2023东城区高三一模数学试卷及答案理科

2024东城区高三一模数学试卷及答案理科东城区2024年综合练习（一）

高三数学（理科）

学校_____________班级_______________姓名______________考号___________本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题共40分）

一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目

要求的一项。

（1）“2x>”是“2

4x>”的

（A）充分非必要条件（B）必要非充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件

（2）已知数列{}na为等差数列，且12a=，2313aa+=，那么则456aaa++等于

（A）40（B）42（C）43（D）45

（3）已知函数()fx对任意的x∈R有()()0fxfx+-=，且当0x>时，()ln(1)fxx=+，

则函数()fx的大致图像为

（A）

（B）

（C）（D）（4）已知平面上不重合的四点P，A，B，C满意0PAPB

PC++=，且

ABACmAP+=，那么实数m的值为

（A）2（B）3（C）4（D）5

（5）若右边的程序框图输出的S是126，则条件①可为A．5n≤B．6n≤C．7n≤D．8n≤

（6）已知(,)2απ∈π,1

tan()47

απ+=

,那么ααcossin+的值为（A）51-（B）57

（C）57

-

（D）4

3（7）已知函数31

)2

1()(xxfx

-=，那么在下列区间中含有函数)(xf零点的是

（A）)31

,0(（B）)21,31(（C）)3

2,21(（D）)1,3

2(

（8）空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面的垂线，这个点和垂足之间的距离

叫做这个点到这个平面的距离．已知平面α，β，γ两两相互垂直，点A∈α，点A到

β，γ的距离都是3，

点P是α上的动点，满意P到β的距离是到P到点A距离的2倍，则点P的轨迹上的点到γ的距离的最小值是

（A）33-（B）323-（C）36-（D）3

405060708090体重(kg)频率

A

第Ⅱ卷（共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。（9）假如2(i)(1i)mm++是实数,那么实数m=．（10）已知曲线C的参数方程为2cos,

sinxyθθ

=+??

=?（θ为参数），则曲线上C的点到直线

3440xy-+=的距离的最大值为．

（11）从某地高中男生中随机抽取100名同学，

将他们的体重（单位：kg）数据绘制成频率分布直方图（如图）．由图中数据可知体重的平均值为kg；若要从体重在三组内的男生中，用分层抽样的方法选取12人参与一项活动，再从这12人选两人当正负队长，则这两人身高不在同一组内的概率为．

（12）如图，已知圆O的半径为3，从圆O外一点A引切线线ABC，圆心O到AC的距离为22，3AB=AD的长为．

（13）过抛物线22(0)ypxp=>的焦点作倾斜角为60的直线，与抛物线分别交于A，B两

点（点A在x轴上方），

AFBF

=．

（14）已知数列{}na满意：11a=，22a=，33a=，44a=，55a=，且当n≥5时，

1121nnaaaa+=-，若数列{}nb满意对任意*

Nn∈，有

221

2

1

2

nn

nba

a

a

a

aa=

----，则

b5=；当n≥5时，=nb．

三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（15）（本小题共13分）

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c分，且满意2coscoscbB

aA

-=

．（Ⅰ）求角A的大小；

（Ⅱ）若a=ABC面积的最大值．

（16）（本小题共14分）

已知四棱锥PABCD-的底面是菱形．60BCD∠=，2ABPBPD===

，

PC=，AC与BD交于O点，E，H分别为PA，OC的中点．

（Ⅰ）求证：EC∥平面BDE；（Ⅱ）求证：PH⊥平面ABCD；

（Ⅲ）求直线CE与平面PAB所成角的正弦值．

（17）（本小题共13分）

甲、乙、丙三人参与了一家公司的聘请面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约.乙、丙则商定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约.设甲面试合格的概率为

，乙、丙面试合格的概率都是

，且面试是否合格互不影响．

（Ⅰ）求至少有1人面试合格的概率；（Ⅱ）求签约人数的分布列和数学期望．

C

A

B

（18）（本小题共13分）

已知函数2

()ln,()x

xfxxxgxee

==

-．（Ⅰ）求函数()fx在区间上的最小值；

（Ⅱ）证明：对任意,(0,)mn∈+∞，都有()()fmgn≥成立．

(19)（本小题共13分）

已知椭圆22221(0)yxabab

+=>>

的离心率为2，且两个焦点和短轴的一个端点是

一个等腰三角形的顶点．斜率为(0)kk≠的直线l过椭圆的上焦点且与椭圆相交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与y轴相交于点(0,)Mm．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求的取值范围；

（Ⅲ）试用

表示△MPQ的面积，并求面积的最大值．

(20)（本小题共14分）

对于)2(≥∈nn*

N，定义一个如下数阵：

??

?

?

?

?

?

??=nnnnnnnnaaaaaaaaaA2122221

112

11

其中对任意的ni≤≤1，nj≤≤1，当i能整除j时，1=ija；当i不能整除j时，

0=ija．设njjjn

iijaaaajt+++==∑=211

)(．

（Ⅰ）当6=n时，试写出数阵66A并计算

∑=6

1

)(jjt；

（Ⅱ）若][

；（Ⅲ）若∑==n

jjtnnf1

)(1)(，dxxngn?=11)(，求证：()1()()1gnfngn-单调递增，当(1,),'()0,()xgxgx∈+∞在1x=时取得最大值，

又1(1)ge

=-

，可知1()gne

≤-，

所以对任意,(0,)mn∈+∞，都有()()fmgn≥成立．

（19）（共13分）

解：（Ⅰ）依题意可得，

2

2

=ac，cb=，又2

2

2

cba+=，

可得1,ba==

所以椭圆方程为2

212

yx+=．（Ⅱ）设直线l的方程为1ykx=+，

由221,1,2

ykxyx=+???+=??可得22(2)210kxkx++-=．

设1122(,),(,)PxyQxy，则12222kxxk-+=

+，122

1

2

xxk=-+．可得12122

4

()22

yykxxk+=++=

+．设线段PQ中点为N，则点N的坐标为22

2

(,)22

kkk-++，由题意有1-=?kkMN，

可得

222

212mkkkk-

+?=-+．可得21

2

mk=

+，又0k≠，所以102

m<<

．（Ⅲ）设椭圆上焦点为F，

则121

2

MPQSFMxx?=

??-

.12xx-==

由212mk=

+，可得2

12km

+=．

所以12xx-=

=又1FMm=-，

所以MPQS?=

所以△MPQ的面积为3)1(2mm-（2

10<<m）．设3

)1()(mmmf-=，则)41()1()('2mmmf--=．

可知)(mf在区间)41,0(单调递增，在区间)2

1,41(单调递减．所以，当41=

m时，)(mf有最大值64

27)41(=f．所以，当4

1

=

m时，△MPQ的面积有最大值863．

（20）（共1４分）

（Ⅰ）解：依题意可得，

??????

??

?

?

?

?=100000010000001000100100

101010111111

66A．

14423221)(6

1

=+++++=∑=jjt．

（Ⅱ）解：由题意可知，)(jt是数阵nnA的第j列的和，因此

∑=n

jjt1

)(是数阵nn

A

全部数的和．

而数阵nnA全部数的和也可以考虑按行相加．

对任意的ni≤≤1，不超过n的倍数有i1，i2，…，ii

n],1[n分成1-n等分，则

dxxn

?

1

1

的不足近似值为∑=n

ii

21，

dxxn