2022-2023学年广东省广州大学附中八年级（下）月考数学试卷（含解析）

2022-2023学年广东省广州大学附中八年级（下）月考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.若二次根式x−5有意义，则x的取值范围是(

)A.x>5 B.x≥−5 C.x<5 D.x≥52.下列计算正确的是(

)A.(−3)2=−3 B.233.一个三角形的三边长分别是3、4、5，则它的面积等于(

)A.6 B.12 C.15 D.204.下列命题中错误的是(

)A.既是矩形又是菱形的四边形是正方形 B.有一个角是直角的菱形是正方形

C.有一组邻边相等的矩形是正方形 D.对角线互相垂直平分的四边形是正方形5.长方形的周长为30cm，其中一边长为x cm(其中0<x<15)，面积为ycm2，则这样的长方形中y与x的关系可以写成(

)A.y=x2 B.y=(15−x)2 C.6.如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，CE平分∠BCD交AD边于点E，且AE=3，则BC的长为(

)

A.4 B.6 C.7 D.87.如图，△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，连接BD，则BD的长为(

)

A.3 B.23 C.38.如图，在▱ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD交AD于点E，AB=6，BC=10，则EF长为(

)

A.1 B.2 C.3 D.49.如图，正方形ABCD中，∠DAF=25°，AF交对角线BD于点E，那么∠BEC等于(

)

A.45° B.60° C.70° D.75°10.如图，在▱ABCD中，∠ABC=45°，BC=4，点F是CD上一个动点，以FA、FB为邻边作另一个▱AEBF，当F点由D点向C点运动时，下列说法正确的选项是(

)

①▱AEBF的面积先由小变大，再由大变小

②▱AEBF的面积始终不变

③线段EF最小值为4A.① B.② C.①③ D.②③二、填空题（本大题共6小题，共18分）11.81的算术平方根是______12.原命题“等边三角形是锐角三角形”的逆命题是______，逆命题是______命题(填“真”、“假”)13.7的小数部分为a，则a(a+4)=______14.如图，将矩形ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，EH=12厘米，EF=16厘米，则边AD的长是______．

15.在▱ABCD中，已知AB=6，BE平分∠ABC交AD边于点E，点E将AD分为1：3两部分，则AD的长为______．16.如图，已知AB=10，P是线段AB上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△ACP和△PDB，连接CD，设CD的中点为G，当点P从点A运动到点B时，则点G移动路径的长是

．

三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题8.0分)

计算：(2−3)(2+18.(本小题8.0分)

如图，在▱ABCD中，已知AB=4cm，BC=9cm，∠B=30°，求▱ABCD的面积．19.(本小题8.0分)

如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地，已知AD=4m，CD=3m，∠ADC=90°，AB=13m，BC=12m，小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，求这块空地铺满草坪的面积．20.(本小题8.0分)

如图，在△ABC中，AB=AC，∠DAC是△ABC的一个外角．

实验与操作：

根据要求进行尺规作图，并在图中标明相应字母(保留作图痕迹，不写作法)

(1)作∠DAC的平分线AM；

(2)作线段AC的垂直平分线，与AM交于点F，与BC边交于点E，连接AE，CF．

猜想并证明：

判断四边形AECF的形状并加以证明．21.(本小题8.0分)

先化简，再求值：(13x9x+22.(本小题8.0分)

如图，点C在线段BD上，AC⊥BD，CA=CD，点E在线段CA上，且满足DE=AB，连接DE并延长交AB于点F．

(1)求证：DE⊥AB；

(2)若已知BC=a，AC=b，AB=c，设EF=x，则△ABD的面积用代数式可表示为；S△ABD=12c(c+x)23.(本小题8.0分)

如图1，已知锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M、N分别是线段BC、DE的中点．

(1)求证：MN⊥DE．

(2)连结DM，ME，猜想∠A与∠DME之间的关系，并证明猜想．

(3)当∠A变为钝角时，如图2，上述(1)(2)中的结论是否都成立，若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，说明理由．

24.(本小题8.0分)

如图，点F为正方形ABCD边上CD上一点，BG平分∠ABF交AD于点G，延长BF至点E，使FE=FD，连接DE．

(1)猜想∠ABG与∠E的数量关系，并证明；

(2)求证：BE=AD+AG；

(3)若BG=5，BE=7，求EFFC的值．25.(本小题8.0分)

如图，在平行四边形ABCD中，AB=2，AD=4，M是AD的中点，点E是线段AB上一动点(可以运动到点A和点B)，连接EM并延长交线段CD的延长线于点F．

(1)如图1，

①求证：AE=DF；

②若EM=3，∠FEA=45°，过点M作MG⊥EF交线段BC于点G，请直接写出△GEF的形状，并求点F到AB的距离；

(2)改变平行四边形ABCD中∠B的度数，当∠B=90°时可得到如图2所示的矩形ABCD，请判断△GEF的形状，并说明理由；

(3)在(2)的条件下，取MG中点P，连接EP，点P随着点E的运动而运动，当点E在线段AB上运动的过程中，请直接写出△EPG的面积S的范围．

答案和解析1.【答案】D

解：由题意x−5≥0，

解得x≥5，

故选：D．

根据二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数进行求解即可得．

本题考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式的被开方数为非负数是解题的关键．

2.【答案】C

解：A、(−3)2=|−3|=3，故选项错误；

B、23+42不能合并，故选项错误；

C、27÷3=27÷3=3，故选项正确；

D、8=23.【答案】A

解：∵32+42=52，

∴此三角形是直角三角形，

∴S△=14.【答案】D

【解析】【分析】

正方形的判定方法：

①有一个角是直角，有一组邻边相等的平行四边形是正方形；

②有一个角是直角的菱形是正方形；

③有一组邻边相等的矩形是正方形．

本题考查了正方形的判定方法：既是矩形又是菱形的四边形是正方形．

要说明命题不是真命题，主要能举出一个反例即可．

【解答】

解：A、根据正方形的判定，故正确；

B、根据正方形的判定，故正确；

C、根据正方形的判定，故正确；

D、可以是内角不是直角的菱形，故错误．

故选：D．

5.【答案】D

解：∵长方形的周长为30cm，其中一边长为x cm(其中0<x<15)，

∴另一边长为：(15−x)cm，

则y=x(15−x)．

故选：D．

直接表示出长方形的另一边长，进而利用长方形面积求法得出答案．

此题主要考查了函数关系式，正确表示出长方形边长是解题关键．

6.【答案】C

【解析】【分析】

本题主要考查平行四边形的性质，利用平行线的性质及角平分线的定义求得DE=DC是解题的关键．

由平行四边形的性质可得AD//BC，且AD=BC，结合角平分线的定义可求得DE=DC=AB=4，则可求得AD的长，可求得答案．

【解答】

解：∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AB=CD=4，AD//BC，AD=BC，

∴∠DEC=∠BCE，

∵CE平分∠BCD，

∴∠DCE=∠BCE，

∴∠DEC=∠DCE，

∴DE=DC=4，

∵AE=3，

∴AD=BC=3+4=7．

7.【答案】D

解：∵△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，

∴∠DCE=∠CDE=60°，BC=CD=4．

∴∠BDC=∠CBD=30°．

∴∠BDE=90°．

∴BD=BE2−DE2=43．

8.【答案】B

【解析】【分析】

本题主要考查了平行四边形的性质、角平分线的定义，解题的关键是依据数学模型“角平分线+平行线=等腰三角形”转化线段．

根据平行四边形的性质可得∠AFB=∠FBC，由角平分线可得∠ABF=∠FBC，所以∠AFB=∠ABF，所以AF=AB=6，同理可得DE=CD=6，则根据EF=AF+DE−AD即可求解．

【解答】

解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD/​/BC，AD=BC=10，DC=AB=6．

∴∠AFB=∠FBC．

∵BF平分∠ABC，

∴∠ABF=∠FBC．

∴∠AFB=∠ABF．

∴AF=AB=6．

同理可得DE=DC=6．

∴EF=AF+DE−AD=6+6−10=2．

故选：B．

9.【答案】C

【解析】【分析】

本题主要考查了正方形的性质和全等三角形的判定与性质，证明△AED≌△CED是解题的关键．首先证明△AED≌△CED，即可证明∠ECF=∠DAF=25°，再根据三角形内角和定理即可求解．

【解答】

解：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ADE=∠CDE=45°，AD=CD，

∵AD=CD，∠ADE=∠CDE，DE=DE，

∴△AED≌△CED，

∴∠ECF=∠DAF=25°，

又∵在△DEC中，∠CDE=45°，

∴∠CED=180°−25°−45°=110°，

∴∠BEC=180°−110°=70°．

10.【答案】D

解：过点C作CG⊥AB于点G，

则S△ABF=12AB⋅CG，

∵AB与CG的值始终不变化，

∴△ABF的面积始终不变化，

∵▱AEBF的面积=2×△ABF的面积，

∴▱AEBF的面积始终不变

∴①错误，②正确；

连接EF，与AB交于点H，

∵四边形AEBF是平行四边形，

∴AH=BH，EH=FH，

当FH⊥AB时，FH的值最小，EF=2FH的值也最小，

此时，FH=CG，

∵∠ABC=45°，CG⊥AB，

∴BG=CG，

∵BG2+CG2=BC2=16，

∴CG=22，

∴FH=22，

∴线段EF最小值为EF=2FH=42．

∴③正确，

故选：D．

过点C作CG⊥AB于点G，根据三角形的面积公式知△ABF的面积始终不变化，进而根据平行四边形与三角形的面积关系得出▱AEBF的面积始终不变，便可判断①、②的正误；连接EF，与AB交于点11.【答案】3

解：81=9，9=3，

∴9的算术平方根是3，

故答案为：3．

根据81=912.【答案】锐角三角形是等边三角形

假

解：“等边三角形是锐角三角形”的逆命题是“锐角三角形是等边三角形”，此逆命题为假命题．

故答案为锐角三角形是等边三角形，假．

把原命题的题设和结论部分交换即可得到逆命题，然后根据等边三角形的判定方法判断逆命题的真假．

本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．也考查了逆命题．

13.【答案】3

【解析】解；∵2<7<3，

∴a=7−2，

∴a(a+4)

=(7−2)(7−2+2)

=(7−2)(7+2)

=7−414.【答案】20厘米

解：∵∠HEM=∠AEH，∠BEF=∠FEM，

∴∠HEF=∠HEM+∠FEM=12×180°=90°，

同理可得：∠EHG=∠HGF=∠EFG=90°，

∴四边形EFGH为矩形，

AD=AH+HD=HM+MF=HF，HF=EH2+EF2=122+162=20，

∴AD=2015.【答案】8或24

解：∵BE平分∠ABC，

∴∠ABE=∠CBE，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD/​/BC，

∴∠BEA=∠CBE，

∴∠ABE=∠BEA，

∴AB=AE=6．

∵点E将AD分为1：3两部分，

∴DE=18或DE=2，

∴当DE=18时，AD=24；

当DE=2时，AD=8；

故答案为：8或24．

由角平分线的定义以及平行四边形的性质，求得AB=AE=6，点E将AD分为1：3两部分，可得DE=18或DE=2两种情况，分别讨论即可求解．

本题主要考查了平行四边形的性质，以及等角对等边，分类讨论是解题的关键．

16.【答案】5

【解析】【分析】

本题考查了三角形中位线定理及等边三角形的性质，解答本题的关键是作出辅助线，找到点G移动的规律，判断出其运动路径，综合性较强．

分别延长AC、BD交于点H，过G作MN//AB，分别交AH于M，BH于N，易证四边形CPDH为平行四边形，得出G为PH中点，则G的运行轨迹△HAB的中位线MN，运用中位线的性质求出MN的长度即可．

【解答】

解：如图，分别延长AC、BD交于点H，过G作MN//AB，分别交AH于M，BH于N，

∵△APC和△BPD是等边三角形，

∴∠A=∠B=60°，

∴△AHB是等边三角形，

∵∠A=∠DPB=60°，

∴AH//PD，

∵∠B=∠CPA=60°，

∴BH//PC，

∴四边形CPDH为平行四边形，

∴CD与HP互相平分．

∵G为CD的中点，

∴G正好为PH中点，

∵△ABH是等边三角形，

∴在P的运动过程中，G始终为PH的中点，所以G的运行轨迹为△HAB的中位线MN．

∴MN=12AB=5，即G的移动路径长为5．

故答案为：517.【答案】解：(2−3)(2+3)+(−1)2010(2【解析】先计算二次根式的乘法，同时运算(−1)2020，零次幂与负整数指数幂，再合并即可得到答案．

18.【答案】解：过点A作AE⊥BC于点E，

∵∠B=30°，AB=4cm，

∴AE=12AB=2cm，

∴▱ABCD的面积为：【解析】过点A作AE⊥BC于点E，直接利用直角三角形中30°所对的边等于斜边的一半，可求AE的长，再利用平行四边形的面积求法得出即可．

此题主要考查了平行四边的性质以及直角三角形中30°所对的边性质，正确得出AE的长是解题关键．

19.【答案】解：连接AC，如图所示：

在Rt△ACD中，∠ADC=90°，AD=4m，CD=3m，

由勾股定理得：AC=42+32=5(m)，

∵AC2+BC2=52+122=169，【解析】连接AC，根据勾股定理求出AC，根据勾股定理的逆定理求出∠ACB=90°，求出区域的面积，即可求出答案．

本题考查了勾股定理的应用，三角形面积，勾股定理的逆定理等知识，解此题的关键是求出铺满草坪的面积．

20.【答案】解：如图所示，

四边形AECF的形状为菱形．理由如下：

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB，

∵AM平分∠DAC，

∴∠DAM=∠CAM，

而∠DAC=∠ABC+∠ACB，

∴∠CAM=∠ACB，

∴EF垂直平分AC，

∴OA=OC，∠AOF=∠COE，

在△AOF和△COE中

∠FAO=∠ECOOA=OC∠AOF=∠COE，

∴△AOF≌△COE(ASA)，

∴OF=OE，

即AC和EF互相垂直平分，

∴四边形AECF的形状为菱形．【解析】本题考查了复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了垂直平分线的性质和菱形的判定方法．

先作角的平分线，再作线段的垂直平分线得到几何图形，由AB=AC得∠ABC=∠ACB，由AM平分∠DAC得∠DAM=∠CAM，则利用三角形外角性质可得∠CAM=∠ACB，再根据线段垂直平分线的性质得OA=OC，∠AOF=∠COE，于是可证明△AOF≌△COE，所以OF=OE，然后根据菱形的判定方法易得四边形AECF的形状为菱形．

21.【答案】解：由题意得：1x>0,yx>0，

∴x>0，y>0，

则(13x9x+y2xy3)−(x【解析】先确定x>0，y>0，再利用二次根式的性质化简，然后计算二次根式的加减法，最后将x，y的值代入计算即可得．

本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题关键．

22.【答案】(1)证明：在Rt△ABC和Rt△DCE中，

CA=CDDE=AB

∴Rt△ABC≌Rt△DCE(HL)

∴∠BAC=∠EDC(全等三角形的对应角相等)，

∵∠AEF=∠DEC(对顶角相等)，∠EDC+∠DEC=90°(直角三角形两锐角互余)，

∴∠BAC+∠AEF=∠EDC+∠DEC=90°．

∴∠AFE=180°−(∠BAC+∠AEF)=90°．

∴DE⊥AB；

(2)解：由题意知：

S△ABD=S△BCE+S△ACD+S△ABE【解析】(1)首先证明Rt△ABC≌Rt△DCE，得出∠BAC=∠EDC，进而求出∠AFE=180°−(∠BAC+∠AEF)=90°，即可得出答案；

(2)根据S△ABD=S△BCE+S△ACD+S△ABE23.【答案】解：(1)证明：如图，连接DM，ME，

∵CD、BE分别是AB、AC边上的高，M是BC的中点，

∴DM=12BC，ME=12BC，

∴DM=ME，

又∵N为DE中点，

∴MN⊥DE；

(2)在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°−∠A，

∵DM=ME=BM=MC，

∴∠BMD+∠CME=(180°−2∠ABC)+(180°−2∠ACB)，

=360°−2(∠ABC+∠ACB)，

=360°−2(180°−∠A)，

=2∠A，

∴∠DME=180°−2∠A；

(3)结论(1)成立，结论(2)不成立，

理由如下：在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°−∠A，

∵DM=ME=BM=MC，

∴∠BME+∠CMD=2∠ACB+2∠ABC，

=2(180°−∠A)，

=360°−2∠A，

∴∠DME=180°−(360°−2∠A)【解析】本题考查的是直角三角形的性质、三角形内角和定理，掌握直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．

(1)连接DM，ME，根据直角三角形的性质得到DM=12BC，ME=12BC，得到DM=ME，根据等腰三角形的性质证明；

(2)根据三角形内角和定理、等腰三角形的性质计算；24.【答案】(1)猜想：∠ABG+∠E=90°．

证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB/​/CD，

∴∠ABF=∠DFE，

∵BG平分∠ABF，

∴∠ABG=∠GBF=12∠ABF=12∠DFE，

∵FE=FD，

∴∠E=∠EDF=180°−∠DFE2=90°−12∠DFE，

∴∠ABG+∠E=12∠DFE+90°−12∠DFE=90°；

(2)证明：过点G作GH⊥BE于点H，延长HG、ED交于点M，延长BG交EM于点N，如图，

则∠BHG=∠MHE=90°，

由(1)知：∠ABG=∠GBF，∠ABG+∠E=90°，

∴∠GBF+∠E=90°，

∴∠BNE=90°，

∵正方形ABCD中，AB=AD，∠A=90°，

∴GA⊥AB，∠MHE=∠A，

∵BG平分∠ABF，

∴GH=GA，

在Rt△BGH和Rt△BGA中，

GH=GABG=BG，

∴Rt△BGH≌Rt△BGA(HL)，

∴BH=BA=AD，

∵∠M+∠E=∠ABG+∠E=∠ABG+∠AGB=∠DGN+∠GDN=90°，∠AGB=∠DGN，

∴∠M=∠ABG=∠GDN，

∴MG=DG，

∴GH+GM=GA+GD，

即MH=AD，

∴MH=AB，

在△MHE和△BAG中，

∠M=∠ABGMH=AB∠MHE=∠BAG，

∴△MHE≌△BAG(ASA)，

∴HE=AG，

∴BE=BH+EH=AD+AG；

(3)若BG=5，BE=7，

则AB+AG=BE=7，

设AB=AD=CD=BH=x，则AG=7−x，

在Rt△ABG中，AB2+AG2=BG2，

∴x2+(7−x)2=52，

解得：x1=3，x2=4，

∵AB=AD>AG，即x>7−x，

∴x>72，

∴x=4，

即AB=4，AG=3，

∴AD=CD=AB=BH=4，

∴DG=AD−AG=1，

∵△MHE≌△BAG【解析】(1)猜想：∠ABG+∠E=90°.根据正方形性质可得AB/​/CD，由平行线性质可得∠ABF=∠DFE，再结合角平分线性质即可证得结论；

(2)过点G作GH⊥BE于点H，延长HG、ED交于点M，延长BG交EM于点N，可证得Rt△BGH≌Rt△BGA(HL)，得出：∠M=∠ABG，MH=AB，再证明△MHE≌△BAG(