2022-2023学年广东省高三上学期12月数学素质评价卷一2

广东省2022-2023学年高三上学期12月素质评价数学卷一班别：＿＿＿＿＿姓名：＿＿＿＿＿学号：＿＿＿＿＿一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则(

)A． B．C． D．2．已知复数z满足，则z的虚部是(

)A． B． C． D．3．我国古代建筑的屋顶对建筑立面起着特别重要的作用，古代建筑屋顶主要有庑殿式、硬山顶、歇山顶、悬山顶、攒尖顶、盝顶、卷棚顶等类型，其中硬山式屋顶造型的最大特点是比较简单、朴素，只有前后两面坡，而且屋顶在山墙墙头处与山墙齐平，没有伸出部分，山面裸露没有变化．硬山式屋顶(如图1)可近似地看作直三棱柱(如图2)，其高为10m，到平面的距离为，AB为4m，则可估算硬山式屋顶的体积约为(

)A． B． C． D．4．已知函数，，若函数在上的大致图象如图所示，则的解析式可能是(

)A． B．C． D．5．已知，，则在方向上的投影向量的坐标为(

)A． B． C． D．6．已知P为椭圆上一动点，，分别为该椭圆的左、右焦点，B为短轴一端点，如果长度的最大值为2b，则使为直角三角形的点P共有(

)个A．8个 B．4个或6个 C．6个或8个 D．4个或8个7．质数也叫素数，17世纪法国数学家马林-梅森曾对“”(p是素数)型素数进行过较系统而深入的研究，因此数学界将“”(p是素数)形式的素数称为梅森素数．已知第12个梅森素数为，第14个梅森素数为，则下列各数中与最接近的数为(

)(参考数据：)A． B． C． D．8．已知，，，下列说法正确的是(

)A． B． C． D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．一组数据，，…，是公差为-1的等差数列，若去掉首末两项，后，则(

)A．平均数变大 B．中位数没变C．方差变小 D．极差没变A． B．C． D．数列的前项和为11．如图，棱长为2的正方体中，P为线段上动点(包括端点)．则下列结论正确的是(

)A．当点P在线段上运动时，三棱锥的体积为定值B．记过点P平行于平面的平面为，截正方体截得多边形的周长为C．当点P为中点时，异面直线与所成角为D．当点P为中点时，三棱锥的外接球表面积为12．已知函数，，下列判断中，正确的有(

)A．存在，函数有4个零点B．存在常数a，使为奇函数C．若在区间上最大值为，则的取值范围为或D．存在常数a，使在上单调递减三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则所有项的系数和等于______14．已知函数，则______．15．若斜率为的直线与轴交于点，与圆相交于点A，B两点，若，则______．16．若不等式对任意恒成立，则a的取值范围是_______________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)△ABC中，，，，．(1)若，，求的长度；(2)若为角平分线，且，求△ABC的面积．18．(本小题满分12分)设等差数列的前n项和为，已知，且是与的等比中项，数列的前n项和．(1)求数列，的通项公式；(2)若，对任意总有恒成立，求实数的最小值．19．(本小题满分12分)还原糖不达标会影响糖果本身的风味，同时还原糖偏高又会使糖果吸潮，易使糖果变质，不耐贮存，影响糖果的质量．还原糖主要有葡萄糖、果糖、半乳糖、乳糖、麦芽糖等．现采用碘量法测定还原糖含量，用0.05mol/L硫代硫酸钠滴定标准葡萄糖溶液，记录耗用硫代硫酸钠的体积数(mL)，试验结果见下表．葡萄糖溶液体积24681012硫代硫酸钠体积0.902.503.504.706.007.24参考数据：217.2824.84364(1)由如图散点图可知，与有较强的线性相关性，试求关于的线性回归方程；(2)某工厂抽取产品样本进行检测，所用的硫代硫酸钠溶液大约为2.90mL，则该样本中所含的还原糖大约相当于多少体积的标准葡萄糖溶液?附：回归方程中，，．20．(本小题满分12分)某校积极开展社团活动，在一次社团活动过程中，一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍薨”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图1，E，F，G分别是边长为4的正方形的三边AB，CD，AD的中点，先沿着虚线段FG将等腰直角三角形FDG裁掉，再将剩下的五边形沿着线段EF折起，连接AB，CG就得到了一个“刍甍”(如图2)．(1)若O是四边形对角线的交点，求证：平面；(2)若二面角的大小为，求平面与平面ABE夹角的余弦值．21．(本小题满分12分)已知双曲线C：的左焦点为F，过点F作直线l交C的左支于A，B两点．(1)若，求l的方程；(2)若点，直线AP交直线于点Q．设直线QA，QB的斜率分别，，求证：为定值．22．(本小题满分12分)已知函数(，)(1)若曲线在处的切线的斜率为，求a的值；(2)若，在上存在唯一零点，求b的值．答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．12345678CBBDCBCC二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9101112BCBCDACDBC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．114．15．16．1．【答案】C【详解】由，得或，又，得，即，显然，，所以，．故选：C．2．【答案】B【详解】因为，所以，所以，所以，所以的虚部为．故选：B．3．【答案】B【详解】如图，过作于，又在直三棱柱中，到平面的距离为，即，又，，所以该柱体体积为．故选：B．4．【答案】D【详解】易知为偶函数，由，则为奇函数，由图象可知，该函数是奇函数，因为是偶函数，是奇函数，所以是非奇非偶函数，A，B不符合题意，因为当时，无意义，所以C不符合题意．故选：D．5．【答案】C【详解】依题意得，，故在方向上的投影向量的坐标为．故选：C．6．【答案】B【详解】当为直角顶点时，根据椭圆的对称性，可得满足的点P有2个；当为直角顶点时，根据椭圆的对称性，可得满足的点P有2个；因为B为短轴一端点，令，长度的最大值为2b，所以说明椭圆与圆有且仅有短轴另一端点这唯一交点，设，所以，即，所以，联立，得，又，所以，又，所以，所以，所以即，当时，P为下顶点，此时最大为直角，根据对称满足的点P有2个，当时，P为下顶点，此时为锐角，满足的点P有0个，所以使为直角三角形的点P共有4个或6个，故选：B．7．【答案】C【详解】依题意得，令，两边同时取常用对数得，所以，所以，结合选项知与最接近的数为．故选：C．8．【答案】C【详解】设，则在上恒成立，所以在单调递增，所以，即，所以，又在单调递增，所以，即，所以b>a；设，则在上恒成立，所以在单调递减，所以，即，所以，即，所以；综上所述，．故选：C．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．【答案】BC【详解】对于选项A，原数据的平均数为，对于选项B，原数据的中位数为，去掉，后的中位数仍为，即中位数没变，故选项B正确；对于选项C，设公差为d，则原数据的方差为去掉，后的方差为即方差变小，故选项C正确；对于选项D，原数据的极差为，去掉，后的极差为，即极差变小，故选项D错误．故选：BC10．【答案】BCD【详解】对于A：，，，A错误；对于B：当为奇数时，为偶数，则，，可得；当为偶数时，为奇数，则，，可得，B正确；，累加得，时也符合；累加得，时也符合，所以，C正确；对于D，设数列的前项和为，则，又，所以，D正确．故选：BCD．11．【答案】ACD【详解】对A，由于，显然平面，又，所以P在任何位置时到平面的距离相等，所以三棱锥的体积为定值，故A正确；对B，由P在上且，故截面为，所以截面周长为，故B错误；对C，当点P为中点时，由于为正方形，所以，又，所以，故C正确；对D，当点P为中点时，，所以在正方体中平面，由，，所以，，则外接圆直径，则三棱锥的外接球的直径，所以三棱锥的外接球表面积为，故D正确．故选：ACD．12．【答案】BC【详解】由，如图，所以函数的图象与直线不可能有4个交点，所以不存在使函数有4个零点，A选项错误；当或时，在区间上单调递增，最大值为；当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，若最大值为，则有，即，由，所以，解得；综上，在区间上最大值为，则a的取值范围为或，C选项正确；．故选：BC．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．【答案】【详解】由的二项式系数和为，得，所以的所有项的系数和为．故答案为：．14．【答案】【详解】由已知，，则，所以，，所以．故答案为：．15．【答案】【详解】设点，则直线的方程为，即，因为，且的半径为2，故弦的弦心距为，即圆心到直线的距离为，故，解得，即，故．故答案为：．16．【答案】【详解】由，令，，则，显然为增函数，当时，；当时，，故存在使得，即，所以当时，为减函数；当时，为增函数，所以，所以，即，所以，．故答案为：．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)解：(1)因为，，所以，…………………1分又因为在△ABC中，，，，所以，……3分所以，即；…………………4分(2)在△ABC中，，…………………5分又因为，…7分所以，所以，所以，……9分所以．…………10分18．(本小题满分12分)解：(1)设等差数列的公差为d，依题意有，即，得或，………2分故的通项公式为或(其中)，………………3分因为，所以，，…………4分所以，………………5分且，满足，所以；………………6分(2)因为，所以，所以，……………………7分所以，………9分所以……10分显然随n的增大而增大，从而恒成立，…………………11分所以，故的最小值为．…………12分19．(本小题满分12分)解：(1)由表中数据可知，，……………………2分，………………4分所以，…………6分所以，………………8分故y关于x的线性回归方程为；………9分(2)把代入中，有，解得，…………11分故该样本中所含的还原糖大约相当于5mL的标准葡萄糖溶液．…………………12分20．(本小题满分12分)解：(1)取线段CF中点H，连接OH，GH，………1分由图1可知，四边形EBCF是矩形，且，所以O是线段BF与CE的中点，所以且，…………………2分又由图1可知，且，且，所以在图2中，且，………3分所以且，所以四边形AOHG是平行四边形，则，……………4分由于平面GCF，平面GCF，所以平面GCF；……………5分(2)由图1，，，折起后在图2中仍有，，所以为二面角的平面角，即，…………………6分以E为坐标原点，，分别为x轴和y轴正向建立空间直角坐标系如图，又，则，，，………7分所以，，…………………8分设平面OAB的一个法向量，由，得，取，则，，于是平面的一个法向量，………10分易知平面ABE的一个法向量，…………11分所以，所以平面ABE与平面OAB夹角的余弦值为．………………12分21．(本小题满分12分)解：(1)双曲线C的左焦点为，当直线l的斜率为0时，此时直线为，与双曲线C的左支有且仅有一个交点，舍去；………1分当直线l的斜率不为0时，设，……………2分由于过点F作直线l交C的左支于A，B两点，而双曲线渐近线为，故直线的斜率或，解得，………3分设，，联立，消x得，……………………4分所以，，……………………5分又，则，所以，得，所以，解得，所以l的方程为；……………6分(2)由直线，得，………7分则，所以，………………9分又，，所以，…………………10分所以．……12分22．(本小题满分12分)解：(1)由，则，………