浙教版九年级上册《圆的基本性质圆、图形旋转、垂径定理》知识点总结

《圆的基本性质：圆、图形旋转、垂径定理》知识点总结1.圆的定义；在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点。旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的封闭曲线叫做叱固定的端点O叫做圆心,线段OA叫做半径,以点。为圆心的圆，记作。O,读作圆O'2、与圆有关的概念(1)弦和直径(连结圆上任意两点的线段BC叫做瓦经过圆心的弦AB叫做直径)(2)弧和半圆(圆上任意两点间的部分叫做弧，凰也任意一条直径的两个端点分圆成两条 弧，每一条弧都叫做半圆)，大于半圆的弧叫优弧(优弧用 小和三个字母表示)、小于半圆的弧叫劣弧(用小和两个字母(3)等弧：能够互相重合的两段弧(4)等圆(半径相等的两个圆叫做等圆)(5)点和圆的位置关系：如果P是圆所在平面内的一点， d表示P到圆心的距离，r表示圆的半径，则：(1)d<r一圆内 ⑵d=r一圆上 (3)d>r一圆外(6)不在同一条直线上的三个点确定一个圆。过不在同一条直线上的三点做圆，能找出圆的圆心(7)三角形的外接圆经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形叫做圆的内接三角形。三角形的外心到各顶点距离相等。一个三角形有且仅有一个外接圆，但一个圆有无数内接三角形。3、图形的旋转：原图形上的所有点都绕着一个固定的点，按同一个方向，转动同一个角度，这样的图形运动叫做图形的旋转:这个固定的点叫做旋转中心。图形经过旋转所得到的图形和原图形全等。对应点到旋转中心的距离相等，任何一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度。旋转作图基本步骤:1、明确旋转三要素（旋转中心、旋转方向、旋转角度）1、明确旋转三要素（旋转中心、旋转方向、旋转角度）2、找出关键点； 3、找出关键点的对应点;4、作出新图形；5、写出结论。4、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。推论：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。注：用于计算时，一般先连结过弦的一个端点的半径或者作弦心距，构造RtA,再结合勾股定理求解推论：圆中两平行弦所夹的弧相等选择题1.如图，已知。O的直径AE=10cm,/B=/EAC,则的长为（ ）【A】5cm【B】5cm[C]5cm[D]6cm【答案】B.【解答】连接EC,由圆周角定理得，/E=/B,/ACE=90o,・./B=ZEAC,・./E=ZEAC,.•.CE=CA,AC=-AE=5 cm,故选BE故选BE2.如图，BC是。。的弦，OALBC,/AOB=70o,则/ADC的度数是（[A]700[B]35o[Cl45o[D]60o【答案】B【解答】•「A、B.C.D是。。上的四点，OA^BC,:弧AC=MAB（垂径定理）,TOC\o"1-5"\h\z・•./ADC=・/AOB（等弧所对的圆周角是圆心角的一半 ）;又/AOB=70o,・./ADC=35o.故选B.3.在。O中，弦AB的长为2丫3匕比，圆心。到ab的距离为1cm,则。O的半径是（ ）[A]2cm[B]3cm[C]-cm[D] cm【答案】A【解答】解：过点O作OD^AB于思安D,连接OA,•.AB="cm,ODXAB,AD=-AB=-X cm,在直角^AOD中，OA= =2cm,故选Ao填空题的位置，则.如图，点A、B、C、D都在方格纸的格点上，若^AOB绕点。按逆时针方向旋转到^COD旋转角为.的位置，则【答案】90o【解答】,「△AOB绕点O按逆时针方向旋转到ACOD的位置,，对应边OB、OD的夹角/BOD即为旋转角，，旋转的角度为90o故答案为：90o.BC的长等.如图，点A、B、C、D都在。。上，AB是直径，弦AC=6,CD平分/ACB,BD=BC的长等【答案】8【解答】连接AD,•AB是直径，/ACB=/ADB=90o,.CD平分/ACB,ACD=/BCD=45o,・./BAD=/ABD=45,

.•.AD=BD,•.BD=.•.AB==10=8 cm.3BC=3.如图，在。O中，直径AB,弦CD于E,若EB=1cm,CD=4cm,则弦心距OE的长是=10=8 cm.3【答案】1.5cm【解答】连结OC,如图设。O的半径为R,•.AB，弦CD,••CE=DE=CD=-X4=2,在Rt^OCE中，OC=R,OE=R-1,+，解得R=2.5,.•.OE=2.5-1=1.5(cm).故答案为1.5.

解答题.如图，AB是。。的直径，点C是。。上一点，连接BC,AC,OD^BC于E(1)求证：OD//AC(2)若BC=8,DE=3,求。O的直径.【答案】详见解答【解答】(1)证明：.「AB是。。的直径，C=90o,•.ODXBC,•./OEB=/C=90o,OD//AC;(2)解：令。。的半径为r,根据垂径定理可得： BE=CE=- ,由勾股定理得：= +解得:所以。O的直径为3.2.如图，AC为。。的直径，AC=4,B、D分别在AC两侧的圆上，/BAD=90o,BD与AC的交点为E.(1)求点。到BD的距离及/OBD的度数；⑵若DE=2BE,求COS/OED的值和CD的长.

【答案】详见解答【解答】（1）解：作OFLBD于点F,连接OD,D■.■\^BAD=6。1120,,•?又.OR=OD,•?・•・4C为的直径，AC=4OB=OD=2,•.在也AE8中，」OFB=90、08=2,£OEF=30口QF=f 2直汨0"=1即点。到8。的距离等于1;(2)解：.•.OB=OD,0F1BD于点F,..RF=df由万三2EE设BE=2工则DE三4工初二6乂EF=xBF