同底数幂的乘法幂的乘方积的乘方讲义人教版八年级数学上册

14.1.1-14.1.3同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方讲义人教版八年级数学上册层级要求：③掌握同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方以及同底数幂的除法的法则，并能熟练掌握地运用幂的四个运算法则进行运算理解②同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方以及同底数幂的除法的法则认识①幂的运算的意义基础知识详解知识点一同底数幂旳乘法内容叙述（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加.

公式表示为：这个公式的特点是：左边是两个或两个以上的同底数幂相乘，右边是一个幂，指数相加。（2）当三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有同样的性质，即am·an·…·ar＝am＋n＋…＋r(m，n，…，r都是正整数)．·图示·特例同底数幂是指底数相同的幂。如与，与，条件：①乘法②同底数幂结果：①底数不变②指数相加与，与等等，但和不是同底数幂。条件：①乘法②同底数幂结果：①底数不变②指数相加知识详解（1）

同底数幂的乘法中，首先要找出相同的底数，运算时，底数不变，直接把指数相加，所得的和作为积的指数.

（2）

在进行同底数幂的乘法运算时，如果底数不同，先设法将其转化为相同的底数，再按法则进行计算.（3）同底数幂中底数可以是具体的数字，也可以是单项式或多项式。在幂的运算中常用到下面两种变形：①②特别提醒(1)底数不同的幂相乘，不能运用法则。（2）不要忽视指数为1而省略不写的因式。（3）同底数幂旳乘法法则可以逆用。即am＋n＝am·an(m，n都是正整数)．出题角度1底数是单项式或多项式的同底数幂的乘法例1．计算：(1)103×106；(2)(－2)5×(－2)2；(3)an＋2·an＋1·a；(4)(x＋y)2(x＋y)3.运用同底数幂的乘法法则(1)中的两个幂的底数是10分析：运用同底数幂的乘法法则(1)中的两个幂的底数是10找幂的底数(2找幂的底数(2)中的两个幂的底数是－2整体思想整体思想(1)中的两个幂的底数是a得出结果(1)中的两个幂的底数是a得出结果(1)中的两个幂的底数是(1)中的两个幂的底数是x＋y解：(1)103×106＝103＋6＝109；(2)(－2)5×(－2)2＝(－2)5＋2＝－27；(3)an＋2·an＋1·a＝an＋2＋n＋1＋1＝a2n＋4；(4)(x＋y)2(x＋y)3＝(x＋y)2＋3＝(x＋y)5.点拨：同底数幂的运算，首先找到相同的底数，运算时，底数不变，直接把指数相加，所得的和作为积的指数。变式练习1.（1）a2•a4；（2）22×23×2；（3）﹣（﹣y）2•（﹣y）6•（﹣y）5。出题角度2化为同底数幂后再运用法则进行计算例2.计算下列各题：(b-a)(a-b)；（2）（-3）×27×81；（3）（a-b）（a-b）（b-a）（b-a）；（4）-t·（-t）·（-t）；分析：（1）平方下的（a-b）即(b-a)，由法则可得(b-a)，（2）先将27、81分别便是为3、3，再由法则可得3，（3）将（a-b）看作一个整体作为相同的底数。（4）虽然底数不同，但仅仅只有符号之差，如x-y与y-x，可以先把底数变为相同的底数，再用法则计算。底数互为相反数的幂相乘时，可以利用幂确定符号的方法先转化为同底数幂，再按法则计算，统一底数时尽可能地改变偶次幂的底数，这样可以减少符号的变化。解：（1）原=(b-a)(b-a)=(b-a)；底数互为相反数的幂相乘时，可以利用幂确定符号的方法先转化为同底数幂，再按法则计算，统一底数时尽可能地改变偶次幂的底数，这样可以减少符号的变化。（2）原式=（-3）×3×3=3；（3）原式=（a-b）（a-b）[-（a-b）]（a-b）=-（a-b）=-（a-b）；（4）-t·（-t）·（-t）=-t·t·（-t）=t·t·t=t；点拨：一般的同底数幂旳乘法问题可直接利用法则，底数可以是一个数或一个字母，也可以是一个代数式。对于不能直接运用同底数幂乘法法则的问题，通常先将题目中各项进行转化，化为同底数幂再运用法则计算，此过程中注意符号的确定。变式练习2.计算：计算：（1）4×27×8；（2）（x﹣2y）2（2y﹣x）3；（3）（a﹣b﹣c）（b+c﹣a）（c﹣a+b）3．出题角度3同底数幂的乘法与加减运算的混合运算再合并同类项先算同底数幂的乘法例3.计算：⑴a6•a2+a5•a3﹣2a•a7；(2)；（3）a6•a2+a5•a3﹣2a•a7再合并同类项先算同底数幂的乘法分析：解：⑴a6•a2+a5•a3+2a•a7=a+a+2a=4a；(2)；(3)a6•a2+a5•a3﹣2a•a7=a8+a8﹣2a8=0；点拨：和有理数的运算顺序一致，含有幂的乘法的混合运算中，先算同底数幂的乘法，再算整式的加减。变式练习3.计算：（1）；（2）.出题角度4同底数幂的乘法在科学计数法中的应用例4．1千克镭完全蜕变后，放出的热量相当于3.75×105千克煤放出的热量，据估计地壳里含1×1010千克镭．试问这些镭完全蜕变后放出的热量相当于多少千克煤放出的热量？分析：1千克镭完全蜕变1×1010千克镭完全蜕变利用同底数幂的乘法计算相当于3.75×105千克煤放出的热量相当3.75×105×1×1010千克煤放出的热量3.75×1015解：3.75×105×1×1010=3.75×1015（千克）．答：这些镭完全蜕变后放出的热量相当于3.75×1015千克煤放出的热量．点拨：用科学计数法表示的两个数相乘时，常把看作底数相同的幂参与运算，而把其他部分看作常数参与运算，然后把两者相乘或直接表示为科学计数法的形式。变式练习4.数的世界充满着神奇，幂的运算方便了“较大数”的处理．太阳光照射到地球表面所需的时间大约是5×102s，光的速度约是3×108m/s，地球与太阳之间的距离是多少？（用科学记数法表示）知识点二幂旳乘方内容叙述幂的乘方是指几个相同的幂相乘，如（）是4个相乘，读作a的六次幂的四次方。幂的乘方法则：

幂的乘方，底数不变，指数相乘.

公式表示为：·图示·特例拓展：①法则可推广为[(am)n]p＝amnp(m，n，p都是正整数)②法则可逆用：amn＝(am)n＝(an)m(m，n都是正整数)知识详解（1）

幂的乘方的底数是指幂的底数，而不是指乘方的底数.

（2）

指数相乘是指幂的指数与乘方的指数相乘，一定要注意与同底数幂相乘中“指数相加”区分开.

（3）幂的乘方和同底数幂旳乘法的混合运算的计算方法：运算的顺序是先进行乘方运算，再进行乘法运算，有括号的先计算括号里的。特别提醒(1)对于指数的要求应和同底数幂相乘的公式对比来记。（2）不要把幂的乘方的性质与同底数幂旳乘法性质混淆，幂的乘方运算，是转化为指数的乘法运算，同底数幂旳乘法，是转化为指数的加法运算。（3）对于公式的逆运用有：amn=（am）n=（an）m出题角度1幂的乘方法则的直接运用例5.计算：（1）（x5）3．（2）[（﹣a）5]3．（3）﹣（x5）3．（4）﹣[（﹣x）3]4．分析：（1）（x5）3直接根据幂的乘方法则计算（2）[（﹣a）5]3直接根据幂的乘方法则计算（3）﹣（x5）3直接根据幂的乘方法则计算（4）﹣[（﹣x）3]4直接根据幂的乘方法则计算解：（1）原式=x15；（2）原式=﹣a15；（3）原式=﹣x15；（4）原式=﹣x12；点拨：利用幂的运算法则进行计算时，要紧扣法则的要求，出现负号时特别要注意符号的确定和底数的确定。变式练习5.计算：（1）；（2）；（3）出题角度2幂的乘方与同底数幂的乘法的综合运算例6.计算：（1）（x4）2+（x3）3﹣x（x2）2•x3（2）（﹣x）3•（﹣x2）2•（﹣x）分析：（1）根据幂的乘方底数不变指数相乘，可化成同类项，根据合并同类项，可得答案；根据同底数幂的乘法，可得（﹣x）的偶次幂，根据负数的偶次幂是正数，可得同底数幂的乘法，再根据同底数幂的乘法，可得答案．解：（1）原式=x8+x9﹣x•x4•x3=x8+x9﹣x8=x9；（2）原式=（﹣x）3•（﹣x）•x4=（﹣x）4•x4=x4•x4=x8．点拨：（１）不要把幂的乘方性质与同底数幂的乘法性质混淆。幂的乘方运算，是转化为指数的乘法运算（底数不变）；同底数幂的乘法，是转化为指数的加法运算（底数不变）。变式练习6.计算：（1）；（2）；（3）。知识点三积的乘方内容叙述底数是乘积的形式的乘方叫做积旳乘方。积的乘方法则：

积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.公式表示为：·图示·特例拓展：①三个或三个以上的数的乘积，也适用这一法则，如：(abc)n＝anbncn.a，b，c可以是任意数，也可以是幂的形式．②法则可逆用：anbn＝(ab)n.(n为正整数)．知识详解(1)幂的乘方法则在推导过程中应用了乘方的意义和同底数幂的乘法法则。(2)积的乘方使用范围：底数是积的形式的乘方。幂的乘方与同底数幂的乘法的区别和联系：特别提醒(1)积的乘方的底数是乘积的形式，要防止出现与类似的错误。(2)在运用积的乘方的运算法则时，注意知识拓展，底数和指数可以是数，也可以是整式。(3)要注意运算过程和符号。

运用积的乘方法则时，数字系数的乘方，应根据乘方的意义计算出结果，当底数中含有“-”时，应将其视其为“-1”,作为一个因式，防止漏乘。（4）运用积的乘方法则时，应把每一个因式都分别乘方，不要遗漏其中任何一个因式.易错警示：运用积的乘方时，每个因式都要乘方，不能漏掉任何一个因式；系数应连同它的符号一起乘方，系数是﹣1时不可忽略。出题角度1积的乘方法则的直接运用易错警示：运用积的乘方时，每个因式都要乘方，不能漏掉任何一个因式；系数应连同它的符号一起乘方，系数是﹣1时不可忽略。例7.计算：⑴（﹣2a3）3；⑵（3ab）5；⑶（﹣xy）6；⑷（a2b3）4；分析：根据积的乘方法则进行计算即可．解：⑴原式=﹣8a9；⑵原式=243a5b5；⑶原式=x6y6；⑷原式=a8b12；点拨： 本题考查的是积的乘方，即把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．变式练习7.计算：（1）（﹣5ab）3；（2）﹣（3x2y）2；（3）（﹣1ab2c3）3；（4）（﹣xmy3m）2．出题角度2有关幂的运算的混合运算例8．计算：（1）（﹣a）•（﹣a6）•（﹣a3）3．（2）[（﹣x）•（﹣x）3]2．（3）（x3•x5）2•（x5•x3）（4）[（x﹣y）2]3•（x﹣y）3．分析：（1）先根据幂的乘方与积的乘方得到原式=（﹣a）•（﹣a6）•（﹣a9），然后根据同底数幂的乘法法则计算；（2）先根据幂的乘方与积的乘方得到原式=（﹣x）2•（﹣x）6，然后根据同底数幂的乘法法则计算；（3）先根据幂的乘方与积的乘方得到原式=x6•x10•x5•x3，然后根据同底数幂的乘法法则计算；（4）先根据幂的乘方与积的乘方得到原式=（x﹣y）6•（x﹣y）3，然后根据同底数幂的乘法法则计算；解：（1）原式=（﹣a）•（﹣a6）•（﹣a9）=﹣a16；（2）原式=（﹣x）2•（﹣x）6=（﹣x）8=x8；（3）原式=x6•x10•x5•x3=x24；（4）原式=（x﹣y）6•（x﹣y）3=（x﹣y）9；点拨：幂的混合运算顺序与实数的混合运算顺序相同．变式练习8.计算题：（1）（﹣x2）3•（﹣x3）5；（2）（﹣a2）3•（﹣a3）4；（3）（﹣x）2•x3•（﹣2y）3+（﹣2xy）2•（﹣x）3y．出题角度3利用幂的运算法则求整式或待定字母的值例9.（1）如果，求的值；（2）如果，求的值；分析：m=nm=n解：（1）∵，∴解得，即的值是3.（2）∵，∴解得，即的值是.点拨：综合运用幂的乘方法则和同底数幂的乘法法则将等式进行转化，运用方程的思想确定字母的值是解决这类问题的常用方法。变式练习9.已知16m=4×22n﹣2，27n=9×3m+3，求m，n的值．出题角度4积的乘方与幂的乘方巧妙结合例10.利用积的乘方运算法则进行简便运算：（1）（﹣0.125）10×810；（2）（﹣0.25）1998×（﹣4）1999；（3）（1）6×82；（4）[（）2]6•（23）2．分析： （1）、（2）、（3）、（4）根据积的乘方法则分别进行计算即可．解：（1）原式=[（﹣0.125）×8]10=（﹣1）10=1；（2）原式=[（﹣0.25）×（﹣4）]1998×（﹣4）=11998×（﹣4）=﹣4；（3）原式=（）6×26=（×2）6=36；（4）原式=（）6•26=（×2）6=（）6=．点拨：底数互为倒数的或负倒数的两个幂相乘时，先通过逆用同底数幂的乘法法则化为幂指数相同的幂，然后逆用积的乘方法则转化为底数先相乘，再乘方，从而大大简化运算。变式练习10.用简便方法计算：（1）；14×230．思维误区诊断误区一误认为没有指数导致错误例1.计算：b·b·b负数B、正数C、0D、以上结论都不对错解：b·b·b=b.正解：b·b·b=b.错因分析:误认为b的指数是0.当指数未标明时，要记住指数是1，而不是没有指数.误区二运算法则混淆导致错误例2.计算：（1）a·a；（2）（a）错解:（1）a·a=a；（2）（a）=a.正解:（1）a·a=a=a；（2）（a）=a=a.错因分析：将同底数幂的乘法与幂的乘方的运算法则混淆了.误区三运算符号的遗漏例3.计算：（-ab）错解：（-ab）=-ab.正解：（-ab）=ab.错因分析：在进行积的乘方运用时，忽略了系数“-1”，导致最后符号出错.运用积的乘方运算时，应先看积中有哪些因式，再把每个因式分别乘方，尤其字母的系数及其符号，不要漏掉乘方.综合展示问题学霸笔记展示1．同底数幂的乘法同底数幂的特征：“同底数幂”是指底数相同的幂，等号左边符合几个同底数幂相乘，等号右边，即结果为一个幂．同底数幂相乘时，指数是相加的；底数为负数时，先用同底数幂的乘法法则计算，最后确定结果的正负；注意不要忽视指数为1的因式的情况；公式中的a可为一个有理数、单项式或多项式（整体思想）。2．幂的乘方幂的乘方的理解：不要把幂的乘方与同底数幂的乘法混淆．幂的乘方运算是转化为指数的乘法运算(底数不变)；同底数幂的乘法，是转化为指数的加法运算(底数不变)．积的乘方的易错点：运用积的乘方法则易出现的错误有：(1)漏乘因式；(2)当每个因式再乘方时，应该用幂的乘方的运算性质，指数相乘，而结果算式为指数相加；(3)系数计算错误．能力拓展展示能力拓展一逆用法则例1.已知ax=﹣2，ay=3．求：（1）ax+y的值；（2）a3x的值；（3）a3x+2y的值．分析：（1）逆运用同底数幂相乘，底数不变指数相加解答；（3）逆运用幂的乘方，底数不变指数相乘解答；（3）逆运用幂的乘方和同底数幂的乘法进行计算即可得解．解：（1）ax+y=ax•ay=﹣2×3=6；（2）a3x=（ax）3=（﹣2）3=﹣8；（3）a3x+2y=（a3x）•（a2y）=（ax）3•（ay）2=（﹣2）3•32=﹣8×9=﹣72．根据底数较大的其幂也较大（都是正数时）（都是正数时）点拨： 本题运用整体思想将ax，ay根据底数较大的其幂也较大（都是正数时）（都是正数时）能力拓展二利用幂的乘方法则比较大小（1）底数比较法例2.已知a=3555，b=4444，c=5333，试比较a、b、c的大小关系．逆用幂的乘方的运算性质三个幂的底数3、4、5两两互质分析：逆用幂的乘方的运算性质三个幂的底数3、4、5两两互质125111＜243125111＜243111＜256111将它们的指数变得相同指数555，444，333有最大公约数111将它们的指数变得相同指数555，444，333有最大公约数111得出结果得出结果解：∵3555=（35）111=243111，4444=（44）111=256111，5333=（53）111=125111，又∵125＜243＜256，∴125111＜243111＜256111，∴5333＜3555＜4444．即c＜a＜b．点拨：当＞1，b＞1时，若＞b，则（n为正整数），此结果可以作为结论使用。（2）指数比较法例3.比较81350和42009的大小分析：可用统一底数法。解：∵81350=（23）1350=24050，42009=（22）2009=24018，而4050＞4018，∴81350＞42009点拨：比较幂的乘方表示的数的大小时，可以逆用幂的乘方法则把底数不同，指数不同的幂转化为底数相同的幂，再比较指数的大小，当底数大于1时，如果幂是正数，指数大的数大；如果幂是负数，指数大的数反而小。（3）乘方比较法例4.已知a3=2，b5=3，试比较a、b的大小．分析：可用乘方法解：∵a3=2，∴（a3）5=a15=32，∵b5=3，∴（b5）3=b15=27，而32＞27，∴a15＞b15，∴a＞b．点拨：先将幂同时乘方后，化成同指数幂，然后计算幂的结果，比较幂的大小，比较幂的大小，从而确定底数的大小。能力拓展三灵活运用同底数幂的乘法法则例5.已知x•xm•xn=x14（x≠1），且m比n大3，求m•n的值．分析： 先根据同底数幂的乘法法则，求出m、n的一个关系式，再根据m比n大3，列出一个二元一次方程组，解方程组然后再代入m•n即可求解．注意体会：转化思想和方程思想的综合运用。解：∵x•xm•xn=x1+m+n=x14，∴1+m+n=14，即m+n=13．注意体会：转化思想和方程思想的综合运用。又∵m﹣n=3，∴，解得，∴m•n=8×5=40．点拨：解决此类问题，首先要根据同底数幂的乘法法则将条件转化为幂的形式，再根据幂的意义构造方程或方程组，通过解方程或方程组求出指数中的字母，最后再导入代数式中求值。能力拓展四同底数幂的乘法法则在整除中的应用例6.设3m+n能被10整除，试证明3m+4+n也能被10整除．分析：把原式化成含有3m+n的式子即可．解：∵3m+4+n=34