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第六节空间向量及其运算知识点一空间向量的有关概念、定理1．空间向量的有关概念方向相同相等平行重合同一平面2.空间向量中的有关定理(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在λ∈R，使a＝

.(2)共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)使p＝

.(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组{x，y，z}使得p＝

，其中{a，b，c}叫做空间的一个基底．λbxa＋ybxa＋yb＋zcC2．若a与b不共线，且m＝a＋b，n＝a－b，p＝a，则(

)A．m，n，p共线B．m与p共线C．n与p共线 D．m，n，p共面D3．正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD的中点，则EF的长为________．知识点二空间向量的坐标表示设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).a1b1＋a2b2＋a3b3

a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3

a1b1＋a2b2＋a3b3＝01．(易错题)在空间直角坐标系中，已知A(1,2,3)，B(－2，－1,6)，C(3,2,1)，D(4,3,0)，则直线AB与CD的位置关系是(

)A．垂直 B．平行C．异面 D．相交但不垂直B2.如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线ON，AM的位置关系是________．答案：垂直D

用已知向量表示某一向量的三个关键点(1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量．(3)在立体几何中，三角形法则、平行四边形法则仍然成立．A2．已知a＝(2,1，－3)，b＝(－1,2,3)，c＝(7,6，λ)，若a，b，c三向量共面，则λ＝(

)A．9 B．－9C．－3 D．3BB应用共线(面)向量定理、证明点共线(面)的方法比较应用共线(面)向量定理、证明点共线(面)的方法比较题型三空间向量数量积的应用合作探究[例]如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，计算：1.求解与空间图形中的有关向量数量积问题时，应先在图形中选定一组模和夹角已知的基向量，用基向量表示待求数量积中的向量，结合向量数量积的运算律求解．2．若待求向量是坐标形式，求数量积时，可直接利用空间向量的数量积的坐标公式求解．[对点训练]如图所示，已知在平行六面体ABCD­A′B′C′D′中，AB＝4，AD＝3，AA′＝5，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°.A[对点训练

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