平面几何练习题高一教师版

平面几何练习题（高一）教师版rtT彳P是厶ABC内一点，且满足2PA-3PB・6PC=0，试确定厶FAB,APBC,APCA的面积之比.答：6?2B_解:如图,,分别在PA、PB、_解:如图,,分别在PA、PB、PC_的延长线上取点*Ai,Bi,Ci,使PA,=2PAPB=3PBPC6PC!PA1PB1PC^0.P A1B1C1的重心，…S应ab=S胡s=S霑ca.Spab6?23.SPA1B123S_SPB1G SSpb厂丁6,S?CA^PC1A1 .o /TQ /TQ _…SaFAB©△PBC©△PCA=62八PGA在长方形ABCD中,E为AB上一点，AB=14,CE=13,DE=15.CF丄DE于F，连接AF,BF.求△ABF的面积.答：36.96.解：先求BE.设BE=x，贝UAE=14-x,在直角△ADE与直角△BCE中应用勾股定理，得DE2-aE^=AD2=BC2=CE2-BE2,即得方程152-(14-x)2=132-x2，所以x=5.22再应用勾股定理，得AD=BC=13-x=12.Sabcd=12X4=168,所以&cde=84.设DF=y，则EF=15-y,在直角△CDF与直角△CEF中应用勾股定理，得CD2-DF2=CF2=CE2-EF2，即得方程142-x2=132-(15-x)2，所以x=8.4.84 84因此，Sacdf=84X- =28 =47.04.15 51又由于S^cdf+Saabf=Sabcd=84,所以S^abf=84-Sacdf=84-47.04=236.96.如图，D ABC内一点，使得/BAD=ZBCD，且/BDC=90°已知AB=5,BC=6,M为AC的中点，求DM.答」.2解：延长CD至UE,使得DE=DC,连接BE,则△BDE也△BDC,所以BE=BC=6,/BED=ZBCD=/BAD，所以A、D、B、E四点共圆，因此/EAB=/EDB=90°所以ae=H55专

在△ABC中，ABC=100°.ACB=65°在AB边上取点M，使得.MCB=55°在AC边上取点N,使得NNBC=80°.试确定ZNMC的度数.答：25°解：易知NBAC=15°,作厶MCB的外接圆，与BN的延长线交于点Mi,则在这个圆中弦CMi与CM对的圆周角互补，所以CMi=CM.又MiCM=NMiBM=100°-0°=20°厶ACM=65°-5°=10°所以NMiCN=i0°又CN=CN，所以△MiCN也△MCN.因此，.NMC=NMiC=CMB=BAC+ACM=i5°+i0°=25°P为正方形ABCD内一点，PA=i厘米，PB=2厘米，PC=3厘米.则△PBC的面积(单位：平方厘米)为(A)22.(B)22.(C)2-辽.(D)2-2.2答：A.解：将△APB绕点B顺时针旋转90o,得厶CQB，显然△CQB^AAPB，连接PQ,因为/PBQ=90o,PB=QB=2,所以/PQB=/QPB=45o,PQ=2运.在△PQC中,PC=3,CQ=i,PQ=2血，由于32=i2+(2、、2)2，所以PC2=CQ2+PQ2，所以/PQC=90o,这样，四边形PBQC的面积工SPBQ，SpQc=i22 23i-.2.又/PQB=45o,ZBQC=45o+90o=i35o,作CH丄BQ的延长线于H，贝CQH=45q因此CHSCQH=45q因此CHSbqc二丄BQCH2所以Spbc-Spbqc如图，两同心圆的半径分别为6和i0如图，两同心圆的半径分别为6和i0,矩形ABCD的边AB、CD分别为两圆的弦，当矩形面积取最大值时，试确定它的周长.答：i28T34答: i7.解：设这两个圆的圆心是点0,则厶OAD的面积是矩形ABCD面积的-,4所以△OAD的面积最大时，矩形ABCD面积取得最大值.而OA、OD是定值，OA=6,OD=i0,所以OA与OD垂直时，△OAD的面积最大，此时，矩形ABCD的周长为空仝4.7.如图所示，线段OA=OB=OC=1，/AOB=60o,/BOC=30o,以OA,OB,OC为直径画3个圆，两两的交点为M,N,P,则阴影部分的曲边三角形的面积是 .解：女口图，连接AC,AN,BN,AM,BM,MP,NP,OM,ON,OP,易知/OPA=ZOPC=90o,/ANO=/BNO=90o,/BMO=ZCNO=90o,所以A,P,C共线；A,N,B共线；B,M,C共线.由OA=OB=OC=1,可知P,M,N分别是AC,BC,AB的中点，MPNB为平行四边形,BN=MP,BM=NP,所以BN与MP长度相等，BM与NP长度相等，因此，1曲边三角形MPN的面积=SMpnb= abc,2而 S^ABC=Saocb-S^aoc=S^AOB+S^BOC_S^AOCTOC\o"1-5"\h\z1 1 3-1=—4 2 4 '—1所以，曲边三角形MPN的面积=-S^abc=—8如图，过。O外一点M引圆的切线切圆于点B,连接MO交圆于点A,已知MA=4厘米，MB=4「3厘米.N为AB的中点.曲边三角形（阴影部分）的面积等于 平方厘米.答.4（6_乂）答: 3 .解根据条件，延长MO交圆于C,设圆的半径为r,MC=4+2r由切割线定理得MB2=MAMC，即48=4（4+2r）解得r=4cm,OC=OA=AM=4cm连接OB,在直角△OBM中，sin•MOB二塑二也3TOC\o"1-5"\h\zOM8 2所以/MOB=60°,因此AB为60°而N为AB的中点，则 / MON=30° , 所1 1 1 2SMon=-OMONsin30；二—84-=8(cm).2 2而扇形AON的面积K42-30 —(cm2),360 3所以阴影图形的面积乞伫二塑)(cm2).3 3如右图,AB与。O切于点A.连接B与。O内一点D的线段交圆于点C.并且AB=6,DC=CB=3,0D=2，则OO的半径等于 .即3(D^6p^6^^36.即3(D^6p^6^^36.所以DE=6.由相交弦定理可得DEDC二DFDG,

所以18才2-4.解得r-,22.交圆于F,G(如左图).FG是。O的直径.设。O的半径为r，由切割线定理，有 BCBEB,A即63=(r-2)(r2),10•如右图，在半径为1的圆O中内接有锐角三角形ABC,H是厶ABC的垂心，角平分线AL垂直于OH，则BC= .解：易知，圆心O及垂心H都在锐角三角形ABC的内部，延长AO交圆于N，连接AH并延长至H1与BC相交，连接CN,在Rt△CAN和Rt△AH1B中，/ANC=ZABC，于是有/CAN=ZBAH1,再由AL是厶ABC的角平分线，得/仁/2.由条件APIOH,得AH=AO=1.连接BO交圆于M，连接AM、CM、CH，可知AMCH为平行四边形，所以CM=AH=AO=1,BM=2，因为△MBC是直角三角形，由勾股定理得BC二・22-12二.3.11.分别以锐角三角形ABC的边AB,BC,CA为直径画圆，如图所示.已知在三角形外的阴影曲边三角形面积为w平方厘米，在三角形内的阴影曲边三角形面积为u平方厘米，试确定三角形ABC的面积.解：由于三角形ABC是锐角三角形，因此以三边为直径的圆，两两的交点是三角形高线的垂足，分别落在三角形的边上，图中13个区域如图分别用字母表示：x,y,z为形外的3个阴影曲边三角形面积，则w=x+y+z,u为形内的阴影曲边三角形面积，a,b,c,d,e,f是6个弓形，p,q,r是三角形内阴影曲边三角形之外部分.可以看出，x+(a+b)=u+p+q+(c+f),y+(c+d)=u+q+r+(e+b),z+(e+f)=u+r+p+(a+d)，这三式的等号左右分别相加，得x+y+z=2(u+p+q+r)+u,即w=2S^ABC+U,所以S\ABC= (W-U)平方厘米.12.如图,四个阴影三角形的面积都等于1求证：CB2二C1B2,AC2=12.如图,四个阴影三角形的面积都等于1求证：CB2二C1B2,AC2=AC2,求证:Sab^C：=Sbc1C2A2-Sca1a2B2；(1)(2)二SiBA2=BA2；(3)解答:求Sabc的值.ABi(D设 ，连接AB2,则S-ab1b2-'.连接B1C2，CA2，贝UAC2AB1

所以 -='C2A2B[CS/B2C2 :.SZ - ，=sab2c2CA]A2B2B1C2//CA2,sA2B2C2由sAB2C1=[.，-S'AB2C,所以gb2=b2c.=2丄；：AC2二C2Ai.=2，二BA2=A2B1.CB2=GB2,AC2二AC2,BA2二B1A2.所以SbC1所以SbC1C2a2=S因此SAB^B2C2 sBC[C2A2-Sca1a2b2.(2)由上所证，C1B2=B2C・易知S目碍二SBB2C•也就是1Sbc1C2A2=1Sc^A2B2,-Sca1A2B2-同理由BA2=B1A2可证得Sab1B2C^-Sbc1C2A2.(3)由Sab,B2C^-SbC1C2A^-ScA1A>B2.即2，=2 =2即2，=2 =2叫.■= =J,AB1 BC1BQC1A AB这样由SabSab1b2c^SBC1C2A^-Sc^A2B2因此S.ABC=43(.51)=73、5.

如图，在菱形ABCD中，/ABC=120°BC=^/3,P是BC延长线上向远离点C方向运动的一个动点，AP交CD于点E,联结BE并延长交DP于点Q.如果动点P在初始位置时/QBP=15°,在终止位置时A./QBP=35°，试确定P运动时点Q走过的曲线段的长度.4—兀°连接BD,作厶ABD的外接圆交于F，连接BF,DF,FC和CQ,易知/APDFB=7DFP=7BFP=120° 7BFE=7APECP=120°所以B,F,E,C四点共圆，所7仁72,由于7DFP=7DCP=120°,所D,F,C,P四点共圆，所以/2=73,因此/仁/3,所以B,C,Q,D四点共圆.即点Q在厶BCD的外接圆上.易知，当P在BC延长线上由C向外运动时，Q在厶BCD的外接圆的CD上从点C起沿逆时针方向运动.△BCD是边长为63的正三角形’它的外接圆半径为63于評，所以外接圆周长为2n>6=12n.由于Q在厶BCD的外接圆上运动的圆周角等于一135°15=20°所以Q心BCD的外接圆上运动的弧为40°是整个圆周的1，所以，动点P运动时Q走过的这段曲线QQ2的长度为12 4-.9 3

如图所示，在平行四边形ABCD中，/BAD的平分线交BC于点M，交DC的延长线于点“，△CMN的外心为0,ACMN的外接圆与△CBD的外接圆的另一交点为K•证明：(1)点0在厶CBD的外接圆上;(2)/AKC=90°.证明(1)由于平行四边形ABCD中，/BAD的平分线交BC于点M，交DC的延长线于点N,所以/BMA=/MAD=ZBAM，因此BA=BM，同理可得MC=CN.连接OC,贝UOC平分/NCM.连接OB，OM，OD，设/BAD=9,则1 日/OCD=/BCD+ZOCM=9+—(180°-=90+—2 2/BMO=180°-OMC=180°-OCM=90°+-，2所以/BMO=ZOCD.因此，△OBM◎△ODC，所以/OBC=ZODC.于是B，O,C，D四点共圆，也就是点O在厶CBD的外接圆上.…(8分)(2)由(1)知BO=OD，又KO=OC，因为B,K,O,C和D都在同一个圆上，贝UK,C关于BD的中垂线对称，BK=CD=AB，又/KBD=/CDB=/ABD，所以点K与点A是关于BD的对称点，即AK_BD，而KC//BD,所以AK丄KC,即/AKC=90°.D是正△ABC的边BC上一点，设△ABD与厶ACD的内心分别为h,I2,外222心分别为O1,O2,求证:(I1O1)+(l2O2)=(1112).证明：作以A为中心、逆时针旋转60的变换R(代60：)，使△ABD到厶ACD1，由于/ADC+ZAD〔C=/ADC+ZADB=