1-2 集合间的基本关系（解析版）（人教A版2019必修第一册）

1.2集合间的基本关系【知识梳理】知识点一子集、真子集、集合相等1．子集、真子集、集合相等定义符号表示图形表示子集如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A是集合B的子集A⊆B(或B⊇A)真子集如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集A⫋B(或B⫌A)集合相等如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等A＝B2.Venn图用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图．3．子集的性质(1)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A.(2)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C.知识点二空集1．定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.2．规定：空集是任何集合的子集．【基础自测】1．下列四个集合中，是空集的是()A．{0} B．{x|x>8，且x<5}C．{x∈N|x2－1＝0} D．{x|x>4}【答案】B【详解】选项A，C，D都含有元素，而选项B中无元素，故选B.2．下列各式中，正确的个数是()①{0}∈{0,1,2}；②{0,1,2}⊆{2,1,0}；③∅⊆{0,1,2}；④∅⫋{0}；⑤{0,1}＝{(0,1)}；⑥0＝{0}．A．1B．2C．3D．4【答案】C【详解】对于①，是集合与集合的关系，应为{0}{0,1,2}；对于②，实际为同一集合，任何一个集合是它本身的子集；对于③，空集是任何集合的子集；对于④，{0}是含有单元素0的集合，空集不含任何元素，并且空集是任何非空集合的真子集，所以∅⫋{0}；对于⑤，{0,1}是含有两个元素0与1的集合，而{(0,1)}是以有序实数对(0,1)为元素的单点集，所以{0,1}与{(0,1)}不相等；对于⑥，0与{0}是“属于与否”的关系，所以0∈{0}．故②③④是正确的．3．若集合A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x>a}，满足A⫋B，则实数a的取值范围是()A．{a|a≥2} B．{a|a≤1}C．{a|a≥1} D．{a|a≤2}【答案】B【详解】如图所示，A⫋B，所以a≤1.4．满足⫋{1，2，3}的所有集合A是___________．【答案】{1}或{1，2}或{1，3}【详解】因为⫋{1，2，3}，所以集合A中至少有一个元素1，且为集合{1，2，3}的真子集，所以集合A是{1}或{1，2}或{1，3}，故答案为：{1}或{1，2}或{1，3}5．已知集合A＝{x|ax2＋2x＋a＝0，a∈R}，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值构成的集合为________．【答案】{0,1，－1}【详解】因为集合A有且仅有2个子集，所以A中仅有一个元素，当a＝0时，方程化为2x＝0，方程只有一个根x＝0，符合题意．当a≠0时，方程ax2＋2x＋a＝0有两个相等的实数根，Δ＝22－4·a·a＝0，即a2＝1，∴a＝±1.此时A＝{－1}或A＝{1}，符合题意．∴a＝0或a＝±1.【例题详解】一、子集、真子集命题点1.判断集合的子集（真子集）的个数例1(1)集合的非空真子集的个数为（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】根据真子集的定义即可求解.【详解】由题意可知，集合A的非空真子集为，共6个.故选：B.(2)已知集合，则满足条件的集合的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【详解】求解一元二次方程，得，易知.因为，所以根据子集的定义，集合必须含有元素1,2，且可能含有元素3,4，原题即求集合的子集个数，即有个，故选D.【点评】本题考查子集的概念，不等式，解一元二次方程.本题在求集合个数时，也可采用列举法.列出集合的所有可能情况，再数个数即可.来年要注意集合的交集运算，考查频度极高.跟踪训练1(1)定义集合A★B=，设，则集合A★B的非空真子集的个数为（

）A．12 B．14 C．15 D．16【答案】B【分析】结合非空真子集个数()的算法即可.【详解】，所以集合的非空真子集的个数为，故选：B.(2)若，则，就称是伙伴关系集合，集合的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合个数为_________________.【答案】【分析】首先确定具有伙伴集合的元素有，，“和”，“和”四种可能，它们组成的非空子集的个数为即为所求.【详解】因为，；，；，；，；这样所求集合即由，，“和”，“和”这“四大”元素所组成的集合的非空子集．所以满足条件的集合的个数为，故答案为：.命题点2.求集合的子集（真子集）例2已知集合，试写出的所有子集.【答案】的子集有，，，，，，，【分析】由确定出，然后利用列举法写出其子集．【详解】∵，∴.∴的子集有，，，，，，，.【点睛】本题考查了子集与真子集．子集要谨防丢失空集等错误，属于基础题．跟踪训练2写出集合A＝{x|0≤x＜3，x∈N}的所有真子集．【答案】，{0}，{1}，{2}，{0，1}，{0，2}，{1，2}【分析】先求得，然后求得的所有真子集.【详解】依题意A＝{0，1，2}，其真子集为：，{0}，{1}，{2}，{0，1}，{0，2}，{1，2}．二、包含关系命题点1.判断两个集合的包含关系例3(1)给出下列关系式：①；②；③；④；⑤，其中正确的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】①空集中不含任何元素，由此可判断①；②是整数，故可判断②正确；③通过解方程，可得出，故可判断③；④根据为正整数集可判断④；⑤通过解方程，得，从而可判断⑤.【详解】①，故①错误；②是整数，所以，故②正确；③由，得或，所以，所以正确；④为正整数集，所以错误；⑤由，得，所以，所以错误.所以正确的个数有2个.故选：B.(2)已知集合，则（

）A． B． C． D．A与B关系不确定【答案】A【分析】将集合中的形式通分，再分析集合的包含情况即可.【详解】，因为表示奇数，表示整数，故按子集的定义，必有.故选：A跟踪训练3(1)已知集合是平行四边形，是矩形，是正方形，是菱形，则（）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为菱形是平行四边形的特殊情形，所以D⊂A，矩形与正方形是平行四边形的特殊情形，所以B⊂A，C⊂A，正方形是矩形，所以C⊆B．故选B．(2)已知集合则的关系为（

）A． B．N⫋M C．M⫋N D．【答案】C【详解】因为，，所以M⫋N.故选：C．命题点2.根据集合的包含关系求参数例4(1)已知集合，，若，则（

）A．或 B． C． D．或或【答案】D【分析】利用子集的定义讨论即可.【详解】因为，集合，，若，则，符合；若，则或，经检验均符合.故选：D.(2)已知集合．=1\*GB3①若，，求实数的取值范围；=2\*GB3②若，，求实数的取值范围．【答案】=1\*GB3①；；=2\*GB3②.【分析】=1\*GB3①根据题意，由，分类讨论当和两种情况，解不等式即可得出实数的取值范围；=2\*GB3②根据题意，由，得出，解不等式即可求实数的取值范围．【详解】=1\*GB3①解：由题可知，，，若，则，即；若，则，解得：；综上，得实数的取值范围是．=2\*GB3②解：已知，，，则，解得：，所以实数的取值范围是．跟踪训练4(1)已知集合，，若，则实数a＝（

）A．2 B．1 C．0 D．-1【答案】B【分析】对于集合，元素对应的是一元二次方程的解，根据判别式得出必有两个不相等的实数根，又根据韦达定理以及，可确定出其中的元素，进而求解.【详解】对于集合N，因为，所以N中有两个元素，且乘积为-2，又因为，所以，所以．即a＝1．故选：B.(2)设a，b是实数，集合，，且，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】解绝对值不等式得到集合，再利用集合的包含关系得到不等式，解不等式即可得解.【详解】集合，或又，所以或即或，即所以的取值范围为故选：D三、相等关系例5(1)设所示有理数集，集合，在下列集合中：①；②；③；④；与相同的集合有（

）A．①② B．②③ C．①②④ D．①②③【答案】D【分析】根据集合相等的含义，逐一分析①②③④，即可得答案【详解】对于①：集合，则，解得，即，是一一对于，所以与集合相同.对于②：集合，则，也是一一对应，所以与集合相同.对于③：集合，，一一对应，，所以与集合相同.对于④：，但方程无解，则，与不相同．故选：D(2)已知，，若，则（

）A．2 B．1 C． D．【答案】C【分析】由两集合相等，其元素完全一样，则可求出或或，再利用集合中元素的互异性可知，则可求出答案.【详解】若，则或，解得或或，由集合中元素的互异性，得，则，故选：C．跟踪训练5(1)已知，若集合，则的值为（

）A． B．1 C． D．2【答案】B【分析】根据两集合相等，对应元素相等，然后列出方程求出即可得到结果.【详解】因为所以有，解得或当时，不满足集合中元素的互异性，故则故选:B.(2)已知集合====，则集合的关系为__________．【答案】【详解】，为偶数，为奇数，为奇数，，故答案为.四、空集例6(1)下列四个命题：①空集没有子集；②空集是任何一个集合的真子集；③∅＝{0}；④任何一个集合必有两个或两个以上的子集．其中正确命题的个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【分析】根据空集的定义和性质判断即可.【详解】因为空集是其本身的子集，故①错误；空集只有本身一个子集，故②④错误；空集没有元素，而集合{0}含有一个元素0，故③错误．故正确命题个数为0.答案：A.(2)设集合，若A为空集，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分两种情况分类讨论，时符合题意，时只需满足即可求解.【详解】当时，原不等式为，A为空集；当时，因为A为空集所以无解，只需满足，解得，综上实数的取值范围是.故选D【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解为空集，分类讨论的思想，属于中档题.跟踪训练6(1)(多选)给出下列选项，其中正确的是（

）A． B． C． D．⫋【答案】BCD【分析】利用空集的特征，以及元素和集合，集合与集合之间的关系逐项判断【详解】对于，不是的元素，故不正确；对于，是任何集合的子集，所以是的子集，故正确；对于，是的元素，故正确；对于，是任何非空集合的真子集，有一个元素，是非空集合，故正确.故答案为：.(2)若是的真子集，则实数的取值范围是_________．【答案】【分析】根据题意以及真子集定义分析得出有实数解即可得出答案.【详解】若是的真子集，则不是空集，即有实数解，故，即实数的取值范围是.故答案为:【课堂巩固】1．集合的真子集个数是__________.【答案】【分析】先化简集合，再利用公式即可求得集合的真子集个数【详解】则集合的真子集的个数是.故答案为：2．下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥.正确的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据相等集合的概念，元素与集合、集合与集合之间的关系，空集的性质判断各项的正误.【详解】①集合之间只有包含、被包含关系，故错误；②两集合中元素完全相同，它们为同一集合，则，正确；③空集是任意集合的子集，故，正确；④空集没有任何元素，故，错误；⑤两个集合所研究的对象不同，故为不同集合，错误；⑥元素与集合之间只有属于、不属于关系，故错误；∴②③正确.故选：B.3．若集合，，则集合，之间的关系表示最准确的为（

）A． B． C． D．与互不包含【答案】C【分析】对分奇偶进行讨论，即可判断集合，之间的关系.【详解】对于集合，当时，，当时，，所以.故选：C.4．下列各组集合中，表示同一个集合的是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据集合相等的概念，判断选项即可求出答案.【详解】对于A,两个集合中的元素分别是数对，不相同，故错误；对于B，M中一个元素为数对，N中两个元素实数3和2，不相同，故错误；对于C，M=R,N=R,故相同，正确；对于D，分别表示满足方程的数对和，显然不完全相同，故错误.故选：C【点睛】本题主要考查了集合的元素，集合相等的概念，属于中档题.5．集合或，，若，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】分与两种情况讨论，分别求出参数的取值范围，最后取并集即可；【详解】解：∵，∴①当时，即无解，此时，满足题意.②当时，即有解，当时，可得，要使，则需要，解得.当时，可得，要使，则需要，解得，综上，实数的取值范围是.故选：B.6．（多选）下列关系式错误的是（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】由元素和集合之间的关系以及集合和集合之间的关系判断4个选项即可.【详解】A选项由于符号用于元素与集合间，是任何集合的子集，所以应为，A错误；B选项根据子集的定义可知正确；C选项由于符号用于集合与集合间，C错误；D选项是整数集，所以正确.故选：AC.7．（多选）已知集合，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值有（

）A．-2 B．-1 C．0 D．1【答案】BCD【分析】根据条件可知集合中仅有一个元素，由此分析方程为一元一次方程、一元二次方程的情况，从而求解出的值.【详解】因为集合仅有个子集，所以集合中仅有一个元素，当时，，所以，所以，满足要求；当时，因为集合中仅有一个元素，所以，所以，此时或，满足要求，故选：BCD.8．某个含有三个实数的集合既可表示为，也可表示为{a，a＋b，1}，则a2015＋b2015的值为____．【答案】0【分析】根据所给的一个集合的两种表达形式，看出第一种表达形式中，只有a＋b一定不等式0，重新写出集合的两种形式，把两种形式进行比较，得出a，b的值，得到结果.【详解】解：∵集合既可以表示成{b，，0}，又可表示成{a，a＋b，1}∴a＋b一定等于0在后一种表示的集合中有一个元素是1只能是b.∴b＝1，a＝－1∴a2015＋b2015＝0.【点睛】本题考查集合的元素的三个特性和集合相等.易错点在于忽略集合中元素的互异性.9．若集合，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】根据集合，分和两种情况讨论，结合一元二次方程的性质，即可求解.【详解】由题意，集合，若时，集合，满足题意；若时，要使得集合，则满足，解得，综上可得，实数的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题主要考查了集合的表示方法，以及集合中元素的判定，其中解答中正确理解集合的表示方法，结合一元二次方程的性质求解是解答的关键，属于基础题.10．已知集合，在下列条件下分别求实数m的取值范围：(1)；(2)恰有一个元素.【答案】(1)；(2)【分析】若，则关于x的方程没有实数解，则，且，由此能求出实数m的取值范围．若A恰有一个元素，所以关于x的方程恰有一个实数解，分类讨论能求出实数m的取值范围．【详解】（1）若，则关于x的方程没有实数解，则，且，所以，实数m的取值范围是；（2）若A恰有一个元素，所以关于x的方程恰有一个实数解，讨论：当时，，满足题意；当时，，所以．综上所述，m的取值范围为．11．设集合，．(1)当时，求A的非空真子集个数；(2)当时，求m的取值范围．【答案】(1)62；(2)【分析】（1）由条件确定集合A中元素，即可求解；（2）由，分类讨论，建立不等式求解即可.【详解】（1）∵，∴，∴A的非空真子集的个数为．（2）分两种情况讨论：①当时，，则；②当时，解得．综上可得，m的取值范围为．12．已知集合，集合.(1)求；(2)若，求实数的取值集合.【答案】(1)；(2)【分析】（1）解中的一元二次方程即可；（2）分和，即分和讨论即可.【详解】（1），解得或，故.（2）①当时，符合；②当即时，则，由可得或，解得或综上的取值集合为.【课时作业】1．同时满足：①，②，则的非空集合M有（

）A．6个B．7个C．15个D．16个【答案】B【分析】根据所给条件确定M中元素，再根据M是所给集合的子集，得到所有的M即可求解.【详解】时，；时，；时，；时，；，，∴非空集合M为，，，，，，，共7个．故选：B2．已知集合，，，若，，则（

）A． B． C． D．以上都不对【答案】B【分析】利用奇数偶数集的性质即可求解.【详解】由题知，是非负偶数集，是非负奇数集，是由4的倍数加1构成的非负集合；又，，是奇数；故，，与的关系不确定.故选：B.3．已知集合和集合，若，则中的运算“⊕”是（

）A．加法 B．除法 C．乘法 D．减法【答案】C【分析】用特殊值，根据四则运算检验．【详解】若，则，，，因此排除ABD．故选：C．4．若集合，，，则，，之间的关系是（

）A． B．A⫋B=C C．A⫋B⫋C D．【答案】B【分析】分别将集合中的元素表示为，和即可得结果.【详解】∵，，显然A⫋B=C，故选：B.【点睛】本题主要考查集合间的包含关系的判断，考查集合的包含关系等基础知识，属于基础题.5．已知六个关系式①；②；③；④；⑤；⑥，它们中关系表达正确的个数为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】根据空集的性质、元素与集合、集合与集合的关系判断各关系式的正误.【详解】根据元素与集合、集合与集合关系：是的一个元素，故，①正确；是任何非空集合的真子集，故、，②③正确；没有元素，故，④正确；且、，⑤错误，⑥正确；所以①②③④⑥正确.故选：C6．下列集合中，结果是空集的是(

)A．{x∈R|x2-1=0} B．{x|x>6或x<1}C．{(x，y)|x2+y2=0} D．{x|x>6且x<1}【答案】D【分析】分析是否有元素在各选项的集合中，再作出判断.【详解】A选项：，不是空集；B选项：{x|x>6或x<1}，不是空集；C选项：(0,0)∈{(x，y)|x2+y2=0}，不是空集；D选项：不存在既大于6又小于1的数，即：{x|x>6且x<1}=.故选：D7．（多选）下列说法中不正确的是（

）A．集合为无限集B．方程的解构成的集合的所有子集共4个C．D．【答案】ACD【分析】根据题设条件利用无限集的定义、集合元素的性质、子集的意义、集合相等的定义逐一判断即可得解.【详解】集合，不是无限集，故A中说法不正确；方程的解构成的集合为，其所有子集为，，，，共4个，故B中说法正确；集合的元素为直线上的点，，故，故C中说法不正确；因为，，所以，故D中说法不正确．故选：ACD．8．（多选）已知集合，，则下列命题中正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则或 D．若B⫋A时，则或【答案】ABC【分析】求出集合，根据集合包含关系，集合相等的定义和集合的概念求解判断．【详解】，若，则，且，故A正确.时，，故D不正确.若，则且，解得，故B正确.当时，，解得或，故C正确.故选：ABC．9．(多选)给出下列四个集合，其中为空集的是（）A．{} B．{x∈R|x2+x+1＝0}C．{（x，y）|，x，y∈R} D．{x∈R||x|＜0}【答案】BCD【分析】利用空集的定义、一元二次方程、方程组、不等式的性质直接求解．【详解】解：对于A，表示集合中的元素为空集，故A不是空集；对于B，集合中的元素为方程x2+x+1＝0的实根，∵Δ＝12﹣4＝﹣1＜0，∴方程x2+x+1＝0无实根，故B为空集；对于C，方程无实数解，故C为空集；对于D，不等式|x|＜0的解集是空集，故D为空集．故选：BCD．10．（多选）下列说法正确的是（

）A．由所有实数组成集合，由立德中学某班会运动的所有学生组成的集合.均不存在.B．，由5个2组成的集合.则C．，FE，则可能有4个.D．，用列举法表示集合E为.【答案】BC【分析】根据集合之间的关系，以及集合的表示方法，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】对A：由所有实数组成的集合是空集，由立德中学某班会运动的所有学生组成的集合是，都存在，故错误；对：，由5个2组成的集合，根据集合中元素的互异性，故，故正确；对：，因为FE，故为含有且是的子集，共有4个，故正确；对：，故错误.故选：.11．满足的集合的个数为______________．【答案】7【分析】又题意可知集合中至少有2个元素，最多有4个元素.分别写出来即可.【详解】∵∴集合中至少有2个元素，最多有4个元素.当集合中有2个元素时，集合可为：;当集合中有3个元素时，集合可为：,,;当集合中有4个元素时，集合可为：,,;故答案为：7.12．设非空集合，当中所有元素和为偶数时（集合为单元素时和为元素本身），称是的偶子集，若集合，则其偶子集的个数为___________.【答案】【分析】对集合中奇数和偶数的个数进行分类讨论，确定每种情况下集合的个数，综合可得结果.【详解】集合中只有个奇数时，则集合的可能情况为：、、、、、，共种，若集合中只有个奇数时，则集合，只有一种情况，若集合中只含个偶数，共种情况；若集合中只含个偶数，则集合可能的情况为、、，共种情况；若集合中只含个偶数，则集合，只有种情况.因为是的偶子集，分以下几种情况讨论：若集合中的元素全为偶数，则满足条件的集合的个数为；若集合中的元素全为奇数，则奇数的个数为偶数，共种；若集合中的元素是个奇数个偶数，共种；若集合中的元素为个奇数个偶数，共种；若集合中的元素为个奇数个偶数，共种；若集合中的元素为个奇数个偶数，共种；若集合中的元素为个奇数个偶数，共种；若集合中的元素为个奇数个偶数，共种.综上所述，满足条件的集合的个数为.故答案为：.13．集合{x|1＜x＜6，x∈N*}的非空真子集的个数为_____【答案】14【分析】化简集合{x|1＜x＜6，x∈N*}={2,3,4,5},根据集合的