2015年全国1卷高考理科数学试卷及答案(精校word详细解析版)

2015年全国1卷高考理科数学试卷及答案(精校word详细解析版)2015年普通高等学校招生全国统一考试——理科数学一、选择题1.设复数$z$满足$\frac{1+z}{1-z}=i$，则$|z|$=（B）22.$\sin20^\circ\cos10^\circ-\cos160^\circ\sin10^\circ=$（A）$-\frac{33}{11}$3.设命题$P$：$\existsn\inN,n^2>2n$，则$\negP$为（B）$\foralln\inN,n^2\leq2n$4.投篮测试中，每人投$3$次，至少投中$2$次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为$0.6$，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（C）$0.36$5.已知$M(x,y)$是双曲线$C：x^2-y^2=1$上的一点，$F_1$、$F_2$是$C$的两个焦点，若$MF_1\cdotMF_2<1$，则$y$的取值范围是（B）$(\frac{-3\sqrt{3}}{3},\frac{6\sqrt{3}}{3})$6.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧度为$8$尺，米堆的高为$5$尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知$1$斛米的体积约为$1.62$立方尺，圆周率约为$3$，估算出堆放的米约有（C）$36$斛7.设$D$为$\triangleABC$所在平面内一点，$BC=3CD$，则$\frac{AB+AC}{AD}=$（B）$\frac{AB-AC}{3}$8.函数$f(x)=\cos(\omegax+\phi)$的部分图像如图所示，则$f(x)$的单调递减区间为（D）$(2k\pi+\frac{\pi}{2},2k\pi+\frac{3\pi}{2}),k\in\mathbb{Z}$9.执行右面的程序框图，如果输入的$t=0.01$，则输出的$n=$（C）$7$10.$(x+x+y)$的展开式中，$xy$的系数为（D）$60$11.一个圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体的正视图和俯视图如图所示。若该几何体的表面积为16+20π，则r=？解：由正视图和俯视图可知，该几何体由一个圆柱和一个半球组成，且圆柱的高为r，底面半径为r，半球的直径等于圆柱的底面直径。设圆柱的高为h，则圆柱的侧面积为2πrh，底面积为πr^2，半球的表面积为2πr^2，因此该几何体的表面积为2πrh+3πr^2=16+20π。化简得r(h+3)=8，又因为圆柱的高h=r，代入得4r^2=8，因此r=2。答案：B12.设函数f(x)=ex(2x-1)-ax+a，其中a≠1。若存在唯一的整数x，使得f(x)<0，则a的取值范围是()。解：由题意可知，f(x)<0的整数解x唯一，因此f(x)在x=0和x=1附近必须分别取正值和负值。当x=0时，f(x)=a-1<0，即a<1；当x=1时，f(x)=e-a<0，即a>0。因此，a的取值范围是(0,1)。答案：C13.若函数f(x)=xln(x+a+x^2)为偶函数，则a=______。解：由题意可知，f(x)为偶函数，即f(-x)=f(x)。代入得(-x)ln(-x+a+(-x)^2)=xln(x+a+x^2)，化简得a=0。答案：014.一个圆经过椭圆x^2+4y^2=1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为______________。解：设圆的半径为r，圆心坐标为(h,0)。由题意可知，圆经过椭圆的三个顶点，即(-1,0)、(1,0)和(0,1/2)。因此，圆心到x轴的距离h=r，圆心到椭圆顶点(0,1/2)的距离也为r，即(h-0)^2+(0-1/2)^2=r^2，化简得h^2-2h+1/4=r^2。又因为圆心在x轴的正半轴上，因此h>0。综上所述，圆的标准方程为(x-h)^2+y^2=r^2，其中h>0，且满足(h-0)^2+(0-1/2)^2=r^2和h^2-2h+1/4=r^2。化简得圆的标准方程为(x-1)^2+y^2=1/4。答案：(x-1)^2+y^2=1/415.若x，y满足约束条件x-1≥y，x+y-4≤0，则f(x,y)=x^2+y^2的最大值为__________。解：将约束条件化为y≤x-1和y≥4-x，画出两条直线y=x-1和y=4-x，它们的交点为(2,1)。因此，约束条件限制了点(x,y)在以直线y=x-1、y=4-x和x轴为边界的三角形区域内。在该区域内，f(x,y)=x^2+y^2的最大值出现在三角形的顶点上。计算可得，f(2,1)=5，因此f(x,y)的最大值为5。答案：516.在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB的取值范围是______________。解：连接AC和BD，如图所示。由题意可知，∠A=∠B=∠C=75°，因此∠D=360°-3×75°=135°。又因为ABCD为平面四边形，因此∠A+∠C=180°，即∠CAD=∠ACD=52.5°。又因为∠DAC=75°，因此∠DAB=52.5°-75°=-22.5°。由正弦定理可得AB=AD×sin75°/sin22.5°，因此AB的取值范围为2sin75°/sin22.5°≤AB≤AD×sin75°/sin22.5°。化简得2√6-2≤AB≤4√6-2。答案：[2√6-2,4√6-2]17.数列{an}的前n项和为Sn，已知an>0，an^2+2an=4Sn+3。(Ⅰ)求{an}的通项公式；(Ⅱ)设bn=an/an+1，求数列{bn}的前n项和。解：(Ⅰ)由已知可得，an^2+2an+1=4Sn+4=(2n+1)^2。因此，an=2n+1-2√Sn+1，代入得S_n=\frac{n(2n+1)}{3}。(Ⅱ)由an^2+2an=4Sn+3可得an+1=(an+1+1)^2/(4Sn+4-an-1)。因此，bn=an/an+1=(4Sn+3-an)/(4Sn+4-an-1)，代入得b_n=\frac{2n+1}{2n+2}。因此，b1+b2+...+bn=\frac{1}{2}(1-\frac{1}{n+1})=\frac{n}{2(n+1)}。答案：(Ⅰ)an=2n+1-2√Sn+1，S_n=\frac{n(2n+1)}{3}；(Ⅱ)b_n=\frac{2n+1}{2n+2}，b1+b2+...+bn=\frac{n}{2(n+1)}。18.如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E、F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC。(Ⅰ)证明：平面AEC⊥平面AFC；(Ⅱ)求直线AE与直线CF所成角的余弦值。解：(Ⅰ)连接AC和EF，如图所示。由题意可知，ABCD为菱形，因此AC为菱形的对角线，且∠ABC=120°。又因为BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，因此BE和DF在平面ABCD内，且平行。又因为BE=2DF，因此EF=3DF。又因为AE⊥EC，因此AE在平面AEC内，且与EC垂直。因此，AE垂直于平面AFC，而AC也在平面AFC内，因此平面AEC⊥平面AFC。(Ⅱ)由正弦定理可得sin∠AEC=sin∠FEC/EC，sin∠ACF=sin∠FEC/FC，因此sin∠AEC/EC=sin∠ACF/FC。又因为AE⊥EC，因此sin∠AEC=AE/AC，代入得AE/AC=FC/EC，化简得AE/FC=AC/EC=√3。因此，cos∠AEF=cos(∠AEC+∠CEF)=cos∠AECcos∠CEF-sin∠AECsin∠CEF=√3/2。答案：(Ⅰ)证明过程略；(Ⅱ)cos∠AEF=√3/2。(Ⅰ)根据散点图判断，哪一个方程更适合作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）(Ⅱ)根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；(Ⅲ)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z=0.2y-x。根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：（ⅰ）当年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预测值是多少？（ⅱ）当年宣传费x为何值时，年利润的预测值最大？在直角坐标系xoy中，曲线C：y=x^4与直线y=kx+a(a>0)交于M，N两点。(Ⅰ)当k=1时，分别求C在点M和N处的切线方程；(Ⅱ)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？说明理由。已知函数f(x)=x^3+ax+4/3，g(x)=-lnx。(Ⅰ)当a为何值时，x轴为曲线y=f(x)的切线；(Ⅱ)用min{m,n}表示m，n中的最小值，设函数h(x)=min{f(x),g(x)}(x>0)，讨论h(x)零点的个数。选修4-1：几何证明选讲如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E。（Ⅰ）若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；（Ⅱ）若OA=CE，求∠ACB的大小。选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，直线C1:x=-2，圆C2：(x-1)^2+(y-2)^2=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系。（Ⅰ）求C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）若直线C3的极坐标方程为θ=π/4（ρ∈R），设C2与C3的交点为M，N，求△CMN的面积。选修4-5：不等式选讲已知函数f(x)=|x+1|-2|x-a|，a>0。(Ⅰ)当a=1时，求不等式f(x)>1的解集；若函数f(x)的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围。解析：设函数f(x)的表达式为f(x)=ax^2+bx+c，则x轴与f(x)围成的三角形面积为∫[0,1]f(x)dx。根据题意，有∫[0,1]f(x)dx>6，即∫[0,1]ax^2+bx+cdx>6。对∫[0,1]ax^2+bx+cdx进行计算，可得其值为a/3+b/2+c。因此，a/3+b/2+c>6。由于$a_n>a_{n-1}$，可得$a_{n+1}-a_n=2$。又$a_1+2a_2=4a_1+3$，解得$a_1=3$。因此，数列$\{a_n\}$是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为$a_n=2n+1$。设数列$\{b_n\}$的前$n$项和为$T_n$，则$b_n=\frac{1}{a_na_{n+1}}=\frac{1}{(2n+1)(2n+3)}$。由$a_n=2n+1$可知，$b_n=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}\right)$。因此，$T_n=b_1+b_2+\cdots+b_n=\frac{1}{4}\left(1-\frac{1}{n+2}\right)$。在菱形$ABCD$中，设$GB=1$，则$AG=GC=3$。由$\angleABC=120^\circ$，可得$AE=EC=3$。又$BE\perp$平面$ABCD$，$AB=BC$，可知$AE=EC$。因此，$EG=3$，且$EG\perpAC$。在$\triangleEBG$中，可得$BE=2$，故$DF=\frac{26}{3}$。在$\triangleFDG$中，可得$FG=\frac{22}{3}$。在直角梯形$BDFE$中，由$BD=2$，$BE=2$，$DF=\frac{26}{3}$，可得$EF=\frac{22}{3}$。从而$EG+FG=EF$，所以$EG\perpFG$，又$AC\perpFG$，可得$EG\perp$平面$AFC$。因为$EG\parallel$平面$AEC$，所以平面$AEC\perp$平面$AFC$。如图，以$G$为坐标原点，分别以$GB$，$GC$方向为$x$轴，$y$轴正方向，$GB$为单位长，建立空间直角坐标系$G$-$xyz$。由（Ⅰ）可得$A(0,-3,0)$，$E(1,0,2)$，$F(-1,0,\frac{2}{3})$，$C(0,3,0)$。因此，$AE=(1,3,2)$，$CF=(-1,-3,\frac{4}{3})$。故$\cos\angleAE,CF=-\frac{AE\cdotCF}{|AE|\cdot|CF|}=-\frac{10}{\sqrt{14}\sqrt{\frac{14}{3}}}$，所以直线$AE$与直线$CF$所成角余弦值为$-\frac{5}{3}$。由散点图可以判断，$y=c+dx$适宜作为年销售量$y$关于年宣传费$x$的回归方程类型。令$w=x$，先建立$y$关于$w$的线性回归方程。由于$d=\frac{\sum_{i=1}^n(w_i-\bar{w})(y_i-\bar{y})}{\sum_{i=1}^n(w_i-\bar{w})^2}=68$，$\bar{w}=\frac{1}{8}\sum_{i=1}^8w_i=2$，$\bar{y}=\frac{1}{8}\sum_{i=1}^8y_i=90$，可得$y=68w-98$。因此，年销售量$y$关于年宣传费$x$的回归方程为$y=68x-98$。1.经过计算，得出关于w的线性回归方程为y=100.6+68w，其中c=y-dw=563-68*6.8=100.6。2.根据线性回归方程，当x=49时，预测年销售量y为576.6，预测年利润z为0.2*576.6-49=66.32。又根据线性回归方程，当x=46.24时，z取得最大值，即年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大。3.对于求解切线方程的问题，由题设可得M2a,a，N-2a,a，或M-2a,a，N2a,a。又y’=x/2，故y在x=2a处的导数值为a。C在点-2a,a处的切线方程为ax-y-a=0。4.对于求解曲线与x轴相切的问题，设曲线为y=f(x)，与x轴相切于点(x,0)，则f(x)=0，f’(x)=0。解得x=133/244，a=-55/244。因此当a=-55/244时，x轴为曲线y=f(x)的切线。对于x>1的情况，h(x)<=g(x)，因此h(x)在(1,+∞)中无零点。当x=1时，若a>=-44/55，则h(1)=min{f(1),g(1)}=g(1)=-ln(1)=0，此时x=1是切点。h(x)的零点为x=1，当且仅当f(1)<h(1)，即a<−。若a≥−，则h(x)在x=1处不为零点。当x∈(0,1)时，g(x)=−lnx<0，因此只需考虑f(x)在(0,1)的零点个数。（ⅰ）若a≤−3或a≥4，由f′(x)=3x+a可知f(x)在(0,1)无零点，因此f(x)在(0,1)单调。又因为f(0)=2/15，f(1)=a+，所以当a≤−3时，f(x)在(0,1)有一个零点；当a≥4时，f(x)在(0,1)无零点。（ⅱ）若−3<a<4，则f(x)在(0,1)单调递减，在(−∞,0)和(1,+∞)单调递增，因此在(0,1)中，当x=−a/3时，f(x)取得最小值，最小值为(2a−a2/3)/3。若−3<a<−4/3，则(2a−a2/3)/3<0，因此f(x)在(0,1)有无零点。若−4/3≤a<4/