平面几何证明题的一般思路及方法简述

平面几何证明题的一般思路及方法简述【摘要】惠特霍斯曾说过，“一般地，解题之所以成功，在很大程度上依赖于选择一种最适宜的方法。〃灵活、恰当地选择解题方法是求解平面几何问题的良好途径。解决任何一道平面几何证明题，都要应用这样或那样的方法,而选择哪一种方法,就取决于我们用什么样的解题思路。本文试对平面几何证明题中常用的几种解题思路及方法进行分析。【关键词】平面几何证明题思路方法平面几何难学，是很多初中生在学习中的共识，这里面包含了很多主观和客观因素,而学习不得法，没有适当的解题思路则是其中的一个重要原因。波利亚曾说过,“解题的成功要靠正确思路的选择，要靠从可以接近它的方向去攻击堡垒。为了辨别哪一条思路正确，哪一个方向可接近它,就要试探各种方向和思路。〃由此可见，掌握证明题的一般思路、探索证题过程中的数学思维、总结证题的基本规律是求解几何证明题的关键。常见的证题思路有直接式思路和间接式思路。一、直接式思路证题时，首先应仔细审查题意，细心观察题目，分清条件和结论,并尽量挖掘题目中隐含的一些解题信息，以在缜密审题的基础上，根据定义、公式、定理进行一系列正面的逻辑推理，最后得出命题的证明，这种证题的思路被称为直接式思路。由于思维方式的逆顺，在证题时运用的方法主要有"分析法〃和"综合法〃。分析法。分析法是从命题的结论入手，先承认它是正确的，执果索因,寻求结论正确的条件，这样一步逆而推之，直到与题设会合，于是就得出了由题设通往结论的思维过程。在由结论向已知条件的寻求追溯过程中，则由于题设条件的不同，或已知条件之间关系的隐含程度不同等，寻求追溯的形式会有一定差异，因而常把分析法分为以下四种类型。⑴选择型分析法。选择型分析法解题，首先要从题目要求解的结论A出发，逐步把问题转化为分析要得出结论A需要哪些充分条件。假设有条件B,就有结论A,那么B就成为选择找到的使A成立的充分条件，然后再分析在什么条件下能选择得到B〃〃最终追溯到命题中的某一题设条件。⑵可逆型分析法。如果再从结论向已知条件追溯的过程中，每一步都是推求的充分必要条件,那么这种分析法又叫可逆型分析法，因而，可逆型分析法是选择型分析法的特殊情形。用可逆型分析法证明的命题用选择型分析法一定能证明，反之用选择型分析法证明的命题，用可逆型分析不一定能证明。构造型分析法。如果在从结论向已知条件追溯的过程中，在寻找新的充分条件的转化“三岔口〃处,需采取相应的构造型措施：如构造一些条件，作某些辅助图等，进行探讨、推导，才能追溯到原命题的已知条件的分析法叫做构造型分析法。⑷设想型分析法。在向已知条件追溯的过程中,借助于有根据的设想、假定,形成“言之成理〃的新构思,再进行“持之有据〃的验证,逐步地找出正确途径的分析法称为设想型分析法。综合法。综合法则是由命题的题设条件入手，由因导果，通过一系列的正确推理，逐步靠近目标,最终获得结论。再从已知条件着手，根据已知的定义、公式、定理，逐步推导出结论。在这一过程中，由于思考角度不同，立足点不同，综合法常分为四种类型：(1)分析型综合法。我们把分析法解题的叙述倒过来，稍加整理而得到的解法称为分析型综合法。⑵奠基型综合法。当由已知条件着手较难,或没有熟悉的模式可供归纳推导,就可转而寻找简单的模式，然后再将一般情形化归到这个简单的模式中来，这样的综合法称为奠基型综合法。⑶媒介型综合法。当问题给出的已知条件较少，且看不出与所求结论的直接联系时，或条件关系松散且难以利用时,就要去有意识地寻找、选择并应用媒介实现过渡，这样的综合法就称之为媒介型综合法。解析型综合法。解题时，运用解析法的思想制定解题的大体计划和方向，然后并不真用解析法来实现这个计划，而用综合法来实现，这种综合法被称为解析型综合法。在具体证题时，这两种方法可单独运用,也可配合运用，在分析中有综合，在综合中有分析，以进行交叉使用。二、间接式思路有些命题往往不易甚至不能直接证明，这时，不妨证明它的等效命题，以间接地达到目标,这种证题思路就称为间接式思路。我们常运用的反证法、同一法证题就是两种典型的用间接式思路证题的方法。反证法。具体地说，在证明一个命题时，如正面不易入手，就要从命题结论的反面入手，先假设结论的反面成立,如果由此假设进行严格推理，推导出的结果与已知条件、公式、定理、定义、假设等的其中一个相矛盾，或者推出两个相互矛盾的结果，就证明了“结论反面成立〃的假设是错误的，从而得出结论的正面成立，这种证题方法就叫做反证法。当结论的反面只有一个时，否定了这一个便完成证明，这种较单纯的反证法又叫做归谬法;而当结论的反面有若干个时，就必须驳倒其中的每一个，这种较繁琐的反证法又称为穷举法。反证法证题通常有如下三个步骤：⑴反设。作出与结论相反的假设，通常称这种假设为反证假设。⑵归谬。利用反证假设和已知条件，进行符合逻辑的推理，推出与某个已知条件、公理、定义等相矛盾的结果。根据矛盾律，在推理和论证的过程中,在同时间、同关系下,不能对同一对象作出两个相反的论断，可知反证假设不成立。⑶得出结论。根据排除率,即在同一论证过程中，命题C与命题非C有且仅有一个是正确的，可知原结论成立。同一法。欲证某图形具有某种性质而又比较繁杂或不易直接证明时，有时可以作出具有所示性质的图形，然后证明所作的图形与所给的某图形就是同一个,由此把它们等同起来，这种证法叫做同一法。例如，同一法证平面几何问题的步骤如下：作出符合命题结论的图形;证明所作图形符合已知条件;根据唯一性，确定所作的图形与已知图形吻合;断定命题的真实性。同一法和反证法都是间接式思路的方法。其中，同一法的局限性较大,通常只适合于符合同一原理的命题;反证法的适用范围则广泛一些,能够用反证法证明的命题，不一定能用同一法论证，但对于能够用同一法证明的命题，一