考点16 利用导数研究函数的单调性6种常见考法归类（原卷版）

考点16利用导数研究函数的单调性6种常见考法归类考点一利用导数求函数的单调区间（不含参）考点二含参数的函数的单调性（一）导主一次型（二）导主二次型（1）可因式分解型（2）不可因式分解型（三）导主指数型（四）导主对数型考点三比较大小考点四解抽象不等式考点五已知函数的单调性求参数的取值范围（一）在区间上单调递增（减）（二）在区间上单调（三）单调区间是（四）存在单调区间（五）在区间上不单调（六）由单调区间个数求参数（七）综合应用考点六函数图象与导数图象的应用（一）由导函数图象确定原函数单调性（二）由导函数图象确定原函数图象（三）由原函数图象或解析式确定导函数图象1.函数的单调性与导数的关系一般地，函数f(x)的单调性与导函数f′(x)的正负之间具有如下的关系：在某个区间(a，b)上，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递减.2.利用导数判断函数f(x)单调性的步骤第1步，确定函数的定义域；第2步，求出导数f′(x)的零点；第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各个区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性.若一个函数具有相同单调性的区间不只一个，则这些单调区间不能用“”、“或”连接，而应用“和”、“，”隔开.注：确定函数单调区间的步骤：第一步，确定函数f(x)的定义域.第二步，求f′(x).第三步，解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间.注意函数间断点.3.利用导数解决单调性问题需要注意的问题(1)定义域优先的原则：解决问题的过程只能在定义域内，通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间．(2)注意“临界点”和“间断点”：在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定义域内的间断点．(3)如果一个函数的单调区间不止一个，这些单调区间之间不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字等隔开．4.讨论单调区间问题（1）不含参数单调性讨论①求导化简定义域(化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间)；②变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分)；③求根做图得结论(如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x轴位置关系图，则导函数正负区间段已知，可直接得出结论)；④未得结论断正负(若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负)；⑤正负未知看零点(若导函数正负难判断，则观察导函数零点)；⑥一阶复杂求二阶(找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导)；求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导．⑦借助二阶定区间(通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段)；(2)含参数单调性讨论①求导化简定义域(化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间)；②变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分)；③恒正恒负先讨论(变号部分因为参数的取值恒正恒负)；然后再求有效根；④根的分布来定参(此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系)；⑤导数图像定区间；5.函数图象与导数图象一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上导数的绝对值函数值变化函数的图象越大快比较“陡峭”(向上或向下)越小慢比较“平缓”(向上或向下)注:利用导数判断函数单调性：（口诀：导函数看正负，原函数看增减）在导函数图象中，在x轴上方区域对应原函数单调递增区间；在x轴下方区域对应原函数单调递减区间．（1）单调递增①若，其图象如右所示——图象上升且越来越陡②若，其图象如右所示——图象上升且越来越平缓（2）单调递减①若，其图象如右所示——图象下降且越来越平缓②若，其图象如右所示——图象下降且越来陡函数图象变化得越快，f′(x)的绝对值越大，不是f′(x)的值越大．6.利用导数进行图象识别有以下三个结论：①在导函数图象中，在x轴上方区域对应原函数单调递增区间，在x轴下方区域对应原函数单调递减区间；②在导函数图象中，图象由x轴上方到x轴下方与x轴的交点为极大值点；由x轴下方到x轴上方与x轴的交点为极小值点；③导函数与x轴的交点不一定是极值点，交点两侧导函数值可能恒正或者恒负，若交点是极值点，交点两侧导函数值必须异号.7.利用导数比较大小有时需要利用题目条件构造辅助函数，把比较大小的问题转化为先利用导数研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小的问题；②比较大小时，需关注函数的性质，如奇偶性、对称性，进而把自变量转移到同一区间，再利用单调性比较即可.8.构造函数解抽象不等式解函数不等式关键是研究函数单调性，通过单调性将原问题转化为关于自变量的不等关系，要注意将常数y0写成f(x0)的形式.(1)对于不等式f′(x)>k(k≠0)，构造函数g(x)＝f(x)－kx＋b.(2)对于不等式xf′(x)＋f(x)>0，构造函数g(x)＝xf(x)；对于不等式xf′(x)－f(x)>0，构造函数g(x)＝eq\f(f（x）,x)(x≠0).(3)对于不等式xf′(x)＋nf(x)>0，构造函数g(x)＝xnf(x)；对于不等式xf′(x)－nf(x)>0，构造函数g(x)＝eq\f(f（x）,xn)(x≠0).(4)对于不等式f′(x)＋f(x)>0，构造函数g(x)＝exf(x)；对于不等式f′(x)－f(x)>0，构造函数g(x)＝eq\f(f（x）,ex).(5)对于不等式f′(x)sinx＋f(x)cosx>0(或f(x)＋f′(x)tanx>0)，构造函数g(x)＝f(x)sinx；对于不等式f′(x)cosx－f(x)sinx>0(或f′(x)－f(x)tanx>0)，构造函数g(x)＝f(x)cosx.9.可导函数f(x)在(a，b)上单调递增(减)的充要条件在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间上单调递增(减)的充分不必要条件.可导函数f(x)在(a，b)上单调递增(减)的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零.注:①使的离散点不影响函数的单调性，即当在某个区间内离散点处为零，在其余点处均为正（或负）时，在这个区间上仍旧是单调递增（或递减）的.例如，在上，，当时，；当时，，而显然在上是单调递增函数.②若函数在区间上单调递增，则（不恒为0），反之不成立.因为，即或，当时，函数在区间上单调递增.当时，在这个区间为常值函数；同理，若函数在区间上单调递减，则（不恒为0），反之不成立.这说明在一个区间上函数的导数大于零，是这个函数在该区间上单调递增的充分不必要条件.于是有如下结论：单调递增；单调递增；单调递减；单调递减.10.已知含量参函数在区间上单调或不单调或存在单调区间，求参数范围（1）已知函数在区间上单调递增或单调递减，转化为导函数恒大于等于或恒小于等于零求解，先分析导函数的形式及图像特点，如一次函数最值落在端点，开口向上的抛物线最大值落在端点，开口向下的抛物线最小值落在端点等.（2）已知区间上函数不单调，转化为导数在区间内存在变号零点，通常用分离变量法求解参变量范围.（3）已知函数在区间上存在单调递增或递减区间，转化为导函数在区间上大于零或小于零有解.11.利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路①将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意；②先令f′(x)>0(或f′(x)<0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时f(x)是否满足题意12.恒成立问题的重要思路：①m≥f(x)恒成立⇒m≥f(x)max；②m≤f(x)恒成立⇒m≤f(x)min.13.用导数证明不等式f(x)>g(x)的一般步骤(1)构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，x∈[a，b]．(2)证明F′(x)＝f′(x)－g′(x)≥0，且F(a)>0.(3)依(2)知函数F(x)＝f(x)－g(x)在[a，b]上是单调递增函数，故f(x)－g(x)>0，即f(x)>g(x)．这是因为F(x)为单调递增函数，所以F(x)≥F(a)>0，即f(x)－g(x)≥f(a)－g(a)>0.考点一利用导数求函数的单调区间（不含参）1．（2023·云南·校联考二模）函数的单调递增区间为____________．2．【多选】（2023·广东·高三专题练习）已知，则下列说法正确的是（

）A．是周期函数 B．有对称轴C．有对称中心 D．在上单调递增3．（2023·上海·高三专题练习）函数（）A．严格增函数B．在上是严格增函数，在上是严格减函数C．严格减函数D．在上是严格减函数，在上是严格增函数4．（2023·全国·高三专题练习）若函数为增函数，则的单调递增区间为______考点二含参数的函数的单调性（一）导主一次型5．（2023春·河南郑州·高三郑州市第二高级中学校考阶段练习）已知函数．(1)讨论函数的单调性；(2)若对任意的，恒成立，求实数的取值范围；6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，.(1)讨论的单调性；(2)对任意的，恒成立，求的取值范围.（二）导主二次型（1）可因式分解型7．（2023春·山东菏泽·高三统考期中）已知函数.(1)讨论的单调性；(2)是否存在正实数，使得函数在区间上的最小值为?若存在，求出的值；若不存在，说明理由.8．（2023·广西·统考模拟预测）已知函数，.(1)讨论的单调区间；(2)若有3个零点，求的取值范围.9．（2023春·广东佛山·高三华南师大附中南海实验高中校考阶段练习）已知函数，（其中）．(1)讨论的单调性；(2)对于任意，都有成立，求a的取值范围．（2）不可因式分解型10．（2023春·江西·高三校联考期中）已知函数.(1)讨论的单调性；(2)若过点可作曲线的两条切线，求实数的取值范围.11．（2023春·福建福州·高三福建省福州第一中学校考期中）已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)若，求a的取值范围.12．（2023·湖南长沙·长郡中学校考一模）已知函数.(1)讨论函数的单调性;(2)记的零点为，的极小值点为，当时，判断与的大小关系，并说明理由.（三）导主指数型13．（2023·江苏·高三专题练习）已知函数．(1)判断在区间上的单调性；(2)若恰有两个不同的零点，，且，证明：．14．（2023春·天津南开·高三南开中学校考期中）已知函数，讨论其单调区间与极值.15．（2023春·甘肃金昌·高三永昌县第一高级中学校考期中）已知函数，，讨论函数的极值.（四）导主对数型16．（2023秋·河南·高三洛阳市第一高级中学校联考阶段练习）已知函数，其中且．(1)讨论函数的单调性；(2)若在上恒成立，求实数a的取值范围．17．（2023·全国·模拟预测）已知函数.(1)当时，讨论的单调性；(2)当时，证明：存在唯一的极小值点，且.考点三比较大小18．（2023·河南·校联考三模）现有下列四个不等式：①；②；③；④．其中所有正确结论的编号是（

）A．①④ B．②③ C．①②④ D．②③④19．（2023·浙江·高三专题练习）设，则（

）A． B．C． D．20．（2023·全国·高三专题练习）已知，，且，则下列关系式恒成立的为（

）A． B． C． D．21．（2023·全国·高三专题练习）若，，，则（

）A． B． C． D．22．（2023·福建·统考模拟预测）已知，，，则（

）A． B． C． D．23．（2023·河南洛阳·统考模拟预测）已知函数，若，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．24．（2023·浙江·统考二模）已知函数，，，，若，，则（

）．A． B．C． D．考点四解抽象不等式25．（2023·河南·校联考三模）已知函数.若.则的取值范围是__________.26．（2023·全国·高三专题练习）已知偶函数与其导函数的定义域均为，且也是偶函数，若，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．27．【多选】（2023·辽宁锦州·统考二模）已知函数是定义在上的可导函数，当时，，若且对任意，不等式成立，则实数的取值可以是（

）A．-1 B．0 C．1 D．228．（2023·全国·高三专题练习）已知函数及其导函数的定义域均为，满足，，，当时，，则不等式的解集为______．29．（2023·湖北·模拟预测）已知函数及其导函数的定义域均为R，且满足时，．若不等式在上恒成立，则a的取值范围是__________,30．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的单调递减区间是，则关于的不等式的解集是__________.考点五已知函数的单调性求参数的取值范围（一）在区间上单调递增（减）31．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则“”是“在上单调递增”的（

）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件32．（2023·广西玉林·统考二模）若函数在上为增函数，则a的取值范围是（

）A． B．C． D．33．（2023·河南·校联考模拟预测）若函数在上单调递增，则实数m的取值范围为（

）A． B． C． D．34．（2023·全国·高三专题练习）若函数且在区间内单调递增，则的取值范围是（

）A． B． C． D．35．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．36．（2023秋·河南郑州·高三校联考期末）已知，函数在其定义域上单调递减，则实数__________.37．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在单调递增，在单调递减，则函数在的值域是（

）A． B． C． D．38．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．39．（2023·全国·高三专题练习）若对任意的，，且，都有，则m的最小值是（

）A． B． C．1 D．（二）在区间上单调40．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若f(x)在R上单调，则a的取值范围是（

）A． B．C． D．41．（2023·全国·高三专题练习）若函数是上的单调函数，则实数的取值范围是（

）．A． B． C． D．42．（2023·全国·高三专题练习）若函数在上是单调函数，则的最大值是______.43．（2023·全国·高三专题练习）已知三次函数在上单调递增，则最小值为（

）A． B． C． D．（三）单调区间是44．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若的单调递减区间为，求实数的值．45．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的单调递减区间是，则（

）A．3 B． C．2 D．46．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的单调递减区间为，则（

）.A． B．C． D．（四）存在单调区间47．（2023·全国·高三专题练习）若函数在区间内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是_________．48．（2023·全国·高三专题练习）若函数存在单调递减区间，则实数b的取值范围是（

）A． B．C． D．49．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．(1)求证：函数存在单调递减区间，并求出单调递减区间的长度的取值范围；(2)当时，恒成立，求实数的取值范围．（五）在区间上不单调50．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．若在内不单调，则实数a的取值范围是______．51．（2023·全国·高三专题练习）若对于任意，函数在区间(t,3)上总不为单调函数，则实数m的取值范围是________．52．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在上不单调，则的取值范围是（

）A． B． C． D．53．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．54．（2023·全国·高三专题练习）若函数在定义域内的一个子区间上不是单调函数，则实数k的取值范围是（

）A． B． C．(1，2] D．[1，2)（六）由单调区间的个数求参数55．（2023·全国·高三专题练习）已知函数恰有三个单调区间，则实数a的取值范围为A． B．C． D．56．（2023·全国·高三专题练习）已知函数存在三个单调区间，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．57．（2023·全国·高三对口高考）设函数恰有三个单调区间，试确定a的取值范围．（七）综合应用58．（2023·甘肃兰州·校考一模）已知函数(1)若函数存在单调递减区间，求a的取值范围；(2)若函数在[1,4]上单调递减，求a的取值范围.59．【多选】（2023·广东深圳·统考一模）已知函数，若，其中，则（

）A． B．C． D．的取值范围为60．（2023·全国·高三专题练习）设向量，满足，，若函数单调递增，则的取值范围为_____________．考点六函数图象与导数图象的应用由导函数图象确定原函数单调性61．（2023·江西·统考模拟预测）已知函数的大致图象如图所示，则（

）A． B．C． D．62．（2023·全国·高三专题练习）如图是函数的导函数的图象，则下列判断正确的是（

）A．在区间上，是增函数B．当时，取到极小值C．在区间上，是减函数D．在区间上，是增函数63．【多选】（2023春·河南洛阳·