S△ABC．（2）若2sinB﹣sinC＝1，求C△ABC．二．余弦定理（共1小题）4．（2023•上海）已知△ABC中，角A，B，C所对的边a＝4，b＝5，c＝6，则sinA＝．三．三角形中的几何计算（共2小题）5．（2022•上海）如图，在同一平面上，AD＝BC＝6，AB＝20，O为AB中点，曲线CD上任一点到O距离相等，角∠DAB＝∠ABC＝120°，P，Q关于OM对称，MO⊥AB；（1）若点P与点C重合，求∠POB的大小；（2）P在何位置，求五边形MQABP面积S的最大值．6．（2023•上海）某公园欲建设一段斜坡，坡顶是一条直线，斜坡顶点距水平地面的高度为4米，坡面与水平面所成夹角为θ．行人每沿着斜坡向上走1m消耗的体力为（1.025﹣cosθ），欲使行人走上斜坡所消耗的总体力最小，则θ＝．四．解三角形（共1小题）7．（2023•上海）在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，其中b＝2．（1）若A+C＝120°，a＝2c，求边长c；（2）若A﹣C＝15°，a＝csinA，求△ABC的面积．二、考点清单二、考点清单解三角形1．已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C＝π求C，由正弦定理求a、b．2．已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C＝π，求另一角．3．已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况．4．已知三边a、b、c，应用余弦定理求A、B，再由A+B+C＝π，求角C．5．方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成．正北或正南，北偏东××度，北偏西××度，南偏东××度，南偏西××度．6．俯角和仰角的概念：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角．如图中OD、OE是视线，是仰角，是俯角．7．关于三角形面积问题①S△ABC＝aha＝bhb＝chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）；②S△ABC＝absinC＝bcsinA＝acsinB；③S△ABC＝2R2sinAsinBsinC．（R为外接圆半径）④S△ABC＝；⑤S△ABC＝，（s＝（a+b+c））；⑥S△ABC＝r•s，（r为△ABC内切圆的半径）在解三角形时，常用定理及公式如下表：名称公式变形内角和定理A+B+C＝π+＝﹣，2A+2B＝2π﹣2C余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosAb2＝a2+c2﹣2accosBc2＝a2+b2﹣2abcosCcosA＝cosB＝cosC＝正弦定理＝2RR为△ABC的外接圆半径a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinCsinA＝，sinB＝，sinC＝射影定理acosB+bcosA＝cacosC+ccosA＝bbcosC+ccosB＝a面积公式①S△＝aha＝bhb＝chc②S△＝absinC＝acsinB＝bcsinA③S△＝④S△＝，（s＝（a+b+c））；⑤S△＝（a+b+c）r（r为△ABC内切圆半径）sinA＝sinB＝sinC＝三、三、题型方法一．正弦定理（共11小题）1．（2023•嘉定区校级三模）在△ABC中，已知bsin2A+asinB＝0，则角A的大小为．2．（2023•杨浦区二模）△ABC内角A、B、C的对边是a、b、c，若a＝3，b＝，∠A＝，则∠B＝．3．（2023•黄浦区模拟）在△ABC中，若，则B＝．4．（2023•宝山区二模）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin＝bsinA，则B＝．5．（2023•松江区模拟）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a＝5，b＝7，B＝60°，则△ABC的面积为．6．（2023•普陀区校级模拟）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知∠A＝，b＝2c．（1）求tanB；（2）求sin（2C+）．7．（2023•浦东新区二模）在△ABC中，角A、B、C的对边分别记为a、b、c，若5acosA＝bcosC+ccosB，则sin2A＝．8．（2023•上海模拟）在△ABC中，∠A＝150°，D1，D2，…，D2022，依次为边BC上的点，且BD1＝D1D2＝D2D3＝…＝D2021D2022＝D2022C，设∠BAD1＝α1、∠D1AD2＝α2、…、∠D2021AD2022＝α2022、∠D2022AC＝α2023，则的值为．9．（2023•青浦区校级模拟）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2﹣b2＝3bc，sinC＝2sinB，则A＝．10．（2023•静安区二模）已知△ABC中，sinA＝3sinCcosB，且AB＝2，则△ABC面积的最大值为．11．（2023•闵行区校级二模）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinB＝bsin（A﹣）．（1）求A；（2）D是线段BC上的点，若AD＝BD＝2，CD＝3，求△ADC的面积．二．余弦定理（共7小题）12．（2023•普陀区校级模拟）在△ABC中，已知sinA：sinB：sinC＝3：5：7，则△ABC最大角的值是．13．（2023•奉贤区二模）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为，则C等于．14．（2023•普陀区二模）设△ABC的三边a，b，c满足a：b：c＝7：5：3，且S△ABC＝15，则此三角形最长的边长为．15．（2023•虹口区二模）在△ABC中，已知AB＝2，，∠ABC＝120°，则BC＝．16．（2023•浦东新区校级一模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，且4S＝（a+b）2﹣c2，则cosC＝．17．（2023•浦东新区校级模拟）已知函数．（Ⅰ）求函数y＝f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，求f（B）的取值范围．18．（2023•松江区校级模拟）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且2cosA＝a（﹣cosC），c＝2，D为AC上一点，AD：DC＝1：3，则△ABC面积最大时，BD＝．三．三角形中的几何计算（共9小题）19．（2023•徐汇区校级三模）克罗狄斯•托勒密（Ptolemy）所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号．根据以上材料，完成下题：如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，OA＝2，B为半圆上一点，以AB为一边作等边三角形ABC，则当线段OC的长取最大值时，∠AOC＝．20．（2023•浦东新区模拟）在△ABC中，AB＝2，D为AB的中点，若，则AC的长为．21．（2023•嘉定区模拟）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，a2﹣ab+b2﹣c2＝0．（1）求C；（2）若，△ABC的面积是，求△ABC的周长．22．（2023•奉贤区校级三模）如图：已知△ABC中，，边长为1的正方形DEFG为△ABC的内接正方形，则AB+AC的最小值为．​23．（2023•徐汇区三模）如图，△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c．（1）若3a﹣c＝3bcosC，求角B的大小；（2）已知b＝3、，若D为△ABC外接圆劣弧AC上一点，求△ADC周长的最大值．24．（2023•闵行区校级一模）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，，∠B的平分线交AC于D，若，则a+2c的最小值为．25．（2023•嘉定区校级三模）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，．（1）求角B；（2）若D是AC边上的点，且AD＝3DC＝3，∠A＝∠ABD＝θ，求sinθ的值．26．（2023•奉贤区校级模拟）已知函数．（1）求函数f（x）的最值；（2）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（A）＝2，b＝2，且，求△ABC的面积．27．（2023•黄浦区校级三模）在△ABC中，，，BC边中线．（1）求A的值；（2）求△ABC的面积．四．解三角形（共10小题）28．（2023•浦东新区校级三模）已知向量＝（sinx，），＝（cosx，﹣1）．（1）当∥时，求cos2x﹣sin2x的值；（2）设函数f（x）＝2（）•，已知在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a＝，b＝2，sinB＝，求f（x）+4cos（2A+）（x∈[0，]）的取值范围．29．（2023•金山区二模）在△ABC中，角A、B、C所对边的边长分别为a、b、c，已知，C＝45°．（1）若，求c；（2）若B﹣A＝15°，求△ABC的面积．30．（2023•黄浦区二模）在△ABC中，．（1）求sinC的值；（2）若AB＝4，求△ABC的周长和面积．31．（2023•闵行区二模）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知sinA＝sin2B，a＝4，b＝6．（1）求cosB的值；（2）求△ABC的面积．32．（2023•松江区二模）在锐角△ABC中，内角A、B、C所对边分别为a、b、c，且．（1）求角B；（2）求cosA+cosB+cosC的最大值．33．（2023•青浦区二模）如图所示，要在两山顶M、N间建一索道，需测量两山顶M、N间的距离．已知两山的海拔高度分别是米和米，现选择海平面上一点A为观测点，从A点测得M点的仰角∠MAC＝60°，N点的仰角∠NAB＝30°以及∠MAN＝45°，则MN等于米．34．（2023•黄浦区校级模拟）在△ABC中，三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若△ABC的面积，a+b＝6，，则c＝．35．（2023•徐汇区二模）已知向量，，函数．（1）设，且，求θ的值；（2）在△ABC中，AB＝1，，且△ABC的面积为，求sinA+sinB的值．36．（2023•徐汇区校级三模）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的最大值为f（A）．（1）求角A