2021年河北省唐山市古治区中考数学一模试卷

2021年河北省唐山市古治区中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共16个小题，1〜10小题，每小题3分；11〜16小题，每小题3分，

共42分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.（3分）若。与1互为相反数，那么。+1=（）

A.-1B.0C.1D.-2

2.（3分）如图，在数轴上，点A表示的数是-2,则点P表示的数是（）

-------1-----------1--------------------k

A0

A.4B.3C.2D.-2

3.（3分）如图均由正六边形与两条对角线所组成，既是轴对称图形，又是中心对称图形的

是（）

4.（3分）2019年全国共享单车投放量达23000000辆，将23000000用科学记数法表示为

（）

A.2.3X107B.23X106C.0.23XI08D.2.3X106

5.（3分）下列运算正确的是（）

A.a3+a2=a5B.a3-i-a=a3C.a2,ai=a5D.（a2）4=a6

6.（3分）将一副三角板（NA=45°,ZE=60°）按如图所示方式摆放，点F在C8的延

长线上，则（）

D

E

A.15°B.25°C.30°D.35°

7.（3分）如图，A处在3处的北偏东45°方向，A处在C处的北偏西15°方向（）

B

A.30°B.45°C.50°D.60°

8.（3分）点4（4,3）经过某种图形变化后得到点8（-3,4）,这种图形变化可以是（）

A.关于x轴对称B.关于y轴对称

C.绕原点逆时针旋转90°D.绕原点顺时针旋转90°

9.（3分）数学老师在课堂上给同学们布置了10个填空题作为课堂练习，并将全班同学的

10.（3分）当-l<kV0时，关于x的一元二次方程7+©-々=0根的情况是（）

A.有两个相等的实数根B.有两个不等的实数根

C.有一个实数根D.没有实数根

11.（2分）如图是小明同学解方程上曳=N_-1的过程.

x-33-x

「A

解：方程两边同时乘（x-3）,得

l+x=-2-（x-3）....................第一步

解得：x=1....................第二步

检睑：当X=1时，x-3=l-3卢0•…“第三步

.所以原方程的解是x=l............第四步

I/

针对以上解题过程，下列说法正确的是（）

A.从第一步开始有错B.从第二步开始有错

C.从第三步开始有错D.完全正确

12.（2分）我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它

是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面

积是100,则sin0»cos0的值是多少（）

周

部

某

艘

A.AB.2C.逅D•平

555

13.（2分）如图，在AA8c中，按以下步骤作图：

①分别以B,C为圆心，大于，'BO两弧相交于两点M，N；

②作直线交48于点。，连接CD若CD=CA,ZA=50°（）

C.50°D.60°

14.（2分）如图，点0为矩形ABC。的对称中心，点E从点A出发沿A8向点B运动，延

长EO交于点F,则四边形AECF形状的变化依次为（）

A.平行四边形一正方形一平行四边形一矩形

B.平行四边形一菱形一平行四边形一矩形

C.平行四边形一正方形一菱形一矩形

D.平行四边形一菱形一正方形一矩形

15.（2分）关于抛物线y=/+fcv+l,有以下结论：①当6=-1时，抛物线过原点（0,1）；

③顶点的纵坐标最大值为1;④若当x=1时，当XV-2时，y随x的增大而减小（）

A.①B.②C.③D.④

16.（2分）如图，点A,B的坐标分别为A（2,0）,B（0,2）,BC=\,点M为线段AC

的中点，则OM的最大值为（）

A.V2+1B.-J2+—C.2^2+1D.2-72--

22

二、填空题（本大题有3个小题，共12分.17〜18小题各3分；19小题有3个空，每空2

分.把答案写在题中横线上）

17.（3分）分解因式：n?-2m—.

18.（3分）如图，正八边形和正五边形按如图方式拼接在一起，则

19.（6分）在平面直角坐标系中，二次函数y=-/+2H+1-F（k为常数）与反比例函数

y=-2（x>0）的图象如图所示，P（2,）】），Q（6,”）是反比例函数图象上的两点,

X

记P、。两点间的部分为PQ.

（1）当％=5时，二次函数图象的对称轴为；

（2）yi—；

（3）若二次函数的图象与PQ有两个公共点，则左的取值范围是

三、解答题（本大题共7个小题，满分共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

20.（8分）老师写出一个整式（o^+bx-l）-（4/+3x）（其中“、b为常数,且表示为系

数），然后让同学给〃、6赋予不同的数值进行计算，

（1）甲同学给出了一组数据，最后计算的结果为2?-3x-1,则甲同学给出a、b的值

分别是a-,b—；

（2）乙同学给出了a=5,b=-l,请按照乙同学给出的数值化简整式；

（3）丙同学给出一组数，计算的最后结果与x的取值无关，请直接写出丙同学的计算结

果.

21.（8分）观察下列两个等式：2-』=2XL+12=5X2+1,〃'为“共生有理数对"，记

3333

为（a,b）（2,1）,（5,2）都是“共生有理数对”.

33

（1）通过计算判断数对（1,2）是不是“共生有理数对”；

（2）若（a,3）是“共生有理数对"，求a的值；

（3）若Cm,n）是“共生有理数对"，则（-〃，-机）"共生有理数对"（填“是”

或“不是”）；

（4）如果（孙n）是“共生有理数对"（其中〃W1）,直接用含"的式子表示如

22.（9分）某学校从甲、乙两位班主任中选拔一位参加局班主任技能大赛，选拔内容包括

案例分析、班会设计、才艺展示三个项目，选拔比赛结束后

（1）乙班主任三个项目的成绩的中位数是;

（2）用6张相同的卡片分别写上甲、乙两位班主任的六项成绩，洗匀后，从中任意抽取

一张；

(3)若按照图2所示的权重进行计算，选拔总分最高的一位班主任参加比赛，请你确定

哪位班主任将获得参赛资格

.成绩(分)

图1图2

23.(9分)已知/MPN的两边分别与。。相切于点A,B,。。的半径为r.

(1)如图1,点C在点4,B之间的优弧上，则NACB=；

(2)如图2,点C在圆上运动，当PC最大时(即连接P0并延长交。0于点C),BC,

①求证：ZVIPC丝△BPC；

②若PC交于另一点。，ZAPB=60°,求图中对应的阴影部分的周长(用含r的式

子表示).

图1图2

24.(10分)如图，直角坐标系xOy中，过点A(6,0)i与直线'y=kx-I相交于点C

(4,2),直线/2与x轴交于点3.

(1)k的值为;

(2)求/1的函数表达式和的值；

(3)直线y=a与直线/i和直线/2分别交于点用，N,(M,N不同)

①直接写出M,N都在y轴右侧时a的取值范围；

②在①的条件下，以MN为边作正方形MNDE,边OE恰好在x轴上

25.（10分）如图，C为N4OB的边OA上一点，OC=6,P是线段CN上一点，过点尸分

别作PQ//OA交OB于点Q

（1）若NAOB=60°,OM=4,。。=1；（提示：过点P作PE_LOA）

（2）当点N在边OB上运动时，四边形OMP。始终保持为菱形，

①证明：」--L是定值：

ON0N

Si

②设菱形OMPQ的面积为Si，△NOC的面积为S2，求」的取值范围.

26.（12分）某公司生产一种产品，月销售量为x吨（x>0）,每吨售价为7万元（万元）

由两部分组成，一部分是原材料费用a固定不变，y-a与月销售量x成反比，市场部研

究发现月销售量x吨与月份〃（〃为1〜12的正整数）2-26〃+必（氏为常数），参考下面

给出的数据解决问题.

月份八（月）12

成本y（万元/吨）55.6

销售量为X（吨/月）120100

（1）求y-a与x的函数关系式；

（2）求力的值;

（3）在这一年12个月中，

①求月最大利润；

②若第机个月和第（，”+1）个月的利润相差最大，直接写出m的值.

2021年河北省唐山市古治区中考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共16个小题，1〜10小题，每小题3分；11〜16小题，每小题3分，

共42分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.（3分）若“与1互为相反数，那么。+1=（）

A.-1B.0C.1D.-2

【解答】解：与1互为相反数，

.•.。=-1,

.•・。+3=-1+1=3.

故选：B.

2.（3分）如图，在数轴上，点A表示的数是-2,则点尸表示的数是（）

----1------1------------>

A0

A.4B.3C.2D.-2

【解答】解：点尸表示的数是-2+4=5.

故选：C.

3.（3分）如图均由正六边形与两条对角线所组成，既是轴对称图形，又是中心对称图形的

是（）

【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项不合题意;

8、是中心对称图形，故本选项符合题意；

C、是轴对称图形，故本选项不合题意；

。、既不是轴对称也不是中心对称图形.

故选：B.

4.（3分）2019年全国共享单车投放量达23000000辆，将23000000用科学记数法表示为

（）

A.2.3X107B.23X106C.0.23X108D.2.3X106

【解答】解：23000000=2.3X107.

故选：A.

5.（3分）下列运算正确的是（）

A.Q3+〃2=〃5B.Q〃2.〃3=〃5（/）4=〃6

【解答】解：A、不是同类项，无法合并；

52

B、a-i-a=at故此选项错误；

C、a29a7=a5,正确；

。、（a2）6=心，故此选项错误；

故选：C

6.（3分）将一副三角板（NA=45°,ZE=60°）按如图所示方式摆放，点尸在C3的延

长线上，则N8DF=（）

A.15°B.25°C.30°D.35°

【解答】解：由题意可得：ZEDF=30°,ZABC=45°,

♦:DE〃CB,

：・NBDE=NABC=45°,

；・NBDF=NBDE-NEDF=450-30°=15°.

故选：A.

7.（3分）如图，A处在3处的北偏东45°方向，A处在C处的北偏西150方向（）

【解答】解：如图，

,：AE,是正南正北方向，

：.BD//AE,

,：ZDBA=45°,

ZBAE=ZDBA=45°,

•.•/EAC=15°,

/.ZBAC^ZBAE+ZEAC=450+15°=60°,

故选：D.

8.(3分)点A(4,3)经过某种图形变化后得到点8(-3,4),这种图形变化可以是()

A.关于x轴对称B.关于y轴对称

C.绕原点逆时针旋转90°D.绕原点顺时针旋转90°

【解答】解：因为点A(4,3)经过某种图形变化后得到点B(-7,

所以点A绕原点逆时针旋转90°得到点B,

故选：C.

9.(3分)数学老师在课堂上给同学们布置了10个填空题作为课堂练习，并将全班同学的

A.7B.8C.9D.10

【解答】解：由条形统计图可得，

全班同学答对题数的众数为9,

故选：C.

10.（3分）当时，关于x的一元二次方程/+4x-Z=0根的情况是（）

A.有两个相等的实数根B.有两个不等的实数根

C.有一个实数根D.没有实数根

【解答】解：/+4尤7=3,

△=42+2%=4（4+Z）,

■:-3<Jt<0,

.•.4+Q8,

/.A>0,

.•.该方程有两个不等的实数根.

故选：B.

11.（2分）如图是小明同学解方程上曳=」_-1的过程.

x-33-x

解：方程两边同时乘（x-3），得

l+x=-2-（x-3）.....................................第一步

解得：x=l.....................................第二步

检验：当x=1时，x-3=l-3,。...第二步

.所以原方程的解是x=l一............第四步

\）

针对以上解题过程，下列说法正确的是（）

A.从第一步开始有错B.从第二步开始有错

C.从第三步开始有错D.完全正确

【解答】解：从第二步开始出错，

正确的解答过程是：方程两边同时乘（x-3）,

得l+x=-6-（x-3）,

解得x=0,

检验：当工=2时，X-3W0,

所以原方程的解为x=6.

故选:B.

12.（2分）我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它

是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面

积是100,则sinlcos。的值是多少（）

周

碑

X

^L

C.在

ABD.2V5

-5-i5~5~

【解答】解：•大正方形的面积是100,小正方形面积是20,

...大正方形的边长为10,小正方形的边长为2泥,

/.IOCOSG-lOsin。=W^,

cosQ-sing2Z^,

6

(sin0-cos9)2_1

4

sin29-2sin0*cos0+cos40=A.

5

3-2sin0*cos0=i,

2

o

sin0,cos0=—.

5

故选：B.

13.（2分）如图，在△A8C中，按以下步骤作图:

①分别以8,C为圆心，大于两弧相交于两点M,M

②作直线交A3于点O,连接CD若CO=C4,ZA=5O°()

A.25°B.30°C.50°D.60°

【解答】解：,.・CO=CA,

：.ZCDA=ZA=50°,

由作法得MN垂直平分BC,

:・DB=DC,

:・/B=/BCD,

ZCDA=ZB+ZBCD,

：.ZBCD=1.ZCDA=^.

22

故选：A.

14.（2分）如图，点O为矩形ABC。的对称中心，点E从点A出发沿A8向点8运动，延

长E。交CO于点F,则四边形4ECF形状的变化依次为（）

A.平行四边形一正方形一平行四边形一矩形

B.平行四边形一菱形一平行四边形一矩形

C.平行四边形一正方形一菱形一矩形

D.平行四边形一菱形一正方形一矩形

【解答】解：观察图形可知，四边形AECE形状的变化依次为平行四边形一菱形一平行

四边形一矩形.

故选：B.

15.（2分）关于抛物线>=7+法+1,有以下结论：①当b=-1时，抛物线过原点（0,1）；

③顶点的纵坐标最大值为1;④若当x=l时，当XV-2时，y随x的增大而减小（）

A.①B.②C.③D.④

【解答】解：①当b=-1时，y=7-x+2,

当x=0时，y=l,

故①不正确：

②当x=5时，y=02+/>X7+l=I,

抛物线必过（2,I）,

故②正确；

③y=_r2+bx+3=（x+电）2--^—+1,

24

,3

顶点纵坐标为：-互-+1,

4

・”720,

-二W0,

3

-'+1W1,

6

二顶点纵坐标最大值为2,

故③正确：

④当x=l时，y>0,

得：62+*+1>5,

解得：心-2,

当x<-2时，y随x的增大而减小,

得:-电2-2,

7

解得：6W4,

.•北的取值范围是-8〈放4,

故④正确.

故选：A.

16.（2分）如图，点A,B的坐标分别为A(2,0),B(0,2),BC=1,点M为线段AC

C.2A/2MD.2V2--

2

【解答】解：如图，

:点C为坐标平面内一点，BC=\,

.♦.C在。B上，且半径为1,

取03=0A=7,连接CD,

\"AM=CM,OD=OA,

；.0A/是△AC。的中位线，

OM=1.CD,

2

当OM最大时，即C£＞最大，B,C三点共线时，OM最大，

"：OB=OD=3,/8。。=90°,

:.BD=2M，

:.CD=2愿1,

OM=—CD=.I^4--^-A/2+—；

222

故选：B.

二、填空题（本大题有3个小题，共12分.17〜18小题各3分;19小题有3个空，每空2

分.把答案写在题中横线上）

17.（3分）分解因式：川-2加=（m-2）.

【解答】解:m2-2m—mCm-4）.

18.（3分）如图，正八边形和正五边形按如图方式拼接在一起,则NC48=117°.

【解答】解：由题意得：正八边形的每个内角都为:180°X(8-2)=]35。

~5'

180°x（5-2）-l0go,

8

故NC4B=360°-135°-108°=117°,

故答案为：117.

19.(6分)在平面直角坐标系中，二次函数y=-/+2H+11为常数)与反比例函数

y=--(x>0)的图象如图所示，P(2,yi),Q(6,”)是反比例函数图象上的两点,

x

记P、Q两点间的部分为PQ.

(1)当人=5时，二次函数图象的对称轴为x=5；

(2)yi=-3；

(3)若二次函数的图象与PQ有两个公共点，则出的取值范围是4WkW6-.

【解答】解：(1)当&=5时，抛物线对称轴为直线x=--空一，

7X(-1)

故答案为x=5；

(2)•••反比例函数y=(x>0)的图象经过点P(2,为)，

X

・・・yi="-6=-3a,

5

故答案为-3；

(3),反比例函数y=-2(x>0)的图象经过点。(6,以)，

x

；.)2=--=-L

2

：.Q(6,-5),

VA=(2k)2-5X(-1)X(1-A:4)=4>0,

抛物线y=-f+2fcc+I(%为常数)与x轴有两个交点，

把Q(6,-1)代入y=-4+2履+1-庐"为常数)得.-36+12A+1-3=-3,

解得，&=6-心后(较大值舍去)，

把P(2,-3)代入y=-_?+2履+1-必(&为常数)得.-4+4A+6-严=-3,

解得上=7或々=0(较小值，舍去)，

二次函数的图象与PQ有两个公共点，则k的取值范围是4WAW2-近,

故答案为4WkW8-&.

三、解答题(本大题共7个小题，满分共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

20.(8分)老师写出一个整式(0?+云-1)-(4，+3x)(其中a、b为常数，且表示为系

数)，然后让同学给〃、。赋予不同的数值进行计算，

(1)甲同学给出了一组数据，最后计算的结果为2?-3x-1,则甲同学给出〃、人的值

分别是a=6,h=0；

(2)乙同学给出了a=5,b=-1,请按照乙同学给出的数值化简整式；

(3)丙同学给出一组数，计算的最后结果与x的取值无关，请直接写出丙同学的计算结

果.

【解答】解：(1)(cvr+bx-1)-(6X2+3X)

—ax'+bx-1-4x4-3x

=(a-4)x8+(6-3)x-1,

•••甲同学给出了一组数据，最后计算的结果为3f-3x-2,

••a-4—2,b-7--3,

解得。=6,b=5,

故答案为：6,0；

(2)由(1)(ar'+bx-1)-(4/+3x)化简的结果是(〃-4)(Z?-3)x-\,

J当〃=7,b=-1时，

原式=(5-2)x2+(-1-7)x-1

=7-3x-1,

即按照乙同学给出的数值化简整式结果是7-8x-1；

(3)由(1)(ax2+bx-6)-(47+7x)化简的结果是(a-4)/+(人-5)x-1,

・・,丙同学给出一组数，计算的最后结果与x的取值无关，

，原式=-1,

即丙同学的计算结果是-6.

21.(8分)观察下列两个等式：2-工=2x1+12=5x2+1,6”为“共生有理数对"，记

3333

为(a,b)(2,1),(5,2)都是“共生有理数对”.

33

(1)通过计算判断数对(1,2)是不是“共生有理数对”；

(2)若(a,3)是“共生有理数对"，求〃的值；

(3)若(，〃，n)是“共生有理数对"，则(-〃，-加)是“共生有理数对"(填“是”

或“不是”)；

(4)如果(〃?，n)是“共生有理数对"(其中〃W1),直接用含"的式子表示如

【解答】解：(1)VI-2=-7,IX2+7=3,

：.}-4#IX2+4,

/.(L2)不是共生有理数对；

(2)由题意，得a-5=3。+1,

解得a--5；

(3)V(/n,n)是共生有理数对，

・••m-1,

-n-(-〃7)=m-1,

・•.(-〃，-机)是共生有理数对；

故答案为：是.

(4))是共生有理数对，

.'.m-n—mn+3,

:.m(1-n)=1+〃，

•'n+8

,,m=~;----

1-n

22.(9分)某学校从甲、乙两位班主任中选拔一位参加局班主任技能大赛，选拔内容包括

案例分析、班会设计、才艺展示三个项目，选拔比赛结束后

(1)乙班主任三个项目的成绩的中位数是85；

(2)用6张相同的卡片分别写上甲、乙两位班主任的六项成绩，洗匀后，从中任意抽取

一张；

(3)若按照图2所示的权重进行计算，选拔总分最高的一位班主任参加比赛，请你确定

哪位班主任将获得参赛资格

【解答】解：（1）乙班主任的得分排序为：77,85,

中位数为85；

故答案为：85；

（2）六张卡片中写着85的共两张，

因此P（抽到的卡片写有85）=2=3；

63

（3）甲班主任得分：80X30%+85X60%+87X10%=83.7

乙班主任得分：90X30%+77X60%+85X10%=81.7

甲获得参赛资格

23.（9分）已知NMPN的两边分别与。。相切于点A,B,。。的半径为r.

（1）如图1,点C在点A,8之间的优弧上，则NACB=50°；

（2）如图2,点C在圆上运动，当PC最大时（即连接PO并延长交。。于点C）,BC,

①求证：△APC四△BPC；

②若尸C交。。于另一点O,NAPB=60°,求图中对应的阴影部分的周长（用含r的式

子表示）.

图1图2

【解答】解：（1）如图1,连接Q4,

M

图1

,..以，P8为。。的切线，

：.ZPAO=ZPBO=90°,

VZAPB+ZPAO+ZPBO+ZAOB=360°,

・・./"8+乙4。8=180°,

VZAPB=SO°,

AZAOB=iOO°,

AZACB=50°,

故答案为：50°；

(2)①•・・%,P5为OO的切线,

：.PA=PB,NAPC=NBPC,

又‘：PC=PC,

：./XAPC^/^BPC(SAS)；

②连接04,

VZAPB=60°,

AZAPO=ZBPO=30°,

・・・B4为。。的切线，

：.ZPAO=90°,

VOA=r,

・•・0P=2r,

：.AP=V4r,PD=r,

・・・NAOP=90°-ZAPO=60°,

.M。弧的长度=喑二ar'

**•阴影部分的周长=3~p+r+

24.（10分）如图，直角坐标系无0y中，过点A（6,0）i与直线gy=fcr7相交于点。

(4,2）,直线，2与X轴交于点3.

(1)我的值为3；

—4—

(2)求1\的函数表达式和SMBC的值;

(3)直线y=〃与直线/］和直线/2分别交于点仞，N,（M,N不同）

①直接写出M,N都在），轴右侧时〃的取值范围;

②在①的条件下，以MN为边作正方形MNDE,边OE恰好在x轴上

2）代入-6得,

2=4%-6,

解得k=l,

K4

故答案为：工；

4

（2）设直线1\的表达式为y=%8x+。

将点A(6,0),6)代入得，

[6k+b=0,

l6k+b=2，

解得(kT,

lb=3

.二直线1\的表达式为y=-x+6,

当y=3时，-YX-6=0,

解得x=冬，

7

.♦.点B的坐标为(匡，6),

3

.\AB=6-A=JA,

53

•'•SA^C=—x—X2=~^；

237

(3)①当x=0时，y=—y

2

y=-x+6=6,

：.M,N都在y轴右侧时。的取值范围是：-3＜。＜6且“W2.

②当y=a时，，-\=a—

43a4

点N的坐标为（9a总，。），

33

当y=a时，-x+6=m

.♦.点M的坐标为（7-m“）

：.MN=\6-a-至_屈=|1£_7^|,

3383

：四边形MNDE为正方形,

23

解得：a["或a]，

bo

•7或7

52

25.（10分）如图，C为NAOB的边0A上一点，OC=6,P是线段CN上一点，过点尸分

别作PQ//OA交OB于点Q

（1）若NAOB=60°,OM=4,OQ=1；（提示：过点P作PE_L04）

（2）当点N在边08上运动时，四边形OMP。始终保持为菱形，

①证明：」--L是定值；

ONON

②设菱形OMPQ的面积为Si,△NOC的面积为S2,求」Si的取值范围.

S2

【解答】解：（1）如图1,过点尸作PELOA于点E.

'：PQ//OA,PM//OB,

四边形OMPQ为平行四边形，

：.PM=OQ=\,/PME=NAOB=60